青兰，乌云高娃

内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2016年5月10日；录用日期：2016年5月24日；发布日期：2016年5月31日

在本文中定义了一类广义l-array多项式，并利用运用指数型Riordan阵方法与组合分析法，研究了广义l-array type多项式，得到了广义l-array type多项式与广义Hermite-Based Apostol Bernoulli多项式，广义Hermite-Based Apostol Euler多项式的关系式，给出了array type多项式，第二类Stirling数以及高阶Bernoulli多项式，高阶Euler多项式的一些恒等式。

关键词 :指数型Riordan阵，广义l-Array Type多项式，经典Array Type多项式，第二类Stirling数

组合序列在组合数学中有着十分广泛的应用背景，特别是经典的组合序列，其中经典第二类Stirling数 [ 1 ] 在数学领域中扮演重要的角色。近年来，很多学者用各种不同的方法对第二类Stirling数进行了推广，并取得了丰富的成果。2011年，罗秋明与H. M. Srivastava [ 2 ] 研究了第二类l-Stirling数与Apostol type多项式相关的性质。2013年，Simisek [ 3 ] 引入了广义第二类l-Stirling type数与广义l-array type多项式，得到了许多相关恒等式。本文在此基础上继续推广了广义l-array type多项式，并运用一些指数型Riordan理论和组合学技巧得到了一些关于广义l-array type多项式以及array type多项式的组合恒等式，并且在这些恒等式里包含着一些常见的特殊组合数。在这里，我们还引入了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式的定义，从而得到它们相应的指数型Riordan阵，并进一步证明了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。

Riordan阵理论在组合学中具有广泛的应用，是研究组合和式与特殊组合序列的工具。应用Riordan理论不仅可以研究组合序列，发现和证明恒等式，而且在序列、矩阵与发生函数之间建立起了很好的桥梁。下面将给出指数型Riordan阵理论的一些基本知识。

一个正常的指数型Riordan阵是一个形式幂级数对 ，其中 ， 且满足 ，即 是一个delta级数。Riordan阵按如下规则定义了一个无穷下三角矩阵 ：

其中函数 称为该指数型Riordan阵的一般元。

最常见的指数型Riordan阵为Pascal阵 。

在所有指数型Riordan阵组成的集合中，定义两个Riordan阵的乘法如下：

若 ， ，则 与 的乘积定义为

.

引理1 [ 3 ] 令 为关于 的指数型Riordan阵，令为序列 的数型发生函数，则我们有

,(2)

上述和式可以改写为矩阵相乘形式：

引理2 [ 3 ] 所有满足 为可逆级数的指数型Riordan阵 关于矩阵乘法构成一个群。特别地，矩阵 为群的单位元，而矩阵 的逆元为 ，其中 为 的复合逆。

下面我们将给出本文用到的一些基本记号： ， ，且 表示整数集合， 表示实数集合及 表示复数集合。我们假设 表示多值函数 的主分支且其虚部 被限制为 。进一步，

及

其中 且 [ 1 ] [ 2 ] 。

此外，我们引入线性函数的线性表示 ，它在单项式 上的作用定义为：

其中 是Kronecker记号。由定义，如果 ，那么我们有

同样地，如果 ，那么 。从而易知 。换言之， 就是 中 的系数。因此， 可以表示“取系数”算子。

最后，介绍符号“ ”，我们用 表示 换为 ，如 表示 换为 等等。

在这一节，我们将构造一类关于包含非负实参数 的广义l-array type多项式的发生函数，并应用指数型Riordan阵理论得到了广义l-array type多项式的一些性质，进而证明了特殊组合序列，如经典array type多项式与第二类Stirling数，的一些恒等式。现在，我们将给出广义l-array type多项式的自然推广形式：

定义2.1 令 ， ， 且 ，则一类广义l-array多项式 可定义为

运用式(3)，可计算出多项式 的特殊值如下：

，

注2.1 在式(3)中代入 及 ，我们可得广义l-array多项式

( [ 3 ] ，定义3.1)。进一步，令 ，我们有广义第二类l-Stirling数

它是由下列发生函数所定义：

( [ 3 ] ，定理2.2)。

在式(3)中令 ， 及 ，则有array多项式

这恰好是Chang与Ha [ 4 ] 的结果，也可参考Simsek [ 5 ] 。显然

其中 表示第二类Stirling数 [ 3 ] 。

为方便起见，假设多项式 的发生函数为

定理2.1 假设 ， ， 及 ，那么 有指数型发生函数

证：在式(4)的右端代入式(3)可得

因此

上面方程的右端恰为 的Taylor级数展开式。

故，

对上式应用二项式定理，~即可得到所证结果。

在式(5)中令 可得

对上式两边取系数，也可以得到

注2.2 在(5)式中令 及 ，定理2.1产生相应的结果( [ 3 ] ，定理3.3)。在(5)式中取 时，它被简化为

在特殊情况 ， 及 时，由式(5)所定义的一类广义l-array多项式 立即得到经典array多项式 ，它由下述发生函数所定义

这正是由Chang及Ha [ 4 ] 所研究的array多项式 的发生函数。

根据指数型Riordan阵的定义(1)式，我们得到对应于广义l-array type多项式 的发生函数(5)式的正常的指数型Riordan阵：

,

所以，矩阵 的一般元 由下式给出

定理2.2 对于 ， ， 及 ，下述恒等式成立：

证：令 ，则应用式(2)可得

推论2.1 当 ， 与 时恒等式(6)成为

进一步，当 时，

这是参考文献( [ 5 ] ，定理2)中的结论。

定理2.3 令 ， ， 及 ，那么

证 考虑 ，由式(2)可得

从而，立即可得所证恒等式。

在定理2.3中，令 ， ， 与 ，则我们有下述推论。

推论2.2 令 ， ，那么下式成立：

进一步，取 ，可得

在本节，我们首先回顾广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-based Apostol-Euler多项式的定义，从而得到它们相应的指数型Riordan阵，并进一步证明了广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。

对于任意的 ， ， 与 为任一复数，广义Hermite-Based Apostol Bernoulli多项式 [ 6 ] 及广义Hermite-Based Apostol Euler多项式 [ 6 ] 分别由下式所定义

以及

我们知道 与 ，它们分别表示广义Bernoulli多项式和广义Euler多项式 [ 1 ] [ 7 ] 。

现在，我们考虑由式(10)与式(11)所给出的广义Hermite-based Bernoulli多项式与广义Hermite-based Euler多项式的发生函数。由式(1)定义的指数型Riordan阵，我们可获得下述关于式(10)对应的正常的指数型Riordan阵：

.

因此， 的一般元 为

由上式可知

的一般元为 。

在上式中取 ， 及 ，则得到指数型Riordan阵

,

其中 为高阶Bernoulli数(参考 [ 1 ] )。但是利用位势多项式的定义( [ 1 ] ，133页)，可以得到

其中 为指数型部分Bell多项式 [ 1 ] 。这样，我们可以导出广义Bernoulli多项式的确切表达式：

,

这是参考文献 [ 8 ] 中的结论。

此外，在式(13)中取 可得

类似地，我们可以得到关于广义Hermite-based Euler多项式序列的正常的Riordan阵：

.

它的一般元为

.

该Riordan阵的逆阵为

特别地，在上式(15)中取 ， ， 可得

,

则利用Bell多项式的表达式 [ 1 ] 以及公式 [ 1 ] 可得

从而可得如下广义Euler多项式的表达式：

,

这是参考文献 [ 8 ] 中的结论。

定理3.1 令 ， ， ， ，那么有

证 令 ，应用式(2)可得

在定理3.1中代入 ， ， 与 ，则可得下述推论：

推论3.1 下列恒等式成立：

特别地，当 时，

证 应用式(14)与式(16)，我们很容易地得到所证结论。

定理3.2 令 ， ， 及 ，那么

证 由式(12)可得

再应用替换 ， 及 ，故由上式可得所证结论。

在定理3.2中取 ， 与 ，可得下述组合恒等式：

推论3.2 下述公式成立：

当 时， (参考 [ 9 ] ，99页)。

定理 3.3 令 ， ， 及 ，那么

证 令 ，由式(2)立即可得所证结论。

在定理3.3中取 ， 与 ，可得下述结果。

推论 3.3 令 ， ，那么

特别地，当 时，

定理3.4 下列关系式成立：

证 由式(15)可以观察到

这样，在上式中应用替换 ， 及 就可得所证结论。

在定理3.4中取 ， 及 ，可得下述推论。

推论3.4 对于 ， ，满足下列恒等式

取 ，则可得

推论3.5 对于 ，我们有

证：应用式(23)与反演关系

可得

这样，我们可得到所证结论。

本文主要研究了广义l-array type多项式，它是经典array多项式的推广。首先，我们对广义l-array type多项式进行了推广，定义了新一类广义l-array type多项式，并利用Riordan阵方法讨论了广义l-array type多项式的一些性质，得到了一系列相关的组合恒等式。

本文由国家自然科学基金项目(11461050)支持。

青兰,乌云高娃. Riordan阵与广义λ-Array Type多项式恒等式Generalized λ-Array Type Polynomials with Exponential Riordan Array[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 288-298. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63043