边小丽，王亚萍，李霞

天津职业技术师范大学，天津

收稿日期：2016年10月30日；录用日期：2016年11月13日；发布日期：2016年11月23日

在实Clifford分析中的k-超正则向量值函数和k-超调和向量值函数定义的基础上，首先给出了复Clifford代数中的k-Hypergenic向量值函数和k-Hypergenic调和向量值函数的定义，然后引入了一个偏微分方程组，借助这个偏微分方程组讨论了k-Hypergenic向量值函数的性质及其与k-Hypergenic调和向量值函数的关系，最后得到这个偏微分方程组可解性的充分必要条件。

关键词 :Clifford分析，k-Hypergenic向量值函数，k-Hypergenic调和向量值函数

Clifford代数是Clifford建立的可结合不可交换的代数，在理论物理、弹性物理和经典分析等方面有着广泛的应用 [ 1 ] 。1982年，Brackx，Delanghe和Sommen [ 2 ] 建立了Clifford分析的理论基础。近年来，Eriksson-Bique [ 3 ] 和张艳慧，袁洪芬，乔玉英 [ 4 ] [ 5 ] ，谢永红等在Clifford分析做了大量的工作。2008年，彭维玲等 [ 6 ] 进一步研究了Clifford分析中k-超正则向量值函数的性质。2009年，Eriksson [ 7 ] 和Orelma提出了实Clifford代数 中的k-Hypergenic函数。2013年以来，谢永红与杨贺菊等 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 研究了与k-Hypergenic函数相关的一些问题，2014年和2016年，边小丽等 [ 11 ] [ 12 ] 研究了复Clifford分析中的复k-超单演函数及复k-超正则向量值函数的性质，本文在文献 [ 7 ] 和 [ 8 ] 的基础上，受文献 [ 6 ] 和 [ 11 ] 的启发，在k-超正则向量值函数的定义的基础上，首先给出了复Clifford代数中的向量值函数和调和向量值函数的定义，然后引入了一个偏微分方程组，借助这个偏微分方程组讨论了向量值函数的性质及其与调和向量值函数的关系，最后得到这个偏微分方程组可解性的充分必要条件。

设 是 维的复Clifford代数空间，单位元为 ， 由 生成，且规定

中的任意元素 能表示为 ( )，其中 ， 或 。对于任意的 ，对合运算 定义如下：

，其中 表示 中元素的个数。

对任意的 ，有 。

共轭运算： 。

对任意的 可唯一的分解为 ，其中 。定义两个映射 : 和 ，使得 ， ，则 分别称为 的 部和 部，将 和 分别简记为 和 ，且对任意的 ，有

称 是 中的向量。

引入复Dirac算子 和修正的复Dirac算子 ：

,

,

设 为 中的区域。函数 可表示为 ，其中 为复值函数。定义在 上取值于 中的有 次连续偏导数的函数 的全体记作 。

定义1：设 为 中的区域，若一个函数 在 上满足 ，且 ，则称 为 上的复向量值函k-Hypergenic数。

定义2：若二次连续可微函数 满足 ，且 ，则称 为复k-Hypergenic调和向量值函数，特别当 时，称为复Hypergenic调和向量值函数。

引入组(H)：

定理1：设 ， ，则 是一个复k-Hypergenic向量值函数的充要条件是组(H)成立。

证明：由

则容易验证 是一个复k-Hypergenic向量值函数的充要条件是组(H)成立。

定理2：设 和 分别为复常数，若 和 为 上的复k-Hypergenic向量值函数，则 为 上的复k-Hypergenic向量值函数。

定理3：若 是复k-Hypergenic向量值函数，则 也是复k-Hypergenic向量值函数。

证明：由 又由 是复k-Hypergenic向量值函数，则 ，且 ，从而 是复k-Hypergenic向量值函数。

定理4 [ 3 ] ：设 ， 在 上是二阶连续可微的，则

由定理4，有

定理5： 是复k-Hypergenic调和向量值函数的充要条件是 均满足

且 满足方程

定理6：设 是二次连续可微函数， 是组(H)的解的充要条件是 和 都是复k-Hypergenic调和向量值函数。

证明：必要性：首先证明 是复k-Hypergenic调和向量值函数，对(1)式中的 分别关于 求偏导数，得出

由(1)式中的 ，得出

从而有

即 满足(3)。

下面对(1)式中的 关于 求偏导数

从而有

即

由定理5知 是复k-Hypergenic调和向量值函数。

下面证明 是复k-Hypergenic调和向量值函数。

由于

记 ， 第一步证明 满足(3)式，事实上

第二步证明 满足(3)式，事实上

第三步证明 满足(4)式

综上可知，若 是组(H)的解，则 和 都是复k-Hypergenic调和向量值函数；反之，若 和 都是复k-Hypergenic调和向量值函数，则 分量作成的函数是组(H)的解。

国家自然科学基金数学天元基金(11226086, 11526154)；国家自然科学基金(11601390)；国家自然科学基金面上项目(11472298)；天津职业技术师范大学校级项目(KJ14-30)。

边小丽,王亚萍,李 霞. Clifford代数Cl_n+1,0(C) 中的k-Hypergenic向量值函数的性质 ome Properties of k-Hypergenic Functions with Vector Value in the Clifford Algebra Cl_n+1,0(C)[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 464-470. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66063