朱焕桃

湖南信息职业技术学院，湖南 长沙

收稿日期：2015年10月26日；录用日期：2015年11月10日；发布日期：2015年11月17日

研究了一类具有年龄结构的捕食–食饵模型系统，得到了该系统解的正不变性、有界性及其边界平衡点全局渐近稳定的充分条件。

关键词 :年龄结构，捕食模型，稳定性

在现实生活中，各种种群的发展都与其年龄因素有着重要的关系，这表现在不同年龄的种群在生育和死亡方面存在很多差异。1911年，Sharpe和Lotka [ 1 ] 首次将种群的年龄因素考虑到模型中。随后，具有年龄结构的种群模型的研究有了丰富的结果[ 2 ] -[ 6 ] 。本文将考虑在经典的Lotka-Volterra捕食–食饵模型的基础上将年龄结构引入到捕食种群中且适合Mckendrick-Foerster方程的一类捕食–食饵模型：

满足初始条件

其中 是正常数。

由文献[ 7 ] 知，系统(1)在 存在唯一解。

引理1.1 (Liapunov-LaSalle不变原理)：若 是 上的李雅普诺夫泛函，且 是方程 停留在 中的有界解，则当 时， 。其中 ， 是集合 关于 的最大不变集。

我们首先讨论系统(1)在满足初始条件(2)时的解是正的和有界的。

定理2.1：对一切 ，系统(1)满足初始条件(2)的解是正的。

证明：由系统(1)的第二个方程可以得到

根据初始条件(2)可知， 。

假设 不恒为正，则一定存在一个 ，使得 。

由(2)的第一个方程可得，

这说明对于充分小的 ，当 时， ，于是产生矛盾。因此， 总是恒为正。

定理2.2：对一切 ，系统(1)满足初始条件(2)的解是有界的。

证明：由(1)的第二个方程，我们可以得到

故对充分小的 ，存在 使得对所有的 有

又根据系统(1)的第一个方程和 ，我们得到

故对所有的 ，有 。

定理2.3：对于系统(1)的所有解 ， 当且仅当 。

证明：先证 。

当 时，则存在充分小的 ，使得 ，根据定理2.1知，存在 ，使得当 时，有 成立，从而对 有

考虑比较方程

由文献[ 8 ] 中的引理1知， .又由定理2.1和比较定理得到

因此存在充分小的 和 使得对所有的 有 。

又由系统(1)的第二个方程有 。

再由比较定理可得

.

由于 任意小，结合上面的讨论，我们有 。

当 时，由系统(1)的第二个方程可知，当 时它总递减。若存在 ，使得 ，则对所有的 ，有 。事实上，若存在 ，使得 ，则有 ，矛盾，故 有两种情形；

(1) 且 ；

(2) 存在 使得对所有的 ，有 。

对情形(1)，仅需证明 。对系统(1)的第二个方程两边从0到 积分得

因此

由 的有界性可得 。

对情形(2)，考虑Liapunov泛函

.

对所有的 沿着系统(1)的轨线计算 的导数可得

由引理1.1知， 。对于 的证明类似于第一种情形。

下证 。否则，设 成立，则我们知道系统(1)有唯一的正平衡点 。这与系统(1)对所有解 ，都有 矛盾。

将系统(1)关于平衡点 线性化，其相应的特征方程为

其根为 和 。这说明对所有的 平衡点 是不稳定的。

将系统(1)关于平衡点 线性化，相应的特征方程为

显然， 是上方程的一个特征根。因此，我们只需讨论下面方程的根

令

对 和 ，我们有

和

由式(4)知，当 时， 。再由式(5)知，对所有的 ，方程(3)没有正根。

注意到若 和 ，则方程(3)的特征根是负的。进一步我们可以证明当 时，对所有的 ，方程(3)的所有根必定具有负实部。假设存在 使得方程(3)有一对纯虚根 ，则由方程(3)，我们有

两边平方相加可得

这说明方程(3)没有正根，即 不存在。因此，当 时，方程(3)的所有根都具有负实部，即系统(1)的平衡点 渐进稳定的。

当 时， 是方程(3)的特征根。由式(5)知， 是一个简单的特征根。

当 时，由式(4)知 ，而 ，因此 至少有一个正实根，从而平衡点 是不稳定的。

由上述讨论和定理2.3，我们得到以下结论

定理2.4：当 时，系统(1)的平衡点 是全局渐进稳定的。

我们考虑如下系统

通过计算，当 时，我们得到 ，其中 ， ， ， 。根据定理2.4，系统(6)的平衡点是全局渐进稳定的。

湖南省教育厅资助科研项目(13C660)。

朱焕桃. 一类具年龄结构的捕食–食饵模型的稳定性Stability in Predator-Prey Model with Age-Structure[J]. 理论数学, 2015, 05(06): 266-271. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.56038