王怡华¹，李硕²，衣晓宁¹

¹山东大学数学学院，山东 济南

²昌吉学院数学系，新疆 昌吉

收稿日期：2017年2月26日；录用日期：2017年3月18日；发布日期：2017年3月21日

令G是一个顶点数为n的简单图，满足，k是任意正整数。假设，则图G可划分成个点不交的4-团和一个弦圈，使得弦圈上点的度大于等于3或4。

关键词 :点不交，4-团，弦圈

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本文中的图都为简单图。令 是一个简单图，图G的顶点数和边数分别为 和 。图G中的一列子图称为独立的如果任意两个子图在G中没有公共点。若 和 在G中没有公共点，我们定义 为 和 之间的边数。假设H是G的子图并且 ， 表示u在H中的邻点，并且 。对G中的子图U，令 ，且 表示 的导出子图。 表示图G的最小度。同时，我们定义 。我们用 和 分别表示顶点数为n的圈和路。路P称为图G的支撑路，如果路P覆盖图G中所有点。团是指G的一个完全子图，若一个团中包含的顶点数为k，则称其为k-团。

1963年，Erdös提出了一个关于图中包含k个点不交团的猜想。

猜想1 [ 1 ] 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，s和k为正整数且 。假设 ，那么G含有k个点不交的 ，即 。

1970年，Hajnal和Szemeréd证明了该猜想，但他们的证明非常难懂，并且证明过程也非常复杂。1978年，Bollobós关于此猜想给出了简单的证明。当 时，为如下定理。

定理1.1 [ 2 ] 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，k为正整数。假设 ，那么G含有k个独立的4-团。

关于图中点不交的圈问题，1963年，Corrádi和Hajanal证明了下面定理。

定理1.2 [ 3 ] 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，k为正整数。假设 ，那么G含有k个独立的圈。

最近Wang考虑了每个连通分支为固定大小的2-因子问题。

定理1.3 [ 4 ] 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，k为正整数。假设 ，那么G有含有k个独立的圈的2-因子，其中k-1个为4-圈。

本文将定理1.3的4-圈推广到4-团，得到如下命题。

定理1.4 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，k为正整数。假设 ，那么G含有k-1个独立的4-团和一个弦圈，弦圈上的度大于等于3或4。

在证明定理1.4之前，我们先引入下面几个引理。

引理2.1 设G是一个顶点数为n的图。如果 ，k为正整数。假设 ，那么G含有k个独立的4-团。

证明：

假设 。令S为G中任意s个点的集合，则 。因为最小度为整数且 ，所以 。又因为 ，由定理1.1可知，图G含有k个点不交的4-团。□

引理2.2 令T为图G中的一个4-团并且令 和 为图G中不在T上的两个不相邻的点。如果 ，那么 包含一个4-团 和一条边e，使得 和e是不交的并且e恰好与 和 中的一点相连。

证明：假设 。因为 ，则设 ，所以点 在T中的邻点中至少有三个，不妨设为 。 与边 是不交的。□

引理2.3 [ 5 ] 如果 为G中的一条路， ，满足 ，那么G含有一个圈C 满足 。另外，对于G中任意两个不相邻的点x,y，如果 ，那么G是哈密顿连通的。

令G是一个顶点数为n的图，定义G的(n+1)-闭包 为从G中递归地连接每对度和至少为 的不相邻的两个点所得到的图。

引理2.4 [ 6 ] 令G是一个顶点数为n的图，如果 是完全图，那么G是哈密顿连通的。

引理2.5 [ 4 ] 假定 且 。那么对于任意 ，G含有一个4-圈Q满足 有一条起始于x的哈密顿路。

令G是一个顶点数为n的图， ，k为正整数，满足条件 。因为G有一个哈密顿圈，当 时定理1.4成立。假设 ，令 。为了证明，我们首先证明下列的断言。

断言3.1 G包含k个独立的4-团 使得 有一条哈密顿路P。并且当 时，对任意 。

证明：我们首先证明断言 的情况。由引理2.1， 时，断言是平凡的。如果 ，那么 。由定理1.1，G包含 个独立的4-团。所以当 时，由引理2.1，G包含k个独立的4-团 。令 且 。我们选择 使得

(a) D中的路尽可能的长

当 时，我们断言D包含一条边。否则，令 为D中不相邻的两点。则 ，因此存在 使得 。由引理2.2， 包含相互独立的一个4-团和一条边。这与选择(a)矛盾。这也证明断言对 时成立。

假定 。令 为D中另外一点，且 。所以 。则存在 ，使得 。 假设 且 。当 时，不妨设 。因为D中不含长度为3的路，所以点 与 不相邻。由引理2.2，则 包含一个4-团并且 ，产生一条路 ，矛盾。因此 。不妨设 ，类似地， 包含一个4-团并且 ，产生一条路 ，矛盾。证明断言对 时成立。

现在假定 。首先我们证明下列命题成立。

(*)假定 是G中l个独立的4-团且 是 的一条支撑路。则存在 ，使得 包含一条支撑路。

如果不是，则 。另外，我们可以假设 包含一个哈密顿圈。否则， ，则 。由引理2.3， 含有一个哈密顿圈。因为G是连通的，所以存在一个4-团 使得 。因此， 包含一条支撑路。

令s为正整数，使得 且 。由引理2.1和当 时的结论，我们可以找到 个点不交的4-团，设为 ，和一条长度为 的路。由 递归可知，我们得到相互独立的k个4-团和一条顶点数为r的路P。

现在我们讨论 时哈密顿路P上点的度。

由D中顶点数为r的哈密顿路P的构造过程可知， 中与 关联的点度大于等于4，与下一个4-团关联的点度大于等于4，其余两个点度大于等于3。

接下来讨论哈密顿路P中其余 个点的度， 。

当 时，由定理1.1可知，G中包含 个4-团，则这四个点可以组成一个4-团，设为 ，从 中任选两点，不妨设为 。则

因此在 的 个4-团中存在一个4-团 ，使得 ，则 中至少存在两个不同的点与 和 相连，设两条关联的边为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中 关联的四个点度大于等于4，非关联的点度大于等于3。 若 ，则在哈密顿路P上这四个点中有两个度大于等于4，两个大于等于3。若 ，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。

当 时，设为 。如果点 与 不相邻，则

所以在 个4-团中存在一个4-团 ，使得 ，则 。因此，点 与 在 中的度大于等于3，点 在 中的度大于等于4。若 ，则在哈密顿路P上这三个点中有两个度大于等于3，一个大于等于4。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。如果点 与 相邻，这三个点可以组成三角形，设为 。则

所以在 个4-团中存在一个4-团 ，使得 。因此，与点 与 不相邻的情况类似，点 ， 与 在哈密顿路P上度大于等于4。

当 时，这两个点组成路T，设 。则

所以在 个4-团中至少存在一个4-团 ，使得 ，则 。因此，点 在 中的度大于等于4。若 ，则这两点在哈密顿路P上度大于等于4。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。

当 时，这个点设为x。则

所以在 个4-团中至少存在一个4-团 ，使得 。因此点x在 中的度大于等于5。若 ，则这两点在哈密顿路P上度大于等于5。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。

因此断言3.1成立。□

令 ，P为D中的一条哈密顿路，不妨设两个端点为 。若 ，则存在 ，使得 ，设 。由此可知 与 在 中至少有一个共同点，设为 ，则 。因此， 是哈密顿的。即图G含有 个4-团和一个哈密顿圈。由断言3.1可知，当 时，这个哈密顿圈上点的度大于等于3或4。下面讨论当 时哈密顿圈上的度。若 ，设这个点为x ， 是平凡的，即所得哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ， ，则存在 ，使得 ，因此 和 在 中至少有三个邻点，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ，设路P上的三个点分别为 ，因为 ，所以存在 ，使得 ，则 在 中至少有三个邻点，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ，由断言3.1可知，P为一个4-团，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。综上，当 ，主要定理得证。

否则，

则 。由引理2.3，D含有一个圈C，使得 。

断言3.2 如果 ，那么 ，对于任意 且

证明：首先假定D中的每条哈密顿路的端点是邻接的。令P为D中的一条哈密顿路并且令 。我们假定 。假设 ，对于任意 ，存在一条哈密顿路 。由假设可知 ，因为 的极大性，我们得到 。 相同地， 。则D是一个正则图。

令 ，则 。否则D有一条哈密顿路 ，由假设可知 产生矛盾。因此

由(1)可得， ，则 。因为D为G的正则子图，所以 对于任意 。如果D中存在一条哈密顿路使得它的两个端点u,v是非邻接的，我们有 。令 为D中的一个哈密顿圈并且假定 。现在我们构造 。假定 并且 。我们可以找到一条哈密顿路 ，对任意的 。因此，我们得到一条以 为其中一个端点的 的哈密顿路。如果 ，则 。在 中我们连接 ，所以我们有 。相同地， 。因此 ，对于 中的任意一对 。由定义可知 是一个完全图。由引理2.4，D是哈密顿连通的，也就是说对于D中的每对点 ，都存在一条以u,v为端点的哈密顿路。因此，对于D中的每对非相邻的点 ， 成立。

现在我们证明主要定理 的情形，我们选择k个点不交的4-团 和D中一条哈密顿路。

如果 ，由断言3.2可知，D为一个4-团，设为 ，从 中任选两点，不妨设为 。则

因此在H中存在一个4-团 ，使得 ，则 中至少存在两个不同的点与T中两点相连，设两条关联的边为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中 关联的四个点度大于等于4，非关联的点度大于等于3。

如果 ，D为一个三角形，设为 。则

所以在H中存在一个4-团 ，使得 ， 在 中至少存在两个邻点。显然 中存在三个不同的点分别为与T中三点相连，对应的边设为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中T中的三个点度大于等于3， 中的与 关联的三个点度大于等于4，剩余一个点度大于等于3。

如果 ，这两个点组成路P，设 。则

在H中存在一个4-团 ，使得 ，则 。即P中两点在 中的邻点至少有三个为共同点，对应的边组成的集合设为E。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中P中的两个点度大于等于4， 中的与E中的边关联的三个点度大于等于5，剩余一个点度大于等于4。

如果 ，D为一个点，设为x。则

在H中至少存在一个4-团 ，使得 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中点的度为4。

当 时。令P为D的一条哈密顿路，其中一个端点为u，使得 ，对于某些 。不失一般性， 。

由引理2.5，D中有一个4-圈Q使得 含有一条起始于u的哈密顿路 。因为 ，所以 有一条哈密顿路 。 因为D是哈密顿的，我们可以选择在Q与 中两条互不相交的边 和 。我们称 有一条从 到 的支持路。否则，假设 。则 且 。由 ，则存在 ，使得 。由断言3.2，D是哈密顿连通的，则在 与 之间存在一条D中的哈密顿路并且 是哈密顿的，产生矛盾。用Q代替 ，则断言3.2对 仍成立。那么D是哈密顿连通的，存在一条以 和 为端点的哈密顿路。因此 是哈密顿的，产生矛盾。

现在我们讨论 时弦圈C的结构。由定理证明中弦圈C的构造过程可知， 包含哈密顿圈，即所构造的弦圈C。在C上 中与D中哈密顿路 关联的点度大于等于4，其余两点度大于等于3。弦圈C中其它点的度的情况断言3.1已证。□

国家自然科学基金资助项目(11671232)。新疆自然科学基金面上项目(2016D01C004)。

王怡华,李硕,衣晓宁. 图中具有指定性质的不交子图Disjoint Subgraphs with Specified Properties in Graphs[J]. 应用数学进展, 2017, 06(02): 139-145. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.62016