设 为样本协方差矩阵 的特征值， 为相应的两两正交的单位特征向量，即

图1. 的样本协方差关系图(左)和样本相关系数关系图(右)

图2. 的样本协方差关系图(左)和样本相关系数关系图(右)

表1. 总体和样本的协方差矩阵和相关矩阵

令 ，它是一个正交阵， ，写成矩阵形式，就是

上式两边左乘以 ，得到

则第 个主成分 ，其中 ，且

下面构造样本主成分，令

因此样本主成分为

其中 表示样本主成分的各行， 表示样本主成分的各列。易知

类似于数据资料阵 的标准化 [ 1 ] ，可得到矩阵 的标准化矩阵 满足

其中

上式中 表示由向量 作为对角线元素构成的对角阵。注意，上式用到了(S2)的结论。从而

易知

因为 ，人们自然会想到 ，但是一般来说这是错误的。详细的证明请见本文的附录。

我们用 表示它是一个非负定阵，用 表示它是一个正定阵。令 为数据资料矩阵， 为主成分得分矩阵，则对于由 出发计算的样本主成分有如下性质：

(S1).

特别地，

(S2).

特别地，

(S3).

特别地，

(S4).

特别地，

(S5). 若 ，则

特别地，

(S6). 若 ，则

其中

是 的对角线元素组成的对角阵。特别地，

(S7). 样本总方差

此式表明了样本 的样本(协)方差之和等于样本主成分 的样本(协)方差之和。

在以上7个性质中，(S1)显然，(S2)和(S6)的分量形式的结果和(S7)可以在 [ 7 ] 中找到。

注意，在(S5)和(S6)中我们要求 ，而其余性质只要求 。因为在(S5)和(S6)的证明中会涉及到

若 有一个0特征值，即 ，则 是没有意义的，从而结论不成立，数值结果也证实了这一点。

由性质(S1)-(S6)归纳得到样本 的样本协方差关系图((S1)-(S3))和样本相关系数关系图((S4)-(S6))，如图1。

性质(S1)-(S7)的证明有些是初等的，有些需要一定的技巧，由于这些证明较占篇幅，所以把它们放到了本文的附录中。

设 为样本相关矩阵 的特征值， 为相应的两两正交的单位特征向量，即

令 ，它是一个正交阵， ，写成矩阵形式，就是

上式两边左乘以 ，得到

则第 个主成分 ，其中 。这是因为我们从样本相关矩阵 出发，所以变量已经标准化了。且

下面构造样本主成分，令

则

因此样本主成分为

其中 表示样本主成分的各行， 表示样本主成分的各列。注意到

和 可参照 [ 1 ] 中的数据资料矩阵 的标准化部分。但是，

所以 ，从而 。易知

容易验证

由 和 有

其中

注意，上式用到了(S4)的结论 。则

易知

类似于矩阵 的标准化，可得到矩阵 的标准化矩阵 满足

其中

注意，上式用到了(R2)的结论。从而

易知

因为 ，人们自然会想到 ，同样，一般来说这是错误的。详细的证明请见本文的附录。

值得一提的是，矩阵 和它的标准化矩阵 的推导是新的。

我们用 表示它是一个非负定阵， 表示它是一个正定阵。令 为数据资料矩阵， 为主成分得分矩阵，则对于由 出发计算的样本主成分有如下性质：

(R1).

特别地，

(R2).

特别地，

(R3).

特别地，

(R4).

特别地，对

(R5). 若 ，则

特别地，

(R6). 若 ，则

特别地，

(R7). 样本总方差

此式表明了样本 的样本(协)方差之和等于样本主成分 的样本(协)方差之和。

在以上7个性质中，(R1)显然，(R2)和(R6)的分量形式的结果和(R7)可以在 [ 7 ] 中找到。

注意，在(R5)和(R6)中我们要求 ，而其余性质只要求 。因为在(R5)和(R6)的证明中会涉及到

若 有一个0特征值，即 ，则 是没有意义的，从而结论不成立，数值结果也证实了这一点。

由性质(R1)-(R6)归纳得到样本 的样本协方差关系图((R1)-(R3))和样本相关系数关系图((R4)-(R6))，如图2。

性质(R1)-(R7)的证明有些是初等的，有些需要一定的技巧，由于这些证明较占篇幅，所以把它们放到了本文的附录中。