牟丽，王海辉，张育浩

北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京

Email: muli90@buaa.edu.cn, whhmath@buaa.edu.cn, zhangyuhao@buaa.edu.cn

收稿日期：2015年7月9日；录用日期：2015年7月27日；发布日期：2015年8月3日

在已有的几种阈值函数的基础上，本文提出了一种新的阈值函数，新的阈值函数继承了已有的阈值函数的优点，不仅具有连续性，而且可以减少去噪误差。实验表明，该算法更能有效去除光谱中的噪声，利于光谱的定性和定量分析。

关键词 :阈值函数，去噪，XRD图谱

X射线衍射在研究金属和合金的晶体结构等方面具有广泛的应用，通过分析XRD图谱获得材料的成分，以及材料的内部原子或分子的结构等信息。但在XRD分析的信号脉冲和数据采集实验中，实验源干扰众多，存在噪声，在寻峰过程中出现假峰和丢失弱峰[ 1 ] ，对定性定量分析产生不利，因此需要对实验数据降噪处理。

小波阈值去噪算法已在诸多实践应用中得到良好的去噪效果，现在已成为主流的去噪方法之一[ 2 ] 。1995年，D.L. Donoho和Johnstone在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念[ 3 ] ，即软阈值和硬阈值去噪，此后，Gao和Bruce提出半软阈值函数去噪算法[ 4 ] 。但是硬阈值函数不连续，采用软阈值算法去噪后的信号方差较大。为了克服这些缺点，本文在文献[ 5 ] 和[ 6 ] 中阈值函数的基础上，提出了一种新的阈值函数。

小波阈值去噪的主要理论依据是：小波变换特别是正交小波变换具有很强的去系数相关性，它能够使信号的能量集中在一些大的小波系数中，噪声的能量分布于整个小波域中，也就是信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值。因此，可以选用一个适当的阈值，把信号系数保留，而使大部分噪声系数减少至零。小波阈值去噪的过程分为下面三个步骤：

(1) 信号小波分解：选择合适的小波基函数和分解层数，对含噪信号作小波分解，得到小波系数。

(2) 高频系数阈值化：选择合适的阈值，对高频系数进行阈值处理，得到新的小波系数。

(3) 重构信号：用低频系数和阈值化后的高频系数进行小波重构，得到估计信号，即去噪后的信号。

传统的阈值函数主要有硬阈值和软阈值，如下：

(1) 硬阈值函数

(2) 软阈值函数

其中，阈值 的常用确定方法有：全局统一阈值，启发式阈值和stein无偏似然估计阈值等。虽然硬阈值和软阈值去噪算法在实际中有着广泛的应用，但它们本身存在着一些缺陷。硬阈值函数在 处不连续，所得到的估计信号会产生附加振荡，不具有同原始信号一样的光滑性。软阈值函数虽然连续，但当 时， 与 总存在恒定偏差，直接影响着信号的真实程度[ 7 ] 。

为了克服硬阈值和软阈值函数的缺点，文献[ 5 ] [ 6 ] 提出了两种改进的阈值函数，如下所示：

(1) 函数1

其中

(2) 函数2

函数1和函数2中的阈值 为全局阈值，即 。

本文在阈值函数1和阈值函数2的基础上提出了一种新的阈值函数:

当 时， ，得到 ，即此时 的值等于软阈值的估计值。

当 时， ， ，即 在 处是连续的。

当 时， ， ，克服了软阈值函数 与 总是存在恒定偏差的缺点。

同时为了克服全局阈值没有随着分解尺度变化而变化的缺点，新的阈值函数中采用自适应的阈值：

为了验证新阈值函数的去噪效果，针对含噪的Droppler信号，用软阈值、硬阈值和新阈值函数进行MATLAB仿真实验。在去噪时，选取小波基为db4，分解层数为4，软、硬阈值函数选取全局阈值，新阈值函数选取上述自适应阈值。Droppler信号的去噪效果如图1所示。

信号去噪效果可以用信噪比(SNR)和均方误差(MSE)来描述，表1是各阈值函数去噪算法的信噪比和均方差。

为了进一步验证新阈值函数的去噪效果，选取分解层数2~8，比较三种去噪算法的信噪比和均方差，得到图2。

通过对Droppler信号的仿真实验表明，新阈值函数在信噪比和均方差方面都有提高。由图2看出，新阈值去噪算法在分解层数为6时达到最优效果，具有更高的应用价值，各阈值去噪算法的信噪比和均方差如表2所示。

将新的阈值函数用到FeN元素图谱去噪中，选用小波基为db4，分解层数为3，得到如图3结果。

图1. 各阈值函数对Droppler信号去噪效果图

图2. 信噪比和均方差比较图

图3. 各阈值函数对FeN元素图谱去噪结果

为了表明新阈值函数在FeN含噪图谱去噪中的优越性，我们做出含噪信号与去噪后信号的差值图，即在去噪过程中被当做噪声滤去的信号，如图4。

用新阈值去噪算法对图4中的信号进行去噪，判断三种去噪算法丢失的细节信息，得到图5。

从图3中可以看出，硬阈值函数去噪后的光谱图含有较多噪声，软阈值去噪后的光谱图中峰值减小。从图5中可以看出，软阈值和硬阈值算法在消噪中都丢失了一些细节信息，而采用新阈值函数去噪既消除了部分噪声，又保留了信号的原始峰形特征，并且没有丢掉细节信息，有利于光谱的定性和定量分析。

表1. 信噪比和均方差比较

表2. 三种去噪算法的信噪比和均方差比较

图4. 去噪中消去的信号部分

图5. 三种去噪算法丢失的细节信息

本文提出的阈值函数既具有和软阈值函数一样的连续性，又能减少去噪误差，MATLAB的仿真实验表明了，新的阈值函数在SNR和MSE上都有改进。在XRD图谱的去噪中，有效消除了噪声，同时有用特征信息被很好的保留，为后面光谱的分析提供了有利条件。

牟丽,王海辉,张育浩. 小波阈值去噪算法在XRD图谱去噪中的应用An Improved Wavelet Threshold Denoising Algorithm for Analysing Signals in the XRD Spectrum[J]. 应用数学进展, 2015, 04(03): 224-229. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2015.43028