崔琪，张丽华

沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁 沈阳

收稿日期：2016年11月2日；录用日期：2016年11月19日；发布日期：2016年11月22日

本文给出并证明了有限维单模李超代数具有非退化的结合型并且讨论了李超代数的限制性。

关键词 :单模李超代数，结合型，限制李超代数

目前，有限维单模李超代数的分类问题还没有解决，所以文献 [ 1 ] 构造了新的有限维单模李超代数 ，并确定了它的单性，文献 [ 2 ] 确定了 的导子超代数。

为了将 与已有的有限维单模李超代数进行比较，文本讨论了 的结合型和限制性。

下面将文献 [ 1 ] 构造的有限维单模李超代数 作简要回顾。用 表示正整数集， 是特征数为 的域，设 ， 为域 上具有 个未定元 的外代数。

定义： ， 。

令 。

对 ，令 ，且约定 ，则 构成 的一组 -基底。

令 ， 为满足 ， 的截头多项式代数。 表示整数模 的剩余类环， ，设 ，定义： ，于是 ， 为 的 -基底。

设 ， 为模2的剩余类环，令：

于是 是由 的 -阶化诱导出的结合超代数。

若 ，将 简记为 ，于是 是 的一个 -基底。令 ，则 是 -阶化的超代数，且 。

令 。

对 ，令 为 对 的偏导子，则 可以扩充为 的导子，使得对 ， 。

设 ，若 ，则令 ，使得 ；

设 ，若 ，约定 ，那么对任意的 ，有 ，于是，若 ，则 ，而若 ，则 。

设 ，定义 ，那么：

令 ，那么 为 的导子超代数 的子代数， 为 一组 -基底。下面简记 为 。

令 ，其中：

,

那么 是 -阶化李超代数。

引理3.1 [ 3 ] ：设 是有限维单 -阶化李超代数，置 。假设 是一个超对称双线性型，并且满足下列条件：

(a) 是 -不变的，即 ；

(b) ，对 ；

(c) 是 -不变的，即 。

那么 是 上的结合型。

本文定义 ，使得 ，其中 ， ，显然 是线性的。

定理3.2 [ 4 ] ： 具有非退化的结合型。

证明：因为 ，其中 ,

所以： ，

定义函数 ，显然 是双线性和超对称的。又因为 ，所以 。下面验证 满足引理3.1中的三个条件：

先验证(a)，任取 中的基向量 、 ， 中的基向量 ，其中 且 。

若 ， ， 或 ，有：

其中， ， ，且 。

若 ，有：

若 ，有：

因此当 时

若 ，有

若 ，因为 ，由 定义，上式中除了第四项和第六项其余项均等于0。对于这两项，我们只需讨论 ，且 的情况，其余情况这两项均等于0。若 ，由于 ，所以第四项和第六项相加等于0；若 ，由于 ，所以第四项和第六项相加也等于0。

若 ，因为 ，由 定义，上式中第二项和第七项等于0。对于其余项，我们只需讨论如下几种情况：

①若 且 ，则上式等于 由于 ，则该式等于0。

② 且 ，则上式等于

由于 ，则该式等于0。

③若 ，由①②可知上式等于0成立。

所以， 是 -不变的。

再验证(c)，任取 中的基向量 ， 中的基向量 ， ， 中的基向量 ，其中 且 ， ，有

若 ，则由 定义，上式等于0。

若 ，则上式等于

由 定义，该式等于0。

若 ，则上式等于

由 定义，该式等于0。

若 ，则上式等于

由 定义，该式等于0。

另一方面，

由 定义，该式等于0。

综上所述， 是 -不变的。

最后验证(b)，任取 中的基向量 ， 中的基向量 ，其中 ，有 ，所以对任意的 ， 成立。

综上，由引理3.1可知， 是 上一个结合型显然， 。由 的单性，知 是非退化的。

引理4.1 [ 5 ] ：设 是域 上的李超代数， 是 的一组 -齐次基底。如果存在 ，使得对任意的 ，有 ，其中 ，若 ； ，若 ，则 是一个限制李超代数。

定理4.2：有限维模李超代数 是限制李超代数。

证明：设 与 分别为 和 的一组基，下面证明 为内导子。下面分两种情况讨论：

(1) ，则 。

对任意的 ，因 是偶导子，由Leibniz公式，有：

又 ，而 是特征为 的域上的李超代数，所以有：

所以， 。

(2) ，则 。

对任意的 ，因为：

所以 。

由 是偶导子及 是特征为 的域上的李超代数，仿照(1)，有

所以，

由于 ，所以 都为内导子，因此有限维模李超代数 是限制李超代数。

崔 琪,张丽华. 模李超代数W⌒(n,m)的结合型和限制性 The Associative Form and Restrictiveness of Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m)[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 474-479. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66065