靳敏倩，朱培勇

电子科技大学数学科学学院，四川 成都

收稿日期：2016年10月30日；录用日期：2016年11月14日；发布日期：2016年11月23日

本文首先对R-半拓扑空间中点集的性质进行研究，然后对R-半拓扑的比较进行讨论，最后研究R-半拓扑空间的分离性质，并且在上述三个方面都分别获得了一些理论结果。

关键词 :R-半拓扑，R-半拓扑基，R-半拓扑的比较

2002年，匈牙利数学家A. Csaszar在文献 [ 1 ] 中引入了广义拓扑概念，他定义：集合 的一个子集族 称为是一个广义拓扑，如果空集 并且对于任何族 有 。不难看出：广义拓扑实际上是一个半拓扑。2015年，文献 [ 2 ] 把广义拓扑称为上半拓扑，进而引入下半拓扑的概念，使得点集拓扑的一些性质得到了很好的推广。最近，文献 [ 3 ] 和文献 [ 4 ] 利用文献 [ 2 ] 的研究方法，将任意一个拓扑进行重新剖分为两个半拓扑，即左半拓扑与右半拓扑，并且分别记这两个半拓扑为L-半拓扑与R-半拓扑。同时，这两文献又从另一个角度推广了拓扑的概念，分别得到了L-半拓扑空间和R-半拓扑空间的一些研究结果。本文主要在文献 [ 4 ] 的基础上，对R-半拓扑空间进行研究，主要讨论R-半拓扑空间的点集性质、R-半拓扑基与R-半拓扑的比较。

定义1.1 [ 4 ] ：设 是一个非空集合， 是 的一些子集构成的集族，如果下列条件被满足：

(O1) ；(O2) 若 ，则 。

则称 为集合 上的一个R-半拓扑，并且称有序偶 为一个R-半拓扑空间， 中的每一个集合都称为R-半拓扑空间 的R-开集。本文在不混淆的情况下，通常用 简记 。

定义1.2 [ 4 ] ：设 为R-半拓扑空间， ， ，如果 ，使得 ，则称 为点 的一个R-邻域。点 的邻域全体称为点 的R-邻域系，记作 ，并称 为由拓扑 导出的 的R-邻域系。

定义1.3 [ 4 ] ：设 为R-半拓扑空间， ， ，如果 使得 ，则称点 为点集 的R-内点。点集 的R-内点的全体称为 的R-内部，记为 或 。

此外，本文中所有没定义的关于R-半拓扑空间的相关概念(例如子空间等)、术语和记号，如果没有特殊声明，都来自于文献 [ 5 ] 。

根据文献 [ 5 ] 在一般拓扑空间中，有结论： 为开集的充要条件是 。但在R-半拓扑空间中该结论不成立。

命题2.1：设 是R-半拓扑空间， ，若 为开集，则 。反之，结论不成立。

证明：(1) 因为 为开集，对 ， ，使得 ，由R-内点的定义可知 ，所以 ；又显然有 ，故 。

(2) 反之，可取 ， ，则 是R-半拓扑空间。又取 ，则对 ， ，使得 。由R-内点的定义，有 。因此 ；又 ，所以有 。但 ，因此 不是开集。

下面是与拓扑空间类似的两个结果：

命题2.2：设 是R-半拓扑空间， ，如果 是 的开子集，则 开于 当且仅当 开于 。

证明：(必要性) 设 开于 ，存在 中开集 使得 ，又因 是 的开子集，则 ，因此 是 中开集。

(充分性) 设 开于 ，则 开于 。而 ，因此， 开于 。

命题2.3：设 是一个R-半拓扑空间， ，则 。

证明：对于 ，因 使得 并且 ，则 使得 ，故 。又因 且 ，则 。所以， 。

反过来，对于 ，则存在 使得 并且存在 使得 。对于 ，又存在 使得 ，则存在 使得 。因此， 。

从而， 。

定义3.1：设 ， 是 上的两个R-半拓扑，如果 ，则称 是比 更粗的R-半拓扑，或称 是比 更细的R-半拓扑。

命题3.1：设 ， 是 上的两个R-半拓扑， 和 分别是关于 与 的全体闭集构成的集族，则 是比 更粗的R-半拓扑当且仅当 。

证明：(必要性) ，有 ，因 ，则 ，故 ，从而， 。

(充分性) 对于 ，有 ，因 ，则 。故 ，因此， ， 是比 更粗的R-半拓扑。

众所周知，在一般拓扑学中有定理 [ 5 ] ：如果 ， 是 上的两个拓扑，则 当且仅当 ，有 。下面证明：这定理在R-半拓扑空间中不成立：

命题3.2：:设 ， 是 上的两个R-半拓扑，若 ，则 ，有 。反之，结论不真。

证明：(1) 设 ，对于 ， ， ，使得 。因为 ，则 并且 ，故 ，所以 。

(2) 反之，可取 ， ， ，则 ， 是 上的两个R-半拓扑，由R-邻域的定义，有

，

因此，对于 ，有 。但是， 。

定义4.1：设 是R-半拓扑空间， ，如果 ，存在 ，使得 ，则称B为R-半拓扑 的一个基，也称B为 的一个R-半拓扑基。

命题4.1：设 是R-半拓扑空间，B为R-半拓扑 的一个基当且仅当 ， ， 使得 。

证明：(必要性) 设B为R-半拓扑 的一个基，即 ，存在 ，使得 ，故 ， ，使得 。

(充分性) ，若 ，则 ，使 ；若 ，因为 ， ，使得 。故 。由R-半拓扑基的定义知：B为 的一个基。

在一般拓扑空间中，有如下结论：

设 是拓扑空间，B为 的一个基，则B满足下面两个条件：(1) ；(2) ， ， 使得 。但在R-半拓扑空间中，上述条件（1) 不一定成立。

例如：可取 ，则 ， ，但 。

现在，类比一般拓扑空间的分离性质引入R-半拓扑空间的分离性质：

定义5.1：设 是一个R-半拓扑空间，且 中的任意一点都有包含它的邻域存在。

(1) 称 是R-T₀的，如果 ， ， 使得 ，或者 使得 。

(2) 称 是R-T₁的，如果 ， ， ， 使得 并且 。

(3) 称 是R-T₂的，如果 ， ， ， 使得 。

定理5.1：R-半拓扑空间 为R-T₀空间当且仅当任意 ，若 ，则 。

证明：(必要性) 设 为R-T₀空间，任意 ， 。由 公理，不妨设存在 ，使得 ，即 闭于 ，故 ，因此 ，从而 。

(充分性) 任意 ， ，因 ，则 或 。不失一般性，设 ，即存在 。下证 。从而存在 ，有 。事实上，若 ，则 ，因此 ，于是 。这与 矛盾。

定理5.2：若R-半拓扑空间 中每个单点集都是闭集，则 是R-T₁空间。

证明：任意 ， 。因为 是闭集，则 为开集，并且

，

又因为 。故 为 空间。

在一般拓扑学中，定理5。2的逆命题也成立，但在R-半拓扑中却不成立，反例如下:

取 ， 。容易验证 是一个R-T₁空间，但存在 中的单点集 不是闭集。

定理5.3：R-半拓扑空间 是R-T₂空间当且仅当 中每个收敛网有唯一极限。

证明：(必要性)反证。若 中存在一个收敛网 有两个极限点 与 并且 。由 的 性，存在 ，存在 ，使得 。因为 ，故存在 ，使得任意 ，有 。又因 ，故存在 ，使得任意 ，有 。再由 的定向性，存在 ，使得 且 。因此，任意 ，有 。这与 矛盾。从而 有唯一的极限点。

(充分性) 反证。若 不是 空间，即存在 ，使得任意 ，任意 ，有 。取 ，并且定义 。

又在 中定义半序“ ”： 当且仅当 且 。则 是一个定向集。 为 中的一个网。

现在证： 并且 。

事实上， ，取 ，则 。对于 ，当 时，有 。因此 。同理可证， 。

定义5.2：设 是一个R-半拓扑空间，且 中的任意一点都有包含它的邻域存在。

(1) 称 是R-半正则的，如果 ， 闭于 ，若 ，则 ， ，使得 。

(2) 称 是R-半正规的，如果 闭于 ，若 ，则 ， 使得 。

定理5.4：R-半拓扑空间 是正则的当且仅当 ， ， ，使得 。

证明：(必要性)设 ， ，存在开集 ，使得 。记 ，则 闭于 并且 。由 的正则性， 开集 ， 开集 ，使得 。则 。因而， ，使得

(充分性) 设 ， 闭于 并且 。令 ，则开集 。由假设， 使得 。令 ，则

因此 ， 且 。从而 是正则的。

本文在文献 [ 4 ] 的基础上进一步探究右半拓扑即R-半拓扑空间的性质，得到了R-半拓扑空间的一些结论以及R-半拓扑的比较与R-半拓扑基的一些结果。进而，丰富了R-半拓扑空间理论。同时，给出反例说明有些在一般拓扑中成立的命题在R-半拓扑中却不成立。

靳敏倩,朱培勇. 关于R-半拓扑空间的一些探究Some Research on R-Semi-Topology Space[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 459-463. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66062