郭迎雪¹，姚 晴²，樊懿锋³，李宗军⁴，范兴奎⁴

¹青岛理工大学机械工程学院，山东 青岛

²青岛理工大学汽车与交通学院，山东 青岛

³青岛理工大学计算机工程学院，山东 青岛

⁴青岛理工大学理学院，山东 青岛

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月21日；发布日期：2017年5月27日

根据调整锚链的型号、长度和重物球的质量，确定浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度的极小值。本文分为两个部分对系泊系统的设计作系统的研究。首先，在考虑单一参数变化的情况下，运用隔离法依次对传输节点的各个结构进行受力分析，其中，锚链可近似看成一条悬链线，利用泰勒级数展开进行公式处理。其次，在综合考虑风力、水流力和水深的情况下，由力和力矩的平衡条件建立模型，确定出锚链型号、长度、重物球的质量，并分析求解不同参数变化下钢桶、钢管的倾角，锚链形状，浮标的吃水深度和游动区域。最后，运用MATLAB对各个非线性方程组编写算法以及提供图形描述，并对整个模型进行了合理性检验与客观的优缺点评价，以及在其他领域的推广使用，并提出了在受力分析上的改进，提高了模型的实用性与现实性。

关键词 :系泊系统，悬链线方程，泰勒级数展开，静力平衡

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目前常见的海洋结构物定位方法有两种：一为动力定位，二为用锚链系泊定位。但是锚链系泊定位由于其结构简单、工作安全可靠、经济性好等优点，成为在海洋中对移动式海洋结构物定位的主要形式。目前在海上油田开发、船舶防风以及援救打捞作业场布置中都有十分广泛的应用。在舰艇防风方面，单点系泊具有安全度高、位置精确、标志明显、系泊方便等特点，在援救打捞作业场布置中，利用浮筒系泊系统，给救援工作的开展既能节省时间提高效率，又能提高系统的稳定性，尤其对救援周期比较长、需频繁进出作业场的情况，其优点就特别明显。2016年全国大学生数学建模竞赛A题是通过确定在不同条件下锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小，从而实现对系泊系统状态的分析。本文基于悬链线方程，在对锚链的处理中，将其近似看成一条悬链线，并利用泰勒级数展开进行公式处理。同时以分析系泊系统的静力平衡状态为主线，逐步建立理论递推模型。

漂浮于海平面上的浮标，在恒定的风力作用下将产生漂移运动，但由于系泊系统的牵制作用，浮标漂移至一定距离后，一定会处于某一静力平衡状态 [ 1 ] 。假设浮标在海平面上的运动为定常和慢漂运动，忽略系泊系统本身的动态效应。可以运用隔离法依次对传输节点各个结构进行受力分析，其中将上面的钢桶和钢管分别作为刚体来处理，将下部的锚链简化为悬链线，画出各自对应的受力分析图，并列出静力平衡方程组。每个结构所求的变量夹角均可以用浮标的倾斜角度和吃水深度 表示出来，为了避免复杂性，可以将这些方程提取出来，再构造一投影方程与之联立。符号说明见表1。

首先对浮标进行受力分析。假设系泊系统对浮标的拉力始终与浮标的轴线平行，以浮标质心为原点建立平面直角坐标系，具体受力见图1。由图1可列静力平衡方程：

其中， ， 为物体在风向法平面的投影面积， 为风速。由于浮标迎风面可近似认为是矩形，故 。

对于浮力： ， ， ， ， 为浮标排开水的体积， 为浮标总高度， 、 见图1所示， 为浮标底面圆半径， 为浮标的底面面积。

根据以上公式，可求得：

故，

对钢管1进行受力分析。其受力为浮力 、重力 、拉力 与 ，钢管1的倾角为 。以钢管1的质心为坐标原点，建立平面直角坐标系，具体受力见图2。

由图2可列静力平衡方程：

其中， ， 为钢管1排开水的体积。

由此可求得：

因为 与 、 与 互为作用力与反作用力，大小相等、方向相反，由公式(1)得：

同理，对钢管2、3、4进行受力分析，其受力分析图、所列静力平衡方程均与钢管1的相似，在此不再赘述，所求结果分别为：

表1. 符号说明

图1. 浮标受力分析图

图2. 钢管1受力分析图

对钢管2有：

对钢管3有：

对钢管4有：

对钢桶进行受力分析。其受力为浮力 、重力 、拉力 与 ，重物球对其的拉力 ，钢桶的倾角为 。以钢桶的质心为坐标原点，建立平面直角坐标系，具体受力见图3。忽略重物球的浮力，其对钢桶的拉力即为自身的重力。

由图3可列静力平衡方程：

其中， ， 为钢桶排开水的体积。

由此可求得：

因为 与 、 与 互为作用力与反作用力，大小相等、方向相反，由公式(1)、公式(3)、公式(5)、公式(7)、公式(9)得：

其中，

对锚链进行受力分析。忽略其在水中的浮力，受到重力 、拉力 与 ，锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 。以锚链与锚的链接处为坐标原点，建立平面直角坐标系，具体受力见图4。

由图4可列静力平衡方程：

求得：

图3. 钢桶受力分析图

图4. 锚链受力分析图

因为 与 、 与 互为作用力与反作用力，大小相等、方向相反，由公式(1)、公式(3)、公式(5)、公式(7)、公式(9)、公式(11)得：

锚链曲线方程可近似为悬链线方程 [ 2 ] [ 3 ] ，即

其中 为锚链的线密度， 为最低点处受水平向左的拉力。

对悬链线方程进行求导以及利用弧长公式整理得：

令 ，根据泰勒公式对式(16)进行展开。

由 ， ，泰勒展开式中保留前三项得：

将其带入公式(16)，整理得：

当 时，用泰勒展开近似求解为：

对整体进行受力分析可得：

将锚链、钢桶、四节钢管、与浮标的吃水深度向竖直的y轴进行投影，得一投影方程：

其中 表示钢桶的长度， 表示每节钢管的长度。

联立公式(2)、公式(4)、公式(6)、公式(8)、公式(10)、公式(12)、公式(14)、公式(18)，可得到非线性方程组。

由题目所给信息：

, , , , ,

,

, , , , ,

, , , , ,

,

利用MATLAB [ 4 ] 对以上8个公式组成的非线性方程组编程求解。

对于12 m/s风速对应的求解：对应于上述非线性方程组的所有未知数的取值见表2。

将所求得的数据带入公式(15)，可得锚链形状为：

利用MATLAB绘出其图形 [ 5 ] ，见图5。

浮标的移动区域为一半径为R的圆，由公式(17)求得 ；四节钢管与钢桶在水平面上的投影长度为：

, ,

，故浮标的移动区域为 的圆。

对于24 m/s风速对应的求解：对应于上述非线性方程组的所有未知数的取值见表3。

将所求得的数据带入公式(15)，可得锚链形状为：

利用MATLAB绘出其图形，见图6。

浮标的移动区域为一半径为R的圆，由公式(17)求得 ；四节钢管与钢桶在水平面上的投影长度为：

, ,

，故浮标的移动区域为 的圆。

对于36 m/s风速对应的求解：对应于上述非线性方程组的所有未知数的取值见表4。

表2. 12 m/s风速对应的结果

表3. 24 m/s风速对应的结果

表4. 36 m/s风速对应的结果

图5. 风速为12 m/s 时的锚链形状示意图

图6. 风速为24 m/s 时的锚链形状示意图

将所求得的数据带入公式(15)，可得锚链形状为：

浮标的移动区域为一半径为R的圆，由公式(17)，求得 ；四节钢管与钢桶在水平面上的投影长度为：

, ,

，故浮标的移动区域为 的圆。

对钢桶和锚链分别进行受力分析，根据所得的变量之间的关系表达式(见公式(12)、公式(14)、公式(2))，结合题目要求即钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。考虑其极限情况，取等号可以得出钢桶的倾斜角与重物球质量的关系式。由此可得方程组(19)。

通过MATLAB 编程即可求解重物球质量不应小于 。

为给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，取风向与水流方向一致的情形进行分析，当风速和水流速度同时达到最大值时，各自相应的力也是最大值。对系泊系统采用“先整体后隔离”的思想，对各个结构进行受力分析，并列出静力学平衡方程，在第一个模型的基础上，可推出模型二的非线性方程组 [ 6 ] [ 7 ] 。在风速，水速达到极限值时，考虑到水深在16 m到20 m之间，不同型号对应的链长，即可求出不同水深时所对应的钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

我们取风的方向与水流方向一致的情形进行分析，当风速和水流速度同时达到最大值时，各自相应的力也是最大值。在综合考虑水流力的情况下，即在只考虑风力 时对各个结构的受力分析的基础上，又增加了一个过质心的水平方向的水流力 。可知，在各个结构的平衡方程中，力矩方程和竖直方向的方程均不改变，只是水平方向的平衡方程发生了改变。因此：

浮标水平方向的平衡方程为：

四个钢管水平方向的平衡方程为：

钢桶水平方向的平衡方程为：

锚链水平方向的平衡方程为：

其中

,

且联立由仅考虑风速的公式(1)，(3)，(5)，(7)，(9)，(11)，(13)，(18)，可推出综合考虑风速，水流速度的非线性方程组(20)。其中， 为布放海域的实测水深， ， ， ， 。

考虑锚链型号与长度，重物球的质量，水深，风速及水流速度在不同定值情况下，由MATLAB编程可得钢桶及钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。进而比较风力、水流力和水深的不同情况下，设计出合理的系泊系统。

对于 ， ， ，我们考虑几个典型值的情况，如下述所示：

1) ， ， ， ， ，Ⅱ型锚链，

2) ， ， ， ， ，Ⅱ型锚链，

3) ， ， ， ， ，V型锚链，

4) ， ， ， ， ，V型锚链。

由于此处与模型一的求解过程类似，在此不再赘述所求结果。

结合题目中所给的重物球的质量、锚链长度、锚链在锚点的夹角等数据，运用隔离法依次对传输节点的各个结构进行受力分析，用AutoCAD画出对应的受力图，并列出静力平衡方程，从中提取出每个结构所求的变量倾角关于浮标的倾斜角度α和吃水深度h_c的方程共7个。其中，锚链可近似看成一条悬链线，利用泰勒级数展开得到锚链最高点对应横坐标表达式。构造一竖直面投影方程与提取出的7个方程联立成非线性方程组，计算出浮标吃水深度、锚点的水平力和竖直力的大小，且数值求解在不同风速下锚链对应的悬链线方程式。

其次，调节弧长，令第三段悬链线的末端与浮标下端高度相等，数值求解合适的重物球的质量。在综合考虑风力、水流力和水深的情况下，由力和力矩的平衡条件建立模型，确定出锚链型号、长度、重物球的质量，并分析求解出不同参数变化下钢桶、钢管的倾角，锚链形状，浮标的吃水深度和游动区域。

最后，运用MATLAB对各个非线性方程组编写算法以及提供图形描述，并对整个模型进行了合理性检验与客观的优缺点评价，以及在海上油田开发、船舶防风以及援救打捞作业场布置中的推广使用。

本文核心思路是基于悬链线方程，在对锚链的处理中，将其近似看成一条悬链线，并利用泰勒级数展开进行公式处理。同时以分析系泊系统的静力平衡状态为主线，逐步建立理论递推模型。

在考虑多个参数变化的情况，即更接近于实际情况时：首先，分析者告知选用重物球的质量M，水深H，锚链的型号以及长度，风速v，由此可代入所得非线性方程组(20)，运用MATLAB中的fsolve函数即可求解，得出对应情况下的钢桶及钢管的倾斜角度，浮标的吃水深度h_c；然后借助公式

求出锚链的在水平面的投影长度，同时借助公式 和公式 ，求出四节钢管与钢桶在水平面上的投影长度b₁和b₂，进而利用公式 ，求出浮标的移动区域为R的圆；在此基础上，最后借助于公式 ，求出对应条件下的锚链形状，运用MATLAB编写程序即可绘制出锚链对应的图形。

本文中的模型通过对单个物体进行受力分析，利用简单力学知识求解未知变量，方法简单且准确程度较高。同时在列举静力平衡方程时不会漏掉未知力，考虑较为全面。采用受力分析图与静力平衡方程相结合的方法，使得分析更加直观明了。

山东省本科高校教学改革研究面上项目（2015M091）；山东省教育科学“十二五”规划2015年度高等教育学科教学专项课题（CBS15010）。

郭迎雪,姚晴,樊懿锋,李宗军,范兴奎. 基于悬链线方程的系泊系统状态分析 Based on the Catenary Equation Analysis of the Mooring System State[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 296-307. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63035