吴健，周廖，孙成恩

安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽 马鞍山

收稿日期：2016年8月18日；录用日期：2016年9月2日；发布日期：2016年9月7日

本文讨论Cauchy收敛、Cesaro收敛、以及Abel收敛性之间的关系。给出了若干反例说明这三种收敛性一个比一个弱，并且通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。

关键词 :Cauchy收敛，Cesaro收敛，Abel收敛

众所周知，序列的收敛性 在数学分析中扮演着极其重要的角色(见 [ 1 ] - [ 4 ] )，通常的收敛均是Cauchy收敛。

定义1 对于有界序列 ，如果 则称序列 Cauchy收敛到 。

即： 意味着对 ，存在 ，使得对 ，有 。

在实际应用中有一些序列并不能满足上述条件。因此，许多学者就提出了考虑在更弱的条件下序列的收敛问题。其中最著名的就是Cesaro收敛和Abel收敛。

定义2 对于有界序列 ，如果 。则称序列 Cesaro收敛到 。

定义3 对于有界序列 ，如果 。则称序列 Abel收敛到 。

本文主要研究这三种收敛性的关系，研究表明序列Cauchy收敛可推导序列Cesaro收敛，序列Cesaro收敛可推导Abel收敛，并且给出具体的例子说明它们的逆都不成立。即这三种收敛性一个比一个弱。我们通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。

定理1设序列 Cauchy收敛到 ，则序列 Cesaro收敛到 。

证明 由 ，可以对任意给定的 选取 ，使得当 时成立 于是

这里 是一个确定的数，由此可见，只须取 ，就可以保证当 成立

结论成立。

注1 如果定理1中的 取 ，结论仍然成立。即：如果 ，则 。定理1的逆命题一般来说不成立，例如：取 但通过附加适当的条件其逆命题也可以成立。

命题1 设序列 单调递增，且Cesaro收敛到 ，则序列 Cauchy收敛到 。

证明 见参考文献 [ 5 ] 。

命题2 设序列 Cesaro收敛到 ，且满足 ，则序列 是Cauchy收敛到 。

证明

令 ， ， ， 。

则 且

。

于是

注意到， ，结论成立。

如果序列 有不同的收敛子列，则 一定不是Cauchy收敛，但它的算术平均可能收敛。下面给出这样一个结论，它在概率论中非常有用。

命题3 设d是一正整数。序列 满足

，

则

证明 由定理1，有

记 ， ， ，则

令 ，则 且 。结论成立。

定理2 如果序列 Cesaro收敛到 ，则序列 Abel收敛到

证明 不妨假设级数 的收敛半径小于或等于1。即

。

令 ， ，

注意到

往证 。事实上，如果 ，那么因为 ， ，故对任意的 ：

因此，如果 。

注2 定理2的逆一般来说也不成立，例如：假设 ，易知 的收敛半径为1，并且

和

因此， Abel收敛到0，但是Cesaro意义下发散。

安徽省大学生创新基金项目资助(201410360300)。

吴 健,周 廖,孙成恩. 关于序列收敛性的一个注记A Note on the Convergence of Sequence[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 398-401. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65054