王慧颖¹，衣梦涵²，刘昊³

¹中央财经大学统计与数学学院，北京

²东北农业大学理学院，黑龙江 哈尔滨

³中央财经大学管理科学与工程学院，北京

收稿日期：2016年11月7日；录用日期：2016年11月26日；发布日期：2016年11月29日

基于Markowitz资产组合理论，综合考虑证券投资的风险和收益，建立证券组合投资的多目标规划模型，融合遗传算法和蚁群算法应用于上述模型的求解。具体地，将具有快速全局搜索能力的遗传算法产生的问题初始解转化为蚁群算法的初始信息分布，再对蚁群进行遗传操作，最后利用蚁群算法的并行性、正反馈机制、求解效率高的特征寻求最优解。实验结果表明：上述两种算法的融合在求解质量和效率上均优于单独的遗传算法或蚁群算法。

关键词 :证券组合投资，多目标规划，遗传算法，蚁群算法，算法融合

随着我国市场经济体制的建立和完善，证券市场充满了生机和活力，也充满了困惑与风险。恰当的证券组合投资不仅可以回避风险保住资金成本，还能获得理想的收益。长期以来，投资者的决策多依赖于实验中的经验，尚未上升到理论高度。1952年，Markowitz提出了确定证券收益和风险水平的主要原理和方法，这标志着现代组合投资理论的开端 [ 1 ] 。随后，众多学者对其进行了扩展，提供了许多求解证券组合问题的有效方法 [ 2 ] 。但如何使证券组合模型成为最优化的决策模型仍亟待解决。近年来，随着人工智能技术的发展，将其应用于组合投资问题已成为更广阔的研究领域。但组合投资问题的规模和复杂度越来越大，单一算法的优化结果往往不够理想。基于这一现状，本文利用算法融合的思想提高算法优化性能。具体地，将遗传算法和蚁群算法融合求解证券组合模型最优解问题，并通过数值实验说明融合算法应用于模型求解的准确性与有效性。

1975年，美国密执安大学的Holland教授基于达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说首次提出了遗传算法 [ 3 ] [ 4 ] 。随后De Jong将遗传算法转化为机器语言，并由Goldberg总结验证形成了官方的遗传算法 [ 5 ] 。该算法一经提出，便被广泛应用于机器学习、模式识别、神经网络、图像处理等各个领域。蚁群算法(ACO)顾名思义是受到蚂蚁群体觅食行为的启发产生的一种算法，自1991年Dorigo首次提出ACO算法后，便引起了国内外学者的广泛关注 [ 6 ] [ 7 ] 。其变异模型也被广泛应用到TSP问题、二次分配问题、Bayesian网学习问题等各类领域。

将遗传算法和蚁群算法融合，汲取两种算法的优点，克服各自的缺点，使得结合后的算法在时间和求解效率上得到改善，被称之为遗传–蚁群算法。肖宏峰等人针对连续域优化问题提出了两种融合方法，一种是利用遗传算法的全局搜索性为蚁群算法提供初始信息分布，再利用基本蚁群算法进行寻优；另一种是在基本蚁群算法寻优的过程中，为避免算法过早地陷入局部最优情况，引入遗传算法中的交叉操作来产生蚁群算法寻优的新路径，从而提高蚁群算法的全局搜索能力以获得更优解集 [ 8 ] 。

然而，遗传算法虽具有快速全局搜索能力，但未利用系统中的反馈信息，从而增加了迭代次数，导致计算效率低。蚁群算法通过信息素累计和更新收敛于最优路径，具有并行、分布、全局收敛能力，但搜索初期信息素匮乏使得搜索初期信息素累计时间过长，导致求解速度慢 [ 9 ] 。为克服遗传算法和蚁群算法的缺陷，形成优势互补，本文利用遗传算法的随机搜索、快速、全局收敛性产生问题的初始解，将其转化为蚁群算法的初始信息分布，再利用蚁群算法的并行性、正反馈机制、求解效率高的特征寻求最优解。在蚁群算法求解过程中，每个蚂蚁都具有普通生物体共有的生物特征，因此本文将遗传机理赋予智能蚂蚁，每个蚂蚁又受制于遗传算法的调节，使得蚁群算法无论从个体上还是整体上得到改进，从而得到一种新的遗传–蚁群算法。最后，将该融合算法应用于证券组合投资实例中，实验结果表明：无论是在求解时间效率方面还是在求得解的稳定性方面，融合算法均优于单一的遗传或蚁群算法。

在证券市场中，投资者会争相购买收益率较高风险较低的证券，当证券收益降到一定程度或者风险升高到一定程度时，投资者会转而去购买别的证券。这种行为类似于自然界的适者生存原则和蚂蚁的觅食行为，受此启发本文将遗传算法和蚁群算法应用到证券市场投资者行为的模拟中，寻找最优的证券投资组合。

假设市场中有 种证券待投资，记第 种证券的期望收益率为 。由于 受证券市场中的各种因素影响，故将其看成随机变量。记 为 的均值， 为 的方差， 为第 个证券与第 个证券的协方差， 为证券组合投资的风险， 为第 个证券被投资的比例，满足关系式 ，则证券组合投资的期望收益率为 ，其方差为

，故证券组合的多目标规划模型为

在(1)式的限制条件中， 意为我国不允许卖空证券。

记 为对称正定矩阵即协方差矩阵。若考虑最小交易单位的限制，记 为第 个证券每手交易的市场价格， 为可投资金额上限，则(1)式等价为：

即

(3)式即为既能提高收益又能降低风险的多目标决策模型。

多目标优化的解法层出不穷，但其基本思想均是把多目标问题转化为单目标问题，再利用较为成熟的单目标优化方法求得最优解。各种解法可分为两类：一类是针对多目标函数的一个分量进行优化，而把其它的分量作为约束条件，或者构造一个序列单目标优化；另一类是把多目标函数的各分量按照一定规则构成一个评价函数，并把该评价函数作为单目标进行优化求解。本文采用多目标规划的模糊优选法，将收益—风险转化为单目标规划模型：

这里 为厌恶系数，其取值范围为 ， 越大说明投资者越不能接受投资风险，当 时表明投资者完全规避风险。

本文以六种证券的组合为例，验证遗传–蚁群模型在优化证券组合投资中优于单一的遗传算法和蚁群算法。六种证券的收益率和风险指标(协方差)如表1所示。

预期组合证券投资收益率 ，在遗传算法中选取种群规模 ，交叉概率 和变异概率 由(7)式计算，最大进化代数 ，蚁群算法中设置信息素常数 ，遗传算法转换的信息素强度值 ，蚂蚁数 ，蚂蚁在各区域吸引强度持久性系数 ，蚂蚁在各区域搜索中释放信息素密度 ，吸引强度启发式因子 ，期望值启发因子 ， 、 、 在循环 [ 14 ] 中由(11)式计算，在MATLAB环境下运行得到的最优解为：

由此可得证券组合最小风险为 ，最大收益为 ，以及当风险偏好 时，

目标函数值 。

对该证券分别用简单的遗传算法(设置交叉概率 ，变异概率 )、蚁群算法、遗传–蚁群算法进行1000次求解，解的变化情况见下列图示。由图3可见，简单遗传算法求得目标函数最小值为 ，耗时 ；由图4可知，蚁群算法解得目标函数的最小值为 ，耗时 。而使用遗传–蚁群算法解得目标函数的最小值为 ，耗时 。对比三种算法的求解结果可以看出：简单遗传算法求解波动性大，蚁群算法求解波动性稳定，但是目标函数值大

图2. 遗传算法和蚁群算法的速度–时间曲线

表1. 证券的收益率和协方差

图3. 简单遗传算法求解情况

图4. 蚁群算法、遗传–蚁群算法求解情况对比图

表2. 数据统计表

于简单遗传算法。用遗传–蚁群算法求解得到最小函数值比其他两种算法求得的目标函数值小，并且解的波动性小，时间上比简单遗传算法提高了67%，比蚁群算法提高了52%，表明利用遗传–蚁群算法获得的分配方案使得证券投资优化高于单独的遗传算法和蚁群算法。

由表2数据统计情况可得，本实验中遗传–蚁群算法获得最优解的概率为99.8%，而蚁群算法和简单遗传算法均未求得最优解，可见遗传–蚁群算法比遗传算法和蚁群算法在求解质量方面具有很大优势。

本文根据我国证券投资市场的现状(不允许卖空证券)，提出了非负投资比例约束条件下的证券组合投资优化目标模型，给出了一新的求解该模型的遗传–蚁群算法，通过仿真分析，将该融合算法与蚁群算法、遗传算法的求解结果比较，数值实验结果表明：遗传–蚁群算法在求解质量和时间上都优于单独的蚁群算法和遗传算法。

感谢国家自然科学基金项目(11301558)，2014年度中央财经大学重大科研课题培育项目(基础理论类)的资助。

王慧颖,衣梦涵,刘昊. 基于遗传–蚁群算法的证券组合投资优化研究 Research on Protfolio Investment Optimization Based on Genetic-Ant Colony Algorithm[J]. 建模与仿真, 2016, 05(04): 161-169. http://dx.doi.org/10.12677/MOS.2016.54021