杨 玲，李 莹

大连民族大学理学院，辽宁 大连

收稿日期：2016年11月3日；录用日期：2016年11月18日；发布日期：2016年11月25日

本文给出了广义Gray-Scott模型不存在非常值正稳态解的若干充分条件。

关键词 :广义Gray-Scott模型，稳态解，不存在性

广义Gray-Scott模型的化学反应机制如下 [ 1 ] ：

其中 ， 和 是正常数。对于一维情形，反应物 和 的浓度 , 满足如下反应扩散方程：

其中 和 是化学反应物 和 的扩散系数。当 时，通常称上述模型为Gray-Scott模型 [ 2 ] [ 3 ] 。通过变换，其相应的高维广义Gray-Scott模型为：

此处， 是Laplace算子； 为 中的有界区域，且其边界充分光滑； 是 上的单位外法向量 ； 是正常数。上述模型的正稳态解满足下面的椭圆型方程组：

称 是(1.1)的一个正解，如果， ，且其满足(1.1)。

目前，关于广义Gray-Scott模型的研究主要集中在 的情形 [ 4 ] - [ 9 ] ，对于 的情形的研究很少，文献 [ 1 ] 也仅仅讨论了一维情形。对其它类似模型如Sel’kov模型、 Brusselator模型、Schnakenberg模型等的研究参见 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 。

本文研究问题(1.1)非常值正解的不存在性。主要结果如下：

引理1.1：设 ，如果下列条件之一成立：

(i) ，

(ii) 且 ，则问题(1.1)不存在非常值正解。

定理1.2：设 ，如果下列条件之一成立：

(i) 且 ，

(ii) 且 ，

则问题(1.1)不存在非常值正解。

在第二节给出定理1.1的证明；在第三节，给出定理1.2的证明。

引理2.1：设 为问题(1.1)的一个正解，则

, ,

其中， 。

证明：设 , 。依文献 [ 14 ] 中命题2.2，得

,

由此得到第一个结论。

令

,

得

.

令 ，依文献 [ 14 ] 中命题2.2，得

,

即

,

进而

.

这表明，第二个结论成立，这样，引理2.1得证。

定理1.1的证明：对任意 ，记 。假设 是(1.1)的正解。用 乘以(1.1)中的第一个方程两边，然后在 上积分，得

由中值定理知：对任意 ，存在介于 之间的 ，使得 ，由于 ，所以 。注意到： ，得

。

同理，用 乘以(1.1)中的第二个方程两边，然后在 上积分，得

.

由Poincaré不等式

,

得

.

利用Young不等式，得

进而

.

取 得

,

所以当 时，有 ，这证明了第一个结论。类似地，可得到第二个结论。这样，定理1.1得证。

引理3.1：设 是(1.1)的一个正解，则 满足如下积分恒等式

其中 ， ， ， 。

证明：将模型(1.1)的两个方程在 上积分，得

令

,

得

在上式两边乘以 ，在 上积分，并注意到： ，得

由此得

另一方面

在(3.2)的两边乘以 ，然后在 上积分，得

联合(3.3)和(3.4)，引理3.1得证。

定理1.2证明 由引理3.1的证明可知 ，再根据引理3.1知：如果 ，则有

由Poincaré不等式

接下来在(1.1)中的第一个方程两边同乘以 ，在 上积分，得

由中值定理知， 介于 之间，使得 ，因为 ，所以 。又因为 ， ， ，所以由(3.6)得

取 ，于是由(3.7)可化为

由于 再结合(3.7)和(3.5)，则 。

于是，得

所以，当 时， 。

类似地可得到第二个结论。这样，定理1.2得证。

辽宁省大学生创新创业项目(编号：S201512026049)。

杨 玲,李 莹. 广义Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性Nonexistence of Positive Nonconstant Stationary Solutions for Generalized Gray-Scott Model[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 480-485. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66066