在模糊集合论中，元素x与集合U之间的关系不同于经典集合论中的“包含”与“不包含”，它可以用隶属度来表示，如图1所示。

设给定论域U，U到[0,1]闭区间的任意一个映射 使得：

对于论域U上的一个模糊子集A，μ_A叫做A的隶属函数，μ_A(x)就叫x对应于A的隶属度。

若隶属度μ_A(x)越接近于1，表示因素x对集合A的隶属程度越高；反之，若隶属度μ_A(x)越接近于0，表示因素x对集合A的隶属程度越低。

设 是一个样本集，U是X的一个离散论域，μ是X × U到[0,1]的一个映射

如果μ(x,u)满足以下条件：

(1) 自反性： ，若 ，有 ，则 ；

(2) 连续且单调递减：对于 ， ，若 ，则

图1. 实数集和模糊集

(3) 信息守恒：

则称μ(x,u)为X在U上的信息分配(Information Distribution)，μ为分配函数。

假设V是论域U的一个子集，μ是X × V到[0,1]的一个映射假设：

则称μ(x,v)为X在V上的一个信息扩散(Information Diffusion)，μ为扩散函数，V为监控空间 [ 9 ] 。

如果把信息分配的模糊分类函数平移至注入信息的扩散点，这时信息分配就转化成了信息扩散。可见，信息分配是信息扩散在离散情形下的一种特例。通过信息扩散可将一个给定样本X转换成模糊样本X’，将一个分明观测值x_i映射到隶属度为μ_xi(u)的一个模糊集 。常见的扩散函数有正态扩散函数、三角扩散函数、一次扩散函数、二次扩散函数等，不同的扩散函数可对应不同的分配函数。

山洪的形成条件复杂，一方面，局地强降雨事件是主要动力因素，对山洪灾害起直接作用；另一方面，地形地貌、植被情况、人类活动也将影响山洪灾害的发生，对山洪灾害起间接作用 [ 10 ] 。它们相互联系，共同作用，因此可从主要动力因素和间接影响因素两个方面总结归纳可能诱发暴雨山洪灾害的环境影响因素，包括降雨因素(如雨量、雨强、降雨历时、累积雨量)，土壤因素(如土壤类型、前期湿润度等)，地形地貌(如微地貌类型、地形坡位等)，河段信息(如河道长度、糙率、断面形状、宽度等)，人类活动(如土地利用类型、人口密度、经济数据等) [ 11 ] [ 12 ] 。为了更好地区分定性指标与定量指标的隶属度计算方法，本研究选取微地貌类型、土地利用、累积雨量和人口密度作为风险指标因子，其中两个为定性指标，两个为定量指标。分别对风险因子的状态划分阈值，并将山洪灾害风险划分为微危险区、低危险区、中危险区、高危险区四个等级，如表1所示。

将研究区域中的所有风险因子状态视为论域U，对其划分r个网格，假设选定t个环境因素作为山洪灾害风险因子，每个研究网格内各风险因子状态用随机样本X表示。通过正态扩散函数μ(x_i,u_j)，如式(1)所示，样本中的每一个观测点x_i都将转换成模糊集μ(x_i,u)

式中：h_k是第k个扩散系数。

表1. 山洪灾害风险等级分区及指标量化表

对于信息不完备区域，设U为X的输入论域，V为X的输出论域，通过信息扩散函数可产生二维空间U × V上的山洪灾害原始信息矩阵Q_r×t，如下所示。

设

其中，v_a，v_b为输出论域的区间边界。

在此基础上，构造相应的信息矩阵Q'_1×t。通过Q'_1×t，则任一样本x_i，都可以由一个模糊集表示出来。设

根据一维线性信息分配函数，如式(3)所示，从而可以得到一个因果型模糊关系矩阵R_1×t。

其中，x_i为样本点，u_j为控制点，Δ为信息矩阵Q'_1×t的区间平均长度。

本文以山区小流域的山洪灾害风险评价为研究目标，以网格为研究对象，如图2所示，所取网格内的微地貌类型为85%河源、15%开阔山坡，土地利用为68%林地、32%草地，累计雨量为157 mm，人口密度为41%。

图2. 研究区域概况图

Step 1：由研究区域微地貌类型、土地利用、累积雨量、人口密度的状态构成样本点集合， ， ， ， ，待评价网格的风险因子状态样本为 ；

Step 2：对于定性指标，根据指标状态的比例将信息扩散给控制区间；对于定量指标C和D，本研究采用正态扩散函数计算原始信息矩阵。通过正态信息分配函数，将r个单值观测点所携带的信息扩散给集合区间内的所有点，构造各风险因子的原始信息矩阵Q_r×t，分别用Q_C，Q_D表示，并计算相应的 ， 。

Step 3：获取控制区间和相应的控制点， ，对于微地貌类型， ，对于土地利用， ，对于累积雨量， ，对于人口密度， ；

Step 4：分析山洪灾害风险因子对风险等级之间的隶属度，通过一维线性信息分配函数，构建山洪灾害风险评价的模糊关系矩阵R，如下所示。

Step 5：归一化，得

图3是三种常见的隶属度函数，分别是降半梯形函数，三角形函数，升半梯形函数。传统的隶属度函数多

依赖于经验公式，常用的隶属度计算方法有模糊统计法、专家评分法、二元对比排序法等。

与其他隶属度计算方法比较，本研究提出的基于信息扩散理论的山洪灾害风险因子隶属度计算方法，不仅完善了模糊数学中隶属度函数的构造方法，并且突破了对资料要求高，客观性不强的壁垒，更加适用于中小河

图3. 三种常见的隶属度函数

流山洪灾害研究区域的实际情况。