设随机过程 只取整数值 ，假定， 的取值只与 有关，而与t − 1期前S的取值无关，那么此随机过程被称为N状态下的马尔科夫链，用公式可表示为：

转移概率 代表状态 条件下 的概率，若该过程服从一阶Markov链过程，可用转移矩阵P来表示转移概率：

其中， ， 。

下面以正态分布为例，构建期货黄金指数的Markov模型，假定t时期的期货黄金指数为 ， 。假定存在一个不可观测变量 代表t时刻期货黄金指数所处状态，当 , , 的边缘分布为 ， 服从N状态下的一阶马尔科夫链。

Markov模型中需要估计的参数有转移概率 , , 。我们采用EM算法去进行参数估计，关于似然函数的选择有两种方式：完全似然函数Zucchini (2009) [ 6 ] 、复合似然函数Zou (2013) [ 7 ] 。不过在Zou (2013) [ 7 ] 已经说明复合似然函数效果要好于完全似然函数。

在正态分布条件下，复合似然函数可表示为：

其中， 表示 时刻为 状态而 状态。 表示 属于状态μ状态的概率。

每时刻的状态都是未知的，我们可以将其作为缺失变量。因此可以利用EM算法估计参数 ， , 。利用所预测出来的参数，通过平滑概率，可以计算出当t = T时， 属于每个状态的概率。我们也可以通过参数P、 、 与第t时刻的观测值 可以预测出当 时， 属于每个状态的概率，均值和方差。

本文运用惩罚下复合似然函数Chen (2012) [ 7 ] 作为似然函数

在这里 为序列的样本方差。由Zou (2013) [ 7 ] 可知在这种方法下迭代步骤分为E-STEP和M-STEP两个步骤：

在E-STEP，我们运用贝叶斯公式计算条件期望值

其中 。在EM算法中，我们假定这个变量为隐藏变量。

在M-STEP，我们最大化似然函数，则可得：

,

,

其中 和 ，其中 。

我们使用上海期货铜指数日收益率作为研究对象，在这里我们用指数益率作为收益率的代表，令 ，其中， 代表第t天上海期货铜指数的收盘价，为此我们可以得到关于日收益的时间序列图，见图1所示。

可以看出，2001年~2015年上海期货铜日收益率大都在0附近徘徊，同时，收益率存在着一定的波动聚集性，这主要是指在金融时间序列中，一个较大的波动后往往会跟着一个较大的波动，而一个较小的波动后往往跟着一个较小的波动，这反映的是金融波动的正相关性和正反馈效应。因此，通过过去一个

图1. 2001~2015年上海期货铜日指数收益率

时间段上海期货铜的日交易数据对下一交易日上海期货铜的日收益率进行预测具有一定的合理性。

我们利用Markov状态转换模型对上海期货铜的日指数收益率进行分析，构建模型。我们假定每一个交易日的上海期货铜的指数收益率服从正态分布，且在训练期间内，上海期货铜的指数收益率存在两种波动状态，即上海期货铜的指数收益率服从两个不同的正态分布，且两种状态之间的转换过程服从一阶马尔可夫过程。

此时，复合似然函数可表示为：

其中， 。

通过复合似然函数，利用EM算法，可以估算出转移概率 ， ， 。利用预测出来的参数，通过平滑概率，可以计算出当t = T时， 属于每个状态的概率，再结合转移概率 ，可以预测出当 时， 属于每个状态的概率，通过状态参数 、 可以预测数 的均值和方差，通过均值和方差，我们可以计算出 大于或小于0的概率(即上涨或下跌的概率)以及 大于0.02或小于−0.02大概率(即出现大幅波动的概率)。

我们通过以下3个方面来衡量Markov状态转换模型的分析效果，一、模型的收益率情况，二、模型预测的准确率情况，三、模型对大幅波动的预判情况。

关于模型训练区间的选取并没有特定的标准，由于模型当中需要估计6个参数，训练区间不宜选取太短；同时，由于假定上海期货铜的指数收益率存在两种波动状态，训练区间不宜选取太长。为此，我们分别考虑100个交易日、150个交易日、200个交易日的情况。