陈悦，宋健

内蒙古工业大学，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月24日；发布日期：2017年5月27日

本文采用多重尺度法研究了基本气流具有弱切变的非线性正压Rossby波，得到了偶极子阻塞形成的一个理论及其影响。在f平面下求得它的波包满足非线性Schrödinger方程。指出：当Rossby波的波数满足(k为纬向波数，m为经向波数)时，大气中周期Rossby波可以产生调制不稳定，形成包络Rossby孤立波。

关键词 :大气阻塞，Rossby孤立波，非线性 Schrödinger方程

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大气中的阻塞可以分为两类：一类是单个非偶极子阻塞，另一类是偶极子阻塞。有关它的研究已有30年了，最早进行研究的是叶笃正 [ 1 ] 等人。80年代初期，人们对阻塞形成理论已经做出很大贡献。Egger [ 2 ] 认为缓慢移动自由波与地形强迫之间的非线性作用可以产生阻塞。Charney和Devore [ 3 ] 提出了阻塞形成的理论，Tung和Lindzen [ 4 ] 认为阻塞高压是自由波和地形强迫波发生共振形成。Mcwilliams [ 5 ] 提出了 Equivalent Modon理论解释偶极子阻塞，之后Malguzzi和Malanotte-Rizzoli [ 6 ] [ 7 ] (1984, 1985)提出了用Rossby孤立波来解释大气中偶极子在阻塞中的形成过程。罗德海和纪立人 [ 8 ] [ 9 ] 用Algebraic Rossby理论解释大气中定常偶极子阻塞，论证了旋转正压大气中的非线性 Schrödinger方程和大气阻塞理论。并且，Federiskn [ 10 ] 和Schillings [ 11 ] 发现了大气中通过斜压不稳定，可以形成偶极子阻塞。本文在f平面下探讨偶极子阻塞，运用多重尺度法，得出了非线性Schrödinger型的包络Rossby孤立波理论，大致反映出偶极子阻塞的孤立波特点，体现偶极子阻塞的衰减机制。

在不考虑地形作用的情况下，正压无辐散的正压自由大气涡度方程为：

其中 为流函数，U是简单的纬向基本流，f是科氏参数， 为二维的Laplace算子， 为Jacobian行列式，参数F为内旋转Foude数，是水平尺度与罗斯贝变形半径 之比的平方，关系式分别为：

在 处，与罗德海 [ 8 ] 相比较，没有考虑 作用，只考虑了f平面，在地球大气中，行星大气的运动的时间和空间尺度是多种多样的，为此可引入缓变坐标：

, , , , (2)

其中 ， ， ， 为缓变量，且 。于是可作如下变换：

因此可以把方程(1)改写为：

将 按WKB方法展开，

其中 为基本流函数，且满足 。再将(5)式带入方程(4)，有

其边界条件为：

时， (9)

在方程(6)中，设其谐波解为：

其中c.c.表示它前项的共轭，A为复振幅，k为纬向波数，将(10)式代入方程(6)，并结合边界条件，则

在这方程中，郭晓岚 [ 12 ] 曾指出，当基本气流满足条件

其中 时，大气中的扰动是不稳定的，这时c为复数。在本文中，假定在区域 内条件(12)不成立，这时c为实数。对于c为复数的情况，将在以后进一步讨论。在大气中，大尺度Rossby波一般有 ，对阻塞系统有 ，因而有 。将(10)式带入方程(7)，这时有

对以上方程消除长期项，并利用方程(11)有

其中

这时方程(13)可变为：

其中

，且

设方程(15)的解为：

将上式代入方程(15)式，则有

其中

其边界条件为：

在方程(17)中，由于A，B均为 ， ， ， 的函数，并且 与 成比例，显然可将 取成如下形式

于是可得方程

将(10)和(16)式带入方程(8)，有

以上方程消除长期项，并利用(14)和(19)式，可得方程

将方程两边同时乘 ，并在区间 上进行积分，可得

其中

再把方程(23)改写为：

上式就是著名的非线性Schrödinger方程，它反映了行星大气中Rossby波的非线性特点。从方程(24)式的系数表达式可以看出，当基本气流不存在切变时， ，

这时 ，非线性Schrödinger方程就不存在，在实际大气中基本西风的分布是多种多样的。只要大气中基本气流的切变存在，这时的大尺度扰动均可以由非线性Schrödinger方程来描述。

在大气中，为了不致于使(12)式满足，这里假定大气中的西风存在弱切变，这时可设其中

其中 ，并且 Q 仅为 y 的函数，在方程(11)中，取 ，将(25)式代入方程(11)，有

将 ，c按下列级数展开，即

把上式代入方程(26)，可得方程的本征值和本征函数的近似值为：

其中

利用边界条件

其中

对上式的平方模进行归一化，

于是可近似的求得 的值为

将(30)式和 代入方程(20)，近似地有

其中

在方程(32)的左端，系数的微小变化已被省略，从而可求得方程(32)的解。显然，可设解为：

再将(33)式代入方程(32)，可得方程(32)的解为：

把 ，G， 代入方程(23)中的系数，便可确定 的值：

从上式可以看出，当大气中基本西风气流的切变不存在时，即 ，这时 ，结论与罗德海 [ 9 ] 基本一致，描述大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程不存在。当 时，大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程存在，此时 既受内旋转Foude数的影响，又受 的影响。本文考虑了f平面Rossby波与基本气流切变的相互作用，用多重尺度法也得到了非线性Schrödinger方程。在方程(24)中，为了获得方程的系数，采用了一种近似方法，用来处理基本气流有弱切变的情况是有效的。

方程(24)是描述行星大气中非线性Rossby波包的演变过程，这种方程反映了非线性作用对Rossby波包的影响。利用(2)式将方程(24)变为：

其中 。再令 ，并设 ，于是方程(37)可变为：

当 时， ，这时在 的情况下方程(37)有包络孤立解，于是方程(37)的包络孤立解为：

设M在 处的值为 ，这时(38)式可变为：

将(39)式带入(5)式，可得Rossby调制波的扰动流函数解为：

其中 ，c.c.表示它前项的共轭。显然，从上式可得Rossby调制波的相速为：

从上式可以看出，f平面下Rossby波的振幅和基本气流的切变影响着Rossby调制波的传插速度，当不考虑基本气流的水平切变时，Rossby调制波的针副作用消失。从(31)和(35)式可以看出，当

时， ，因而大气中包络Rossby孤立波才存在。这是非线性和基本气

流的水平切变作用可使Rossby波的传播速度减慢，基本气流的水平切变越强，Rossby调制波的传播速度越慢，当Rossby调制波的振幅满足

时，Rossby调制波趋于定常。

对于方程(38)，作变换

将上述方程代入(38)式有

在大气中，设叠加在定常振幅和位相上的扰动为周期波，这时可令

其中 均为常数。将上式方程代入(44)式可得

从上式可以看出，当 时，Rossby调制波是稳定的，当 时，Rossby调制波的周期扰动是不稳定的，这这种不稳定称为调制不稳定。从方程(38)的系数可知，当

时， ，这时，在大气中周期Rossby波会产生调制不稳定，也就是说在

即波长 和 满足 的情况下，大气中的总周期扰动不能维持，它要产生不稳定，并形成包络Rossby孤立波。

从上述分析中，可以得到结论：

1) 在f平面上，基本气流具有弱切变的情况下，得到了非线性Rossby波的波包满足非线性 Schrödinger方程。

2) 当Rossby波的波数满足 时，即波数受内旋转Foude数的影响，大气中的

周期Rossby波会产生调制不稳定，最终形成包络Rossby孤立波。

3) 本文所得到的偶极子阻塞是通过Rossby调制不稳定发展而形成的，使f平面的大气观测理论更加准确。

国家自然科学基金(11362012, 11562014, 41465002)，全球变化研究国家重大科学研究计划(2012CB955902)。

陈悦,宋健. f平面-大气阻塞中的Rossby孤立波 f Plane-Atmosphere Blocking the Rossby Solitary Wave[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 388-397. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63045