对于给定的 及 ，记 及 为研究区域，且 为 的边界。考虑二维对流扩散方程：

， (2.1)

其中 表示污染物的时空浓度， ， 是扩散系数， 是污染物沿着 轴方向的对流速度， 是线性源/汇项。通常情况下，该源项具有变量分离的形式 ，其中 为时间依赖的衰减因子， 为空间依赖的源强度。

初边值条件给定为

， (2.2)

及

。 (2.3)

对于上述初边值问题(2.1)~(2.3)，如果所有的模型参数及初边值条件等都是已知的且满足相容性条件，则根据抛物型方程的正则理论，它是一个适定的定解问题，且在 上存在唯一解。这里我们忽略关于正问题(2.1)~(2.3)的有关结论，主要考虑确定空间依赖的源项强度 的反问题。

假设区域 中出现了某种持续性污染现象，且污染物主要由区域内的连续源项产生，而其强度未知。

不妨设区域的左边界 为可观测边界，且可测量通过该边界的污染物流量，即有附加数据：

， (2.4)

其中 表示边界 上的单位外法向量，则由(2.4)联合(2.1)-(2.3)形成一个确定源项强度函数 的反问题。

记 。设 为源项强度函数的容许集，其中 为一个正常数。则对于任意 ，正问题有唯一解，记为 。联系到附加数据条件，定义映射 ：

。(2.5)

据此，反问题(2.1)~(2.4)可以化为算子方程(2.5)的求解问题。从数值求解的角度，该反问题又可转化为如下带正则化的极小问题

，(2.6)

其中 是正则参数。本文主要考虑该反问题解的唯一性问题，数值求解模拟研究结果将另文再表。

为此，下述关于齐次热传导方程的边界可控性结论是有用的。

引理1 [ 16 ] 设 为有界开区域，其边界 分片光滑。令 为所有允许的边界函数 ： 的集合， 为 的任意非空子集。对于 ，记 是下述初边值问题的解：

则对于给定的 及 ，存在一个支集在 中的控制函数 使得

。

成立。

引理1的结论对于一般的抛物型方程也是成立的。该引理说明对于一个齐次的线性热传导过程，终值时刻的分布可以由边界值近似控制。

下面，先建立一个联系已知数据函数和未知函数的变分恒等式。

定理1设 ，且 是对应于 的正问题(2.1)~(2.3)的解，而 是 上的流量观测数据，则有变分恒等式

， (3.1)

其中 满足下述伴随问题

且 为可控制的边界输入函数。

证明记 ，则有

及附加数据

。 (3.4)

取试验函数 ，分别乘以(3.3)的第一个方程的两边，并在 上积分，有

。

对上式左边各项分部积分，利用(3.3)中的零初边值条件，可得

。 (3.5)

令 是伴随问题(3.2)的解，则联系到条件(3.4)式，由(3.5)式即得(3.1)式。由于伴随问题(3.2) 的解由边值函数 所确定，其解记为 。定理证毕。

唯一性是反问题理论研究的重要方面，更是反问题研究中的一个关键问题。对于所考虑的反问题，借助变分恒等式(3.1)及引理1，本节证明若未知的源强度函数在某个小区域内具有严格的保序性，则该反问题的解必是唯一的。这就是所谓的条件唯一性。

定理2 在定理1的条件下，设(A1)： 且 ；(A2)：存在 及某个子区域 ，使得 成立，则必有 。

证明 反证法。假设 ， ，即 。则由恒等式(3.1)可知

。 (3.6)

记

。 (3.7)

取 的一个剖分

，

并记 ，则有

， (3.8)

其中 表示截断误差， 是正常数。注意到条件 ，这里略去了 时的项。

由定理条件(A2)可知，存在 上的非负可积函数 ，其中 是 上的严格非负光滑函数。于是得到

。 (3.9)

再由定理条件(A1)，可构造 的 可积函数序列

。

注意到伴随问题(3.2)是倒向的适定问题，由引理1可知，通过适当选取边界函数 ，伴随问题在 时的解 可与目标函数 任意接近。以此类推，在每一个子区间 上都有可控的边界输入，使得对任意的 ，有

。 (3.10)

基于(3.8)式及(3.9)式，利用基本不等式及 ，可得

。 (3.11)

注意到 ，对上式右端中间项，利用(3.10)式及Cauthy-Schwartz不等式，成立估计

。 (3.12)

即有

。 (3.13)

可知，只要 及 充分小，则必有 。这与(3.6)式矛盾。定理证毕。