张志敏^*，许美珍

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2017年1月2日；录用日期：2017年1月21日；发布日期：2017年1月24日

本文利用Hilbert空间上的直和理论刻画了具有正则点和极限点的两区间四阶J-对称微分算子的所有J-自伴扩张。

关键词 :J-对称微分算子，J-自伴扩张，正则点，极限点，两区间

-对称微分算子是一类特殊的有着重要应用背景的非对称微分算子，对此已经有了很多方面的研究(见 [ 1 ] - [ 9 ] )。在原子核物理、电磁场理论以及非均匀介质中的无线电波的传播等应用问题中，由微分算式所生成的 -自伴微分算子是很重要的一类算子。

为了研究非对称算子的自伴扩张问题，Glazman [ 3 ] 最先从数学上提出了 -对称微分算子和 -自伴微分算子的概念。

在Hilbert (简称 )空间中闭稠定算子称为 -对称的，如果对任何 ，都有 ，其中 表示 的定义域。如果 是 -对称的当且仅当 ，这里 是 的共轭算子。如果 ，则称 是 -自伴的。

Galindo [ 4 ] 和Knowles [ 5 ] 分别于1963年和1980年相继应用不同的方法给出了任何 -对称微分算子都有 -自伴扩张的证明。

1959年，Zhikhar [ 6 ] 在 -对称微分算子正则域不空的情况下给出了它的部分特殊的(一端奇异) -自伴域的边界条件的描述。1981年，Knowles [ 1 ] 在正则域不空的情况下给出了 -对称微分算子的任一 -自伴扩张域的边界条件的描述。但是判断一个算子正则域是否非空并不是一件容易的事，1985年，Race [ 2 ] 取消了正则域非空这一限制，得到了 -对称微分算子的 -自伴扩张的一般理论。1992年，刘景麟 [ 7 ] 又对这种 -自伴扩张的一般理论作了另一种完整的处理，得到 -自伴扩张域的一种抽象的边界条件的描述。

1988年，尚在久 [ 8 ] 应用Race的理论以及曹之江 [ 11 ] 和孙炯 [ 12 ] 的方法，取消了最小算子最小亏指数的限制，利用方程 的解给出 -自伴扩张域的边界条件的描述，这些边界条件不仅在正则点处有限制，而且在奇异点处也有限制。1996年，尚在久 [ 9 ] 给出了 -对称微分算子 -自伴扩张的新描述，利用方程 的解而不是更高阶方程 的解描述了 -对称微分算子的所有 -自伴域在奇异端点的边条件，但其假设生成的最小算子具有非空正则域。

关于对称微分算子的自伴扩张不仅在一区间上有了很好的研究成果(见 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] )，在两区间上也有了一系列的成果。自伴微分算子在两区间的研究最早在1986年由Everitt和Zettl在文 [ 13 ] 提出。2005年，Zettl [ 14 ] 用GKN理论从最大定义域中选出两组向量，根据亏指数的不同分别给出自伴域的刻画。2007年，王爱平、孙炯 [ 15 ] 用最大算子域中的实值向量给出了在带有适当乘数参数的Hilbert空间的直和框架下，二阶正则两区间实系数微分算子自伴域的描述。2007年，孙炯、王爱平 [ 16 ] 等人在一个带有适当乘数参数的Hilbert空间下，给出了两端奇异两区间二阶实系数微分算子的所有自伴扩张的描述。2012年，索建青 [ 17 ] 利用方程 的实参数解，先后描述了两区间一端正则一端奇异和两端奇异的自伴扩张。然而，两区间 -自伴扩张的研究成果甚少。由于 -对称微分算子的 -自伴扩张与对称微分算子的自伴扩张有很大的相似之处，因此，我们将自伴的两区间理论推广到 -自伴的两区间理论。

本文给出四阶微分算式生成的最小算子在两区间上所有的 -自伴扩张域的特征，其中只考虑区间端点为正则点或极限点的情形。对于两区间而言，实际上我们有两个 -对称微分算子： 定义在区间 上， 定义在区间 上。一般的，区间 的右端点和区间 的左端点是否相同已不在重要，区间 和区间 是任意的两个区间，他们可能是相同的，重合的或者完全不相交的。特别的，我们定义两个微分算式生成的相应的最小算子和最大算子，并利用边界条件描述最小算子所有的 -自伴扩张域。

引理 2.1 [ 2 ] 每个 -对称算子都有一个 -自伴延拓。

引理 2.2 [ 2 ] 是一个 -对称算子， 是 的 -对称扩张，如果 是 -自伴算子，当且仅当 是最大的 -对称算子。

引理 2.3 [ 2 ] (1) 是闭稠定的 -对称微分算子，且 ；

(2) 对任何 ，极限 和 都存在，且

， (1)

这里， ；

(3) 对任何 。若 是正则的， 是奇异的，则

。 (2)

引理 2.4 [ 2 ] (Lagrange恒等式) 对一切 ，

， (3)

其中，

， (4)

称为Lagrange双线性型。其中 ， ，且 ， ， ，其中，I是单位矩阵，且Q有性质 。

引理 2.5 [ 1 ] (Naimark补缀定理) 假定 在区间 是正则的，令 ， 。则存在函数 使得

， ， 。

引理 2.6 [ 2 ] 设 ，则 中的线性流形 是 的 -自伴扩张域的充要条件是存在函数 ，使得

(a) 模 线性无关；

(b) ；

(c) 。

定理 2.7 [ 2 ] 对于任意的 ，如果 在点 是正则的，点 是极限点型的，且 ，则有 。因此，在引理2.6的条件(b)，(c)中， ， 。

令 ， 表示以 为左端点 为右端点的区间，即 。设四阶微分算式 为

。 (5)

函数 。

定义 在 生成的最大算子 ，其定义域为

。

定义 为微分算式 在 生成的最小算子。

设

， 。 (6)

两区间最大、最小算子域及最大、最小算子是每个区间上相应算子域和算子的直和，即

， (7)

。 (8)

， (9)

。 (10)

令 ， 表示空间 中的元素，其中 ， 。则

。 (11)

如果 是 的 -自伴扩张， 是 的 -自伴扩张，则 是 的 -自伴扩张。

引理 3.1 [ 12 ] 定义在 中的最小算子 是稠定的闭的 -对称微分算子，其亏指数 。其中， 是 在空间 的亏指数， 是 在空间 的亏指数。

引理3.2 [ 1 ] (Naimark补缀定理) 假定 在 上是正则的， 。令 ， 。则存在函数 使得

， ， ， ， 。

定理 3.3 令 ， 中线性流形 是最小算子 的 -自伴扩张域当且仅当存在函数 满足

(i) 模 线性无关；

(ii) ；

(iii) 。

证明 这个结果是本文的基础，定理的证明与 [ 2 ] 的定理4.7相似，因此省略。

定理 3.4 设 在端点 是正则的，且 ，那么 中的线性流形 是 的 -自伴扩张域的充要条件是存在四个 阶矩阵 满足

(a) ；

(b) ；

(c) 。

证明 必要性。设 是最小算子 的 -自伴扩张域。由定理3.3知，存在 满足定理3.3的条件(i)，(ii)，(iii)。由(4)有

，

，

这里

。 。

令

， ， ， 。

因此条件(iii)等价于定理3.4的条件(c)。

下面证明矩阵 满足定理3.4的条件(a)与(b)。

显然 。若 ，则存在不全为零的数 使得

。 (12)

因此

，

，

同理

，

。

由于 是非奇异的，有

， ， ， 。

令 ，即， ， ，则

， ， (13)

故由(13)与(2)有 ， ，所以 ，这与 模 线性无关矛盾。

下面证明(b)。由(4)，有

，

，

，

，

。因此定理3.3的条件(ii)等价于

，即 。

充分性。设矩阵 满足条件(a)与(b)。下面证明由(c)定义的 是 的 -自伴扩张域。

令

， ， ， 。 (14)

由引理3.2，选择函数 属于 使得

， ， ， ，(15)

其中， ， 。

由(14)与(4)，有

，

，

同理

， 。

故条件(c)转化为边界条件(iii)，即

， 。

最后证明 满足定理3.3的条件(i)与(ii)。

用反证法证明条件(i)成立。如若不然，那么存在不全为零的数 使得

，即 ， 。

因此

，

则 ，由于 ，于是

，

。

所以 ，这与 矛盾。

下面证明条件(ii)成立。由(14)和(15)有

同理

所以，由条件(b)得

于是由定理3.3得 是 的 -自伴扩张域。

定理3.4给出了最小算子的 -自伴扩张域边界条件耦合的情况，其条件(c)等价于

条件(b)等价于

区间 和 可以有不同的关系，如相同、重合、分离；于是，考虑区间四个端点的关系，讨论如下

(1) 区间四个端点中任意一个点与其他三个点分离，此时区间 和 是不分离的假设 点被分离，选择

；

。

则边界条件(16)转化为

，(18)

， (19)

。 (20)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为

。 (22)

(2) 区间四个端点中任意两个点分离。

(i) 区间 和 是不分离的。假设 与 是分离的，选择

；

；

。

边界条件(16)转化为(19)和(20)以及

， (23)

， (24)

。 (25)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为(22)以及

， (26)

。 (27)

(ii) 区间 和 是分离的。假设 与 是分离的，选择

；

；

。

边界条件(16)转化为(19)和(20)以及

， (28)

， (29)

。 (30)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为(22)以及

， (31)

。 (32)

(3) 区间四个端点都是分离的，此时区间 和 是分离的。选择

；

；

；

。

边界条件(16)转化为(19)，(20)，(24)，(25)和(29)，(30)以及

，(33)

。 (34)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为(22)，(27)和(32)以及

。 (35)

(4) 区间四个端点中任意两个点耦合，另外两个点也是耦合的。

(i) 区间 和 是不分离的。假设 与 是耦合的， 与 是耦合的，选择

；

。

边界条件(16)转化为

， (36)

。 (37)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为

， (38)

。(39)

(ii) 区间 和 是分离的。假设 与 是耦合的， 与 是耦合的，选择

；

。

边界条件(16)转化为(28)以及

。 (40)

判定 -自伴性的边界条件(17)转化为(31)以及

。 (41)

定理3.4给出了亏指数为8的最小算子的 -自伴扩张域的描述，并讨论了 -自伴算子边界条件分离与耦合的情形。根据两区间正则点和极限点的个数可将最小算子 的亏指数取0，2，4，6。并可根据亏指数的不同，在正则情况下分析 -自伴算子边界条件分离与耦合的情况。讨论如下

1. 当区间四个端点都为极限点时，最小算子 的亏指数 ，此时 是本身的 -自伴扩张。

2. 当区间端点有三个点是极限点，一个点是正则点时， 。此时归纳为一区间的 -自伴扩张域的描述，边界条件只在正则点处有限制。假设 是正则点，其他情形和这种完全类似。

设 ， ， 。于是定理3.3可归纳为

(a) 模 线性无关；

(b) ；

(c) 。

3. 当区间端点有两个点是极限点，两个点是正则点时， 。这时有以下两种情况

(1) 两个正则点在同一个区间上，故 ， 。假设 是正则区间， 为 的 -自伴扩张，则最小算子 在两区间的 -自伴扩张为 。

(2) 两个正则点不在同一个区间上，故 ， 。假设 是极限点， 是正则点。其他情形和这种完全类似。

设 ， ， 。于是定理3.3可归纳为

(a) 模 线性无关；

(b) ；

(c) 。

因此，条件(c)就等价于(36)的四个等式，条件(b)就等价于(38)的六个等式，条件(a)说明 线性无关。

4. 当区间端点有一个点是极限点，三个点是正则点时， 。那么一个区间的两个端点都为正则点，另一个区间一个端点为正则点一个端点为极限点。假设 是正则点， 是极限点，所以， 。其他情形和这种完全类似。

设 ， ， 。于是定理3.3可归纳为

(a) 模 线性无关；

(b) ；

(c) 。

因此，条件(c)就等价于等式(18)，条件(b)等价于(21)，条件(a)说明 线性无关。

等式(18)描述了 点边界条件耦合的情形，但边界条件在区间 和 可能是分离的，也可能是不分离的。

(1) 区间 和 是分离的，选择

；

。

(18)的六个边界条件转化为(28)-(30)，判定 -自伴性的边界条件(21)转化为(31)和(32)。这种情形讨论了边界条件在 点和 点耦合与 点分离的情况，还有一种比较特殊的情形，即边界条件在三个点是分离的。令

；

；

。

(18)的六个边界条件转化为(24)，(25)，(29)，(30)，(33)和(34)，判定 -自伴性的边界条件(21)转化为(27)，(32)和(35)。

(2) 区间 和 是不分离的，选择

；

。

(18)的六个边界条件转化为(23)~(25)，判定 -自伴性的边界条件(21)转化为(26)和(27)。

国家自然科学基金(11361039, 11561051)；国家青年基金(11301259)。

张志敏,许美珍. 两区间四阶J-对称微分算子J-自伴扩张域的描述 The J-Selfadjoint Realizations of Two-Interval Forth-Order J-Symmetric Operators[J]. 应用数学进展, 2017, 06(01): 78-89. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.61010