杨 静，王文博

中国石油大学(华东)理学院，山东 青岛

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收稿日期：2016年5月6日；录用日期：2016年5月18日；发布日期：2016年5月26日

本文采用亚纯函数值分布理论作为工具，讨论了微分多项式的零点分布情况，该结论推广了Hayman，Mues和Tohge等人的相关结果。

关键词 :整函数，微分多项式，零点，值分布

本文所提及的亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数。设 是复平面上1个非常数的亚纯函数，并假设读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念和结果及其标准记号 [ 1 ] - [ 3 ] ，例如 ， ， ， ， ， 等等。同时我们用 表示扩充复平面。W.K. Hayman在 [ 4 ] [ 5 ]

中提出了研究关于整函数 的齐次微分多项式 的零点分布的必要性。自此之后关于一个给定的整函数或亚纯函数的微分多项式的零点分布这一问题成为国际上研究的热点。

1978年E. Mues在 [ 6 ] 中证明了如果 ， 为不满足 这一形式的超越亚纯函数，其中 。则微分多项式 至少存在一个零点。

近期M. Ozawa在 [ 7 ] ，G. Lehner在 [ 8 ] 和Tohge在 [ 9 ] 中均提出了关于齐次微分多项式的一些相似结论。

我们将采用不同于别人的方法，讨论具有新的形式的微分多项式 的零点分布情况得到了以下结论。

定理1 令 为超越整函数， 为非零常数。如果微分多项式 ， 有有限零点，则 满足

并且 ，其中亏量 定义为

推论1 令 为超越整函数， 为非零常数。如果微分多项式 ，若 ，则 必有无穷多个零点。

为了证明定理1，我们将考虑下面的方程

其中 为非零多项式， 为整函数。

显然由(1)知 ，并且根据 可知 。

对(1)两边取对数导数可以得到

令 可将上式化为

情况1 假设 。令 ，其中 为非零常数。将 代入(1)可得

因为 ，由(3)和对数导数引理得 并且

令

由(4)可得 。再由(3)和(5)可知

也就是说

，

因此 。我们令 ，其中 为常数。将 代入(5)我们得到

因此 ，其中 为常数。显然矛盾。

情况2 假设 由(2)知 并且(4)成立。

在多数情况下，我们可以讨论以下形式的微分方程：

其中 为非零常数。我们可以证明(6)没有超越整函数解。

事实上，由(6)我们可以得到

令 为 的单零点。由(4)和(7)我们知 为 的一个零点。

首先我们假设 。令

那么 为 的一个小函数。根据(7)和(8)，我们有

由(4)和(9)我们知道 为一个非零常数。再由(9)得

其中 ， 为常数。由(6)和(10)我们得到矛盾。

因此，我们假设 令

如果 那么 。其中 ， 为常数与(6)矛盾。因此 并且 为 的小函数。由(11)可得

根据(6)和(12)我们发现 ，同样得出矛盾。

综上所述，我们得到如果微分多项式 有有限零点，则 满足

这样我们就完成了定理1的证明。

本文中，我们针对Hyman猜想做了进一步推广，并且运用新的方法探讨了新形式下的微分多项式的零点分布，取得了较为满意的结果。

随着研究的不断深入，一些问题解决的同时也随之出现了一些新问题，需要我们继续探讨。我们会在已经取得的结果之上更加深入细致的研究，以期待取得更大的成绩。

最后，向我的导师 吕巍然 教授表示我衷心的感谢！ 吕 老师孜孜不倦的治学态度，认真求实的工作作风对我产生了深刻的影响。他知识渊博，见解独特，对工作对学生认真负责，在此谨向吕巍然教授致以最诚挚的谢意和崇高的敬意！衷心感谢张敏老师对我的指导和帮助！

杨 静,王文博 . 一类微分多项式的零点分布的研究The Zeros of Some Differential Polynomials[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 223-226. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63035