Catmull-Clark细分方法是三次B样条曲线细分向任意拓扑网格上曲面细分的推广，采用四边形1~4面分裂拓扑规则生成新网格的拓扑，包括几何规则和拓扑规则，在正规网格处产生双三次B样条曲面，该曲面除奇异顶点外处处 连续[ 12 ] 。非均匀Catmull-Clark细分模式与Catmull-Clark细分模式的拓扑规则一样，但新点的计算公式如下：

新面点：

其中，

新边点： 。

其中，

新顶点：

其中，

, , , 的计算推导与(2)式中的 相同， 的计算推导与(1)式 相同。

在上面的公式中， ， 为参数， 与边 对应， 表示该边绕 逆时针旋转遇到的第 条边。新网格中各边参数赋予的规则表示如图1所示。

轮廓删除法(Skirt-removed approach)的思想就是每次细分时，边界边不产生新边点，边界点不产生新顶点点。它可以分两步进行：

1) 采用普通的Catmull-Clark细分模式生成过渡网格，计算出每个面对应的新面点，每条内部边对应的新边点，每个内部顶点对应的新顶点，再将所有新点按照细分拓扑规则连成一个新网格；

2) 把过渡网格上的轮廓即所有边界点、边界边、边界面及与边界点相连的内部边删除。

引入轮廓删除法是为了把Catmull-Clark细分模式应用于开网格(带有边界的二维流行[ 11 ] )，开网格的轮廓是指网格上的所有边界面及其上的顶点、边所形成的子网格，对开网格删除轮廓是指在删除轮廓的同时，还要保留轮廓与内部面的公共边，这些被保留的公共边就是新网格的边界边。

为实现对NURBS曲面的混合和填充，关键是对开网格的边界做适当的处理，以使细分曲面插值于基曲面片的边界曲线，并满足一定的连续性要求。

给定N片双三次非均匀B样条曲面为基曲面片，记第k片曲面P^k的控制网格为： ( ； )，相应的单节点向量为： ， ，要求构造出的细分曲面片与P^k沿第一行(i = 1)控制顶点所确定的边界光滑拼接。假定每片都由 的控制网格确定，初始输入如图2 (黑点以外的部分)所示。

首先，为了使混合曲面与每片基曲面P^k的拼接达到C²连续，初始控制网格应与P^k的控制网格共用三行顶点： 得到 个 网格片，增加一些新点把这些网格片连接成一个完整的控制网格，其增加点的规则如下：

图1. 新边参数赋予的规则

图2. 细分控制网格

然后，对控制网格进行预处理，方法如下：

记细分混合曲面的控制网格为 ，取出其与P^k公共的三排控制顶点，并加入相应的延伸边以及 中与P^k相邻的边，记为 ，设置 各边权值如下：

1) 同一列上的水平边所对应的权值为： ， ；同时，延伸层中靠近第一列水平边(权值为 )的边权值设为 ，延伸层中靠近最后一列水平边(权值为 )的边权值设为 .

2) 同一行上的竖直边所对应的权值为： ， ；同时， 中与基曲面P^k相邻的各边权值设为 ，延伸层中靠近最后一行竖直边(权值为 )的边权值设为 ；经过预处理的控制网格仍记为 。

最后，进行迭代。先按照非均匀Catmull-Clark细分模式计算出控制网格 内部的新点，以任意方式计算出边界边对应的新边点和边界点对应的新顶点，并将所有新点连成新的拓扑网格，再删除最外一层控制网格。

图3是对三张 三次非均匀B样条开曲面进行拼接的结果，其中图3(a)为待拼接的非均匀三次B样条曲面片及其控制网格，图中红色的部分为非均匀Catmull-Clark曲面的初始控制网格。细分6次后，细分曲面对基曲面片的拼接效果如图3(b)和图3(c)所示。图4给出了5张基曲面混合的结果。

图3. (a) 基曲面片和细分控制网；(b) 基曲面片节点向量任意指定；(c) 节点距为控制顶点距的平均

图4. 五张基曲面片混合

对于N片非均匀双三次B样条曲面片围成N边洞，本文采用插值于角点的非均匀B样条曲面，只需相邻曲面片有公共角点即可。将插值于角点的曲线细分公式统一成轮廓删除模式，根据非均匀Catmull-Clark细分模式的新点计算公式(1)，(2)，(3)，可以证明当最外两层控制网格正则，各行列首尾两条边的权值为零且所有的延伸边权值也为零时，非均匀Catmull-Clark细分模式产生的次外一层控制顶点即为新的控制顶点，且细分后的权值保持初始控制网格权值的特点. 对于N边洞问题本文给出以下算法。

算法1：(形成插值于角点的N边域曲面)。

Step 1：构造细分填充曲面的初始控制网格。保留边界曲线的控制顶点作为细分填充曲面的最外一层控制顶点。为了保证细分曲面的初始控制网格的最外两层顶点正则，当N边洞各边上的独立控制顶点数为奇数时，不再增加中心点，而是相对于各边的中心控制顶点各增加一个新点，再把新点与每个基曲面控制网的第1行中点相连，如图5所示。由于只需满足插值条件，中间的新控制顶点均可任意指定.

Step 2：将初始控制网格向外扩充一层，将所有的延伸边权值都赋为零，采用预处理方法对最外两层正则网格及其邻边边赋权值，延伸后的控制网格记为 。

Step 3：第k步迭代时，1) 按照非均匀Catmull-Clark细分模式对赋权的细分控制网格 进行细分，生成新的控制网格 ；2) 删除最外一层控制顶点，与最外层控制顶点相连的边不进行删除，作为新控制网格的相应延伸边，将其权值作为延伸边的权值.生成的新的带延伸边的控制网格记为 。

图6和图7是对非均匀三次B样条曲线围成的三边洞和五边洞进行连续填充的效果图，红色和蓝色分别为构成N边洞的非均匀三次B样条曲线及其控制网格.通过移动新增加的控制顶点，图6(a)和图6(b)分别生成了凸起的和凹陷的两张曲面。

算法1将插值于角点的非均匀Catmull-Clark细分曲面统一成轮廓删除模式，跟文献[ 11 ] 的插值于角点的N边域曲面比起来，对初始控制网格的要求更低，且避免了将初始控制网格分成两个单独的部分来处理，提高了可执行性。

由非均匀Catmull-Clark模式的局部B样条曲面性质，再根据插值于角点的B样条曲面的G¹拼接条件，以 为例子给出基于非均匀Catmull-Clark细分模式的N边洞G¹填充算法如下。

图5. 填充曲面初始控制网格

图6. (a) 凸起的填充曲面(三边洞)；(b) 凹陷的填充曲面(三边洞)

图7. 填充曲面(五边洞)

算法2：(G¹填充算法)。

Step 1：构造细分填充曲面的初始控制网格，保留边界曲线的控制顶点作为细分填充曲面的最外一层控制顶点。相对于边界曲面的每一个交界点 ，对应一个新增控制顶点，记为 。相对于第 个基曲面片的边界曲线 中间 个控制顶点，各对应一个新控制顶点 。 和 组成了新增控制点的最外层，也就是细分填充曲面控制网格的次外层.再按照上述规则在内部插入控制顶点(如图8~图10所示)。

Step 2：确定 和 的位置。

1) 位于面 上，且根据下列相容性条件求出：

五点共面保证了上面的相容性条件求解得到唯一的 。

2) 同理，根据 的相容性条件可求出 ，令 ， 。

3) 对已有的 ， ，根据相邻两Bézier曲面片的G¹拼接条件求出 的位置。

Step 3：对控制多边形的各边赋权值，再用非均匀Catmull-Clark细分方法的轮廓删除模式进行细分迭代。

图8. G¹填充曲面的初始控制网格

图9. (a) 构成三边洞的基曲面片；(b) 三边洞G¹连续填充

图10. 五边洞G¹连续填充