PM Pure Mathematics 2160-7583 Scientific Research Publishing 10.12677/PM.2016.66068 PM-19111 PM20160600000_41245549.pdf 数学与物理 多资产期权确定最佳实施边界问题的研究 Research on the Implementation of the Optimal Implementation of the Multi-Asset Option 吴 小庆 1 * 西南石油大学理学院，四川 成都 * E-mail: wuxiaoqing_swpu@163.com 22 11 2016 06 06 496 526 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文研究多资产期权确定最佳实施边界的问题，建立了多维Black-Scholes方程在多维区域 Ω≅{(s,t)|s∈R+m，t∈(0，T)} 具有奇异内边界函数向量s=s(t)=(s1(t)，...，sm(t))， 0∠t∠T 的 数学模型，期权价格函数为未知函数。应用矩阵理论 和广义特征函数法获得了期权价格函 数的精确解 u(s，t)。并获得了奇异内边界的指数函数向量表达式 (s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) 。证眀了：当任意t∈(0，T) ，数学模型 的解u(s，t) 在奇异内 边界取区域R+m：0∠Sj∠∞，j=1，...，m 中的最大值，即 u(s(t)，t)= t∈(0，T) ；同时获得了 Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由 边界问题B的精确解和其自由边界的指数函数向量表达式 (s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) ，问题A和问题B的自由边界与奇异内边界 重合。从而指数函数向量表达式 s(t)=(s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) 为最佳实施边界。指数函数向量 (s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) 满足条件 ， k=1，...，m；且有ωk的计算公 式 ；公式表明ωk，k=1，...，m由多维 Black-Scholes方程中出现的所有参数akj，qj，r 唯一确定。 In this paper, we study the problem of determining the optimal implementation boundary of multi- asset option, and establish a mathematical model of multidimensional Black-Scholes equation with singular inner boundary function vector s=s(t)=(s1(t)，...，sm(t))，0∠t∠T , In multi-dimension region .>Ω≅{(s,t)|s∈R+m，t∈(0，T)} the option price function is an unknown function. The exact solution u(s，t) of the mathem- atical model is obtained by using the matrix theory and the generalized characteristic function method. And the exponential function vector expression of the singular inner boundary is ob- tained (s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) . It is demonstrated that: when any t∈(0，T) ,the maximum value of the solution u(s，t) of the region R+m：0∠Sj∠∞，j=1，...，mis obtained on the singular boundary, namely u(s(t)，t)= . The free boundary problem A and free boundary problem B of Black-Scholes equation are solved. The free boundary of problem A and B is expressed by the function vector R+m：0∠Sj∠∞ , j=(s1(t),...,sm(t))=(θ1eω 1(T-t),...,θmeωm(T-t))1，...，m . The free boundary of the problem A and problem B coincides with the singular inner boundary. So the vector expression of the exponential function is the best implementation of the boundary. The exponential function vector (s1(t),...,sm(t))=(θ1eω1(T-t),...,θmeωm(T-t)) satisfies the condition ，k=1，...，m; and ωkis calculated by ; the formula shows that ωkis only determined by all the parameters appearing in the multidimensional Black-Scholes equation.

 多资产期权，最佳实施边界，自由边界问题，多维Black-Scholes方程, Multi-Asset Option Best Implementation Boundary Free Boundary Problem Multi-Dimension Black-Scholes Equation 多资产期权确定最佳实施边界问题的研究<sup> </sup>

吴小庆

西南石油大学理学院，四川 成都

收稿日期：2016年11月10日；录用日期：2016年11月24日；发布日期：2016年11月30日

 摘 要

本文研究多资产期权确定最佳实施边界的问题，建立了多维Black-Scholes方程在多维区域具有奇异内边界函数向量的数学模型，期权价格函数为未知函数。应用矩阵理论和广义特征函数法获得了期权价格函数的精确解。并获得了奇异内边界的指数函数向量表达式。证眀了：当任意，数学模型的解在奇异内边界取区域中的最大值，即；同时获得了 Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由边界问题B的精确解和其自由边界的指数函数向量表达式，问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合。从而指数函数向量表达式为最佳实施边界。指数函数向量满足条件；且有的计算公式；公式表明由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数，，唯一确定。

关键词 :多资产期权，最佳实施边界，自由边界问题，多维Black-Scholes方程

 1. 引言

期权是风险管理的核心工具，姜礼尚 [ 1 ] 对期权定价理论作了系统深入的阐述，利用偏微分方程理论和方法对期权理论作深入的定性和定量分析，特别对美式期权展开了深入的讨论。美式期权合约中具有提前实施的条款，因此最佳实施边界的确定对于美式期权具有特殊意义。在美式期权定价研究中，姜礼尚 [ 1 ] 建立了Black-Scholes方程的自由边界问题，对最佳实施边界 作了很多深入的研究，得到很多重要的结论。其中包括 的位置， 的单调性， 的上下界以及 的凸性等，并给出了 在 附近的渐近表达式。这些结果增加了对最佳实施边界的认识，对美式期权定价的数值计祘产生了重要的影响。期权定价问题历来是金融经济学中的重要研究课题之一 [ 1 ] - [ 8 ] ，多年来，众多经济学者与研究人员对这一问题进行不断深入的研究，但是这些研究大多是围绕具有单个资产的期权进行的。多资产期权在现代金融交易市场中占有重要的地位，研究多资产(或单个资产)期权定价模型大多是围绕数值解法进行的 [ 9 ] - [ 21 ] ，姜礼尚 [ 1 ] 建立了关于期权价格函数 的多维Black-Scholes方程

其中矩阵 为实对称非负矩阵。研究关于方程(01)的多资产期权的数学模型。

由于

故方程(01)可改记为

本文研究多资产期权确定最佳实施边界的问题，建立了多维Black-Scholes方程在多维区域 具有奇异内边界函数向量 的数学模型，期权价格函数 为未知函数。应用矩阵理论和广义特征函数法获得了数学模型的精确解 。并获得了奇异内边界的指数函数向量表达式 。证眀了：当任意 ，数学模型的解 在奇异内边界取 中的最大值，即 ；同时获得了Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由边界问题B的精确解和其自由边界的指数函数向量表达式 ，问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合。从而指数函数向量表达式 为最佳实施边界。指数函数向量 ，满足条件 ；且有 的计算公式 ；公式表明 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。

 2. 主要结果 2.1. 多资产期权的数学模型I的研究

引入记号

数学模型I (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界的终值问题)：

数学模型I是关于多资产期权的数学模型，它是多维Black-Scholes方程在区域 具有奇异内边界 ， 的终值问题，未知函数 为期权价格函数。

其中：方程的自由项为

为狄拉克 -函数； 为 维狄拉克 -函数； , 为实对称非负矩阵。

数学模型I.1 (多维Black-Scholes方程的终值问题)：

数学模型I.2 (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界和齐次终值条件的终值问题)：

2.1.1. Black-Scholes方程数学模型I的求解

记偏微分算子

先考虑m维Euler方程在半无界区域 的特征值问题I

为求解特征值问题I我们建立了引理1.1~引理1.6。

引理1.1：设 为正定矩阵，则存在正线下三角矩阵 满足 且分解是唯一的；且有

1) 正线下三角矩阵 的行列式 ， ； ；

2) 由 唯一确定 ；由 唯一确定 ；

3) 记 ，则 为正线上三角矩阵，

；由 唯一确定 ；

4) 记 ， ；则当 时，有 。从而当 ， ，有 ； ，有 。

证明：由矩阵理论 [ 22 ] 即知存在正线下三角矩阵 满足 且分解是唯一的。由 有 。

正线下三角矩阵 ，正线下三角矩阵 的行列式 ，且 ； 的转置矩阵 为正线上三角矩阵。 的逆矩阵 为正线上三角矩阵。 。

下证4)由于 为正线上三角矩阵，即有 和 ；从而有

为列向量，应用分块矩阵的乘法运算即有

从而有

由于 即有

为正定矩阵，则 为正定矩阵， 为正定二次齐式，从而有

由 的任意性，分别令 ，

其中 。

由(13)式即有

即

从而

再记 ；有 和

由(14)，(15)两式即有：当 ， ，有 ；显然也有：当 ， ，有 。引理证毕。

记 ，作 到 的线性变换

记 (17)

引理1.2：若 ，则有

其中 为向量变系数偏微分算子。

证明(16)式即

由(17)式即有

由复合函数的求导法则

从而

即(18)式成立。引理证毕。

m维Euler方程在半无界区域 的特征值问题II

其中 ， (24)

引理1.3：若 ，则特征值问题I中方程(8)与特征值问题II中方程(22)等价。

证明：由 ，有

记 ，由引理1.1矩阵 为正线上三角矩阵。

由(18)式有

由矩阵乘法

从而

由于 为正线上三角矩阵有

记

即有

由(26)，(32)两式即知方程(8)与方程(22)等价。引理证毕。

引理1.4：特征值问题II的特征值

所对应的特征函数为

且有

证明：容易求解特征值问题II：由分离变量法令

再令

若(42)式成立则(41)式成立；特征函数

不恒为零，由(42)推出

由(48)式即有(23)式成立。引理证毕。

由(16)和(17)式换回原变量即得特征值问题I的特征函数

且

由(51)式即有(9)式成立。于是得到

引理1.5：特征值问题I的特征值

所对应的特征函数为

引理1.6：特征值问题I的特征函数系 是半无界区域 带权函数 的完备正交系；正交关系即

证明：由于

引入变量代换

由于行列式

即有变量替换的雅可比行列式

由多重积分变量替换公式，即有

(58)式即(54)式。引理证毕。

由引理1.5与引理1.6的结论可以引入广义特征函数法 [ 23 ] [ 24 ] 求解 数学模型I。

不妨设解 ，将其表为特征函数的积分形式

将上式两边乘以 再关于变量 在 积分，利用正交关系(54)则有

得到

将方程中的自由项 也表为特征函数的积分形式

由(61)即有

应用 -函数的积分性质即得

含参变量积分与算子 的运算交换次序即有

由(2)即有

将(62)，(65)，(66)代入方程(1)即有

由特征函数系的完备正交性即有 ，再由(68)式即得

非齐次常微分方程的终值问题

用常数变易法得到非齐次常微分方程的终值问题的解为

将上式代入(59)式即得

将 的表达式(52)，(53)代入(72)，并记

其中 由(68)， 由(64)确定。

由(74)式即有

于是有

将 的表达式代入(64)式，化简即得

将(77)代入(75)式，并化简

即得

定理1 (数学模型I解的存在定理)：若

1) 为正定对称矩阵， ；

2) 为充分光滑的单调函数；

3) 。

则数学模型I有精确解：

且数学模型I.1的解 由(80)式给出，数学模型I.2的解 由(81)式给出。

 2.1.2. 多维Black-Scholes方程奇异内边界<inline-formula><inline-graphic xlink:href="//www.abtbus.com/html/file/7-1250469x271_hanspub.png" xlink:type="simple"/></inline-formula>的确定

数学模型II (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)：

求 ，使其满足

定理2 (数学模型II解的存在定理)：若

1) 为正定对称矩阵；

2) 为充分光滑的单调函数；

3) 。

则数学模型II有连续有界的精确解

数学模型II有解的相容性条件是

其中

证明：由定理1(数学模型I解的存在定理)的结论，(81)式给出的 已满足条件(82) (83) (85)三式，让 满足条件(84)式去确定奇异内边界 。

将(81)式 记为

由(94)式对 关于自变量 求偏导，由复合函数的求导法则有

若令

则

即有

将(97)式代入(95)式即有

下面建立引理2.1~引理2.4来完成定理2的证明。

引理2.1：条件(96)成立，则有

和

证明：若条件(96)成立，则有(98)成立。由(98)式易知(100)式成立。

由(98)即得到対任意 有

1) 当 有

由引理1.1的结论4)即有即有：当 ，有 成立，从而

2) 当 有

由引理1.1中结论4)即有：当 ，有 成立，从而

从而(99)式成立。引理证毕。

引理2.2：条件

成立的充要条件为

证明：1) 必要性，若(103)成立，由 即有

记

由(105)式有

让 即有

干是有(104)式成立。

2) 充分性，若(104)式成立，即有

即(103)成立。引理证毕。

引理2.3：当条件

成立时，则条件(96)成立，从而有 。

证明：由(109)式则有

再由(110)式即有

即条件(96)成立，由引理2.1即有 成立。引理证毕。

引理2.4：未知数 的线性方程组(110)的解为

证明：线性方程组(110)写成矩阵形式即为

由 矩阵的定义即有 ，从而

由矩阵乘法即得线性方程组(110)的解由(113)式给出。引理证毕。

记

由引理2.1~引理2.4即知：当(117)成立时，有解 其中 由(94)给出， 。由(117)式即有(96)成立，由引理2.1即有 和 成立。

由(117)式即有(97)式成立，将(97)代入(94)即有：

再将(117)式代入(118)式，即有

引入记号： ，再由(119)即得到 由(87)给出。由(87)式给出的解 满足条件(84)式和(85)式。从而满足数学模型II，即(87)，(88)两式给出了数学模型II的解。由(87)式即知数学模型II有解的相容性条件是(89)式。定理证毕。

引入记号

多维开区间 ，多维闭区间 。

函数的支集 ,支集的闭包 ，记函数集合 。

记

定理3(数学模型I.1解的性质定理)：若 为正定矩阵， ；则

1) 当 ；数学模型I.1的解

满足

和

其中

2) 当 ，则数学模型I.1的解

且解 满足

3) 当 ，数学模型I.1的解

且解 满足

证1): 数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出，由 有

应用多维狄拉克 -函数的积分性质即得

引入记号 即有

由于 线性方程组(110)的解，由(110)即有

由(112)式即有

即有

由(132)和(134)两式即有

由于

从而

故 。由(132)对 关于 求偏导得到

由(134)，(139)即得(124)。

证2)：数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出。任意 即有 。 ,故 , 。于是(74)式中积分的积分区域由 变为 。则数学模型I.1的解

由(140)关于 求偏导

当 有 ；积分变量 ，有 ；

又

记

；由(142)，有 ，引理1.1的结论4)即有 ；

从而由(143)有

再由(141)即有当 ，

当 ， ，从而有 成立。

证3)：当 ，由数学模型I.1的解(74)式即有(128)成立。由(128) 式对 关于 求偏导即有

当 ，有 ,

引理1.1的结论4)即有

由(146)即有：当 ， 。当 ， ，从而有 成立。定理证毕。

 2.2. 关于多维Black-Scholes方程的自由边界问题的研究

由

即有

即

即

下面分别讨论关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题A和在 的自由边界问题B。

自由边界问题A (关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题)：求 ，使其满足

定理4 (自由边界问题A多解性定理)：若

1) 为正定矩阵；

2) ；

则自由边界问题A的有解 ，自由边界为

具有多解性，第一解：

有解的相容性条件

第二解：

有解的相容性条件

证明：当 由定理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(147)，故由(153)式和(156)式给出的解滿足齐次方程(147)。再由定理2，定理3的结论即知定理4成立。由(112)，(152)两式即有

推证相容性条件(158)，由(141)，(160)两式即得。定理证毕。

附注1：定理4中的笫二解对在函数集合 任意给定的 都有由(156)式给出的解 与之对应，即得到了一个解族 。

自由边界问题B (关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题)：求 ，使其满足

定理5 (自由边界问题B多解性定理)：若

1) 为正定矩阵；

2) ；

则自由边界问题B有解 ，自由边界为

具有多解性，第一解：

有解的相容性条件

第二解：

有解的相容性条件

其中

证明：当 由定

理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(161)，故由(167)式和(170)式给出的解滿足齐次方程(161)。再由定理2，定理3的结论即知定理5成立。推证相容性条件(172)由(146) (160)两式即得。定理证毕。

附注2：定理5中的笫二解对在函数集合 任意给定的 都有由(170)式给出的解 与之对应，即得到了一个解族 。

 2.3. 数学模型III与自由边界问题A和问题B的关系

数学模型III (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)：

求 ，使其满足

定理6 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理一)：若

1) 为正定矩阵；

2) ；

3) ；

4) ；

5) 。

则数学模型III与问题A和问题B有相同表达式的解

有解的相容性条件

其中

数学模型III的奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三曲线重合成同一指数函数向量 ；数学模型III的解函数是问题A和B的解函数的共同连续开拓，即

定义2：若 ， 由(183)定义，称 为数学模型III与问题A和问题B的一致相容解。

定理7 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理二)：若

1) 为正定矩阵；

2) ；

3) ；

4) ；

5) 。

则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解

有解的相容性条件

定理8 (奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三线合一定理三)：若

1) 为正定矩阵；

2) ；

3) ；

4) ；

5) 。

则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解

有解的相容性条件

其中

由定理6，定理7，定理8给出的一致相容解 满足条件

即一致相容解 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，从而称 为最佳实施边界。

定理9 (多资产期权最佳实施边界定理)： 为正定矩阵，则期权价格函数 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，多资产期权最佳实施边界为指数函数向量

满足

且有 的计算公式

公式(195)表明 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。

证明：由定理6，定理7，定理8即知期权价格函数 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，从而多资产期权最佳实施边界为指数函数向量(193)。关于 的计算公式(93)式代入 的计算公式(92)式即得 的计算公式(195)，由引理1.1即知 皆由 唯一确定，从而 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。定理证毕。

 3. 结论

指数函数向量 为多资产期权的最佳实施边界，满足条件 ；且 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。

 文章引用

吴小庆. 多资产期权确定最佳实施边界问题的研究 Research on the Implementation of the Optimal Implementation of the Multi-Asset Option[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 496-526. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66068

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