自1984年Jones [1] 偶然发现纽结的Jones多项式之后，诸多纽结的多项式不变量如HOMFLY多项式、Kauffman多项式被不同学者陆续发现。在三维空间中的空间图方面，Yamada [2] 在1989年构造出了空间图的Yamada多项式不变量。而对于刚性顶点的无向四价图，Kauffman和Vogel [3] 于1992年构造了Kauffman-Vogel多项式，它是三变元的有理多项式。一般情况下这一多项式的计算比较复杂，而在 $a=A$和 $B=A^{-1}$时，Carpentier发现了平面四价图的计算公式 [4] 和存在双曲定向的空间四价图的计算公式 [5] ，本文将运用这些方法计算几类空间四价图和链环的Kauffman-Vogel多项式。

对于嵌入在三维空间中的刚性顶点的四价图，设它在平面上一个投影图为 $G$，按下面的拆接关系定义多项式 $\left[G\right]$，它有三个变量 $A$、 $B$和 $a$，Kauffman和Vogel [3] 证明了 $\left[G\right]$是刚性顶点四价图的正则合痕不变量。

[] $=A$[] $+B$[] $+$[]，

[] $=a$[]，[] $=a^{-1}$[]。

进一步地，它们还证明了下面的拆接关系：

[] $=\mu$[]，

[] $=O$[]，

[] $=\left(1-AB\right)$[] $+\gamma$[] $-\left(A+B\right)$[]，

[] $-$[] $=AB$([] $-$[] $+$[] $-$[] $+$[] $-$[]) $+\xi$([] $-$[])。

其中 $\mu =\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1$， $O=\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-\left(A+B\right)$， $\gamma =\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB$， $\xi =\frac{B^{3}a-A^3{a}^{-1}}{A-B}$。

例2.1 计算Hopf链环的四价图的Kauffman-Vogel多项式如下，Hopf链环如 图1 所示：

[

$=Aa+B{a}^{-1}+A$[

$=Aa+B{a}^{-1}+AO+BO+\left(1-AB\right)$[

$=Aa+B{a}^{-1}+AO+BO+\left(1-AB\right)\mu +\gamma -\left(A+B\right)O$

$=Aa+B{a}^{-1}+\left(1-AB\right)\mu +\gamma$

由Kauffman-Vogel多项式的定义容易得到：

命题2.1 $G$的镜面像 $G^{\ast }$的多项式不变量 $\left[G^{\ast }\right]$可以通过互换 $G$的多项式不变量 $\left[G\right]$中的 $A$与 $B$， $a$与 $a^{-1}$得到，且如果 $\left[G\right]\ne \left[G^{*}\right]$，则 $G$是手性的。

例2.2 记下图为 $G$，它含有一个顶点，计算它的Kauffman-Vogel多项式 $\left[G\right]$及它的镜面像 $G^{\ast }$的多项式，并判断 $G$是否为手性的。如 图2 所示。

$\left[G\right]=$[

$=A$( $A$[

$+B\mu$[

$=A\left(AO+BO+\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)\right)+B\left(AO+B\mu O+O^2\right)$

$+(A\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)+B{O}^2+(\left(1-AB\right)$[

$\begin{array}{l}=A\left(AO+BO+\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)\right)+B\left(AO+B\mu O+O^2\right)+(A(\mu \left(1-AB\right)\\ +\gamma -\left(A+B\right)O)+B{O}^2+\left(1-AB\right)O+\gamma O-\left(A+B\right)\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right))\end{array}$

$\begin{array}{l}=A^{2}O+ABO+A\mu -A^{2}B\mu +A\gamma -A^{2}O-ABO+ABO+B^2\mu O+B{O}^2+A\mu -A^{2}B\mu \\ +A\gamma -A^{2}O-ABO+B{O}^2+O-ABO+O\gamma -A\mu +A^{2}B\mu -B\mu +A{B}^2\mu -A\gamma -B\gamma \\ +A^{2}O+B^{2}O+2ABO\end{array}$

$=A\mu +A\gamma +B^2\mu O+2B{O}^2-A^{2}B\mu +O+O\gamma -B\mu +A{B}^2\mu -B\gamma +B^{2}O+ABO$

$=\left(A-B-A^{2}B+A{B}^2\right)\mu +\left(1+\gamma +AB+B^2\right)O+\left(A-B\right)\gamma +B^2\mu O+2B{O}^2$

且 ${\mu }^{\ast }={\left(\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1\right)}^{\ast }=\frac{a^{-1}-a}{B-A}+1=\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1=\mu$；

$O^{\ast }={\left(\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-A-B\right)}^{\ast }=\frac{Ba-A{a}^{-1}}{B-A}-B-A=\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-A-B=O$；

${\gamma }^{\ast }={\left(\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB\right)}^{\ast }=\frac{A^2{a}^{-1}-B^{2}a}{B-A}-BA=\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB=\gamma$，

故 $\left[G^{\ast }\right]=$ $\left(B-A-B^{2}A+B{A}^2\right)\mu +\left(1+\gamma +BA+A^2\right)O+\left(B-A\right)\gamma +A^2\mu O+2A{O}^2$。

因为 $\left[G^{\ast }\right]\ne \left[G\right]$，所以 $G$是手性的。

一般来说，三变元的Kauffman-Vogel多项式的计算较为复杂，如果令 $a=A$， $B=A^{-1}$，则有：

$\mu =2$，

$O=-A-A^{-1}$，

$\gamma =0$，

$\xi =-A-A^{-1}$。

在这种情况下：

[] $=2$[]，

[] $=-\left(A+A^{-1}\right)$[]，

[] $=-\left(A+A^{-1}\right)$[]，

[] $-$[] $=$[] $-$[] $+$[] $-$[] $+$[] $-$[] $-\left(A+A^{-1}\right)$([] $-$[])。

对于不含交叉点的四价图即平面四价图的Kauffman-Vogel多项式，Carpentier [5] 证明了下面方便的计算公式。

定理2.2 [5] 在 $a=A$和 $B=A^{-1}$的情况下，对于任何的四价图 $G$，都有 $\left[G\right]=2^{c-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^v$，其中 $c$为 $G$的连通分支数， $v$为 $G$的顶点数。

对于计算某些只含有一个交叉点的四价图的多项式，有下面这个十分有用的推论。

推论2.3 [5] 如果四价图 $G$只有一个交叉点，移除这个交叉点之后并不会改变连通分支的数量，则在 $a=A$和 $B=A^{-1}$的情况下， $G$的多项式等于零。

定理2.4 设 $G_{m,n}$是下 图3 所示的空间四价图，其中m是刚性顶点数，n是交叉点数，且 $m\ge 1$， $G_{m,n}$

在 $a=A$和 $B=A^{-1}$情况下的Kauffman-Vogel多项式 $\left[G_{m,n}\right]=\{\begin{array}{l}0,n�奇�;\\ A^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m,n�偶�.\end{array}$

其中，m是顶点数，n是交叉点数，且 $m\ge 1$。

证明 已知 $\left[G_{m,n}\right]$的递归关系为：

$\left[G_{m,n}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}\left[G_{m,n-1}\right]+\left[G_{m+1,n-1}\right]$。

下面用二元数学归纳法证明引理成立：

(1) 由推论2.3可知，对 $\forall m$， $\left[G_{m,1}\right]=0$成立。

(2) 假设 $\left[G_{m,n}\right]$， $\left[G_{m+1,n}\right]$成立，下证 $\left[G_{m,n+1}\right]$成立。

因为 $\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}\left[G_{m,n}\right]+\left[G_{m+1,n}\right]$。

当 $n$是奇数时， $n+1$为偶数，有

$\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+0+0=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m$。

当 $n$是偶数时， $n+1$为奇数，有

$\begin{array}{l}\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}{A}^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\\ =A^{n-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^2+1+A\left(-A-A^{-1}\right)\right)\\ =A^{n-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^2+1-A^2-1\right)\\ =0\end{array}$

Carpentier利用双曲定向的概念给出了一大类空间四价图的计算公式。

定义3.1 [5] 如果四价图的每个顶点方向为，则四价图的边上的方向为双曲型。

注意，平面四价图和纽结(或链环)作为特殊的空间四价图，一定存在双曲定向。

定理3.2 [5] 一个图多项式 $G$在 $a=A$和 $B=A^{-1}$的情况下， $\left[G\right]=\frac{1}{2}{\left(-A-A^{-1}\right)}^v{\displaystyle \underset{h\in {\rm H}}{\sum }{A}^{\omega \left(G^h\right)}}$，其中 ${\rm H}$为图

$G$的所有双曲定向的集合， $G^h$为图 $G$的一条给定的双曲定向 $h$， $v$是 $G$的顶点数。

接下来我们用双曲定向的方法来证明定理2.4，注意 $G_{m,n}$含有两个双曲定向 $G_{m,n}^{h1}$， $G_{m,n}^{h2}$，如 图4 。

证明 如果有 $n$个交叉点， $n$为偶数，此时刚性顶点数为 $m$，有两个相反的双曲定向 $h1$和 $h2$，

$w\left(G_{m,n}^{h1}\right)=n$， $w\left(G_{m,n}^{h2}\right)=n$， ${\displaystyle \underset{h\in {\rm H}}{\sum }{A}^{\omega \left(G^h\right)}}=A^n+A^n=2A^n$， $\left[G_{m,n}\right]=\frac{1}{2}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^n+A^n\right)={\left(-A-A^{-1}\right)}^m{A}^n$，证毕。

图4. $G_{m,n}$的两种双曲定向 $G_{m,n}^{h1}$， $G_{m,n}^{h2}$

可以看出， $m$只和刚性顶点的数量有关， $n$为交叉点的数量， $G_{m,n}$存在两种相反的双曲定向，故

${\displaystyle \underset{h\in {\rm H}}{\sum }{A}^{\omega \left(G^h\right)}}=2\left\{G\right\}$，可以和多项式前面的 $\frac{1}{2}$抵消，因此我们只需要找出刚性顶点的数量和交叉点数，就可

以直接得到多项式的结果为 ${\left(-A-A^{-1}\right)}^m{A}^n$，奇数个交叉点的情况没有双曲定向，无法利用公式来进行计算，但可以利用定理2.4证明当中的二元归纳法进行计算，最后得到奇数时为0的结果。

本章利用二元归纳法和双曲定向法计算两类纽结 $G_n$和p-twist纽结 $P_n$的多项式。

定义4.1 含有 $n$个交叉点的纽结 $G_n$，如 图5 所示。

$\left[G_n\right]$是 $G_n$的多项式，其中 $n$是交叉点数。注： $n$为奇数时， $G_n$为纽结； $n$为偶数时， $G_n$是链环。

例4.1 $G_1$， $G_2$。

$G_1=$

$n$为奇数时， $G_n$的两种双曲定向 $G_n^{h1}$， $G_n^{h2}$，如 图6 所示。

图6. $G_n$的两种双曲定向 $G_n^{h1}$， $G_n^{h2}$

$n$为偶数时， $G_n$有四种双曲定向分别为 $G_n^{H1}$， $G_n^{H2}$， $G_n^{H3}$， $G_n^{H4}$。如 图7 所示。

图7. $G_n$的四种双曲定向 $G_n^{H1}$， $G_n^{H2}$， $G_n^{H3}$， $G_n^{H4}$

定理4.2 $\left[G_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{-n},n�奇�\\ A^n+A^{-n},n�偶�\end{array}$

证明 方法一，用二元归纳法证明：

由上述的分析可知 $\left[G_n\right]$的递归关系式为：

$\left[G_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{-1}n=1\\ A^n+A^{-1}\left[G_{n-1}\right]+\left[G_{1,n-1}\right]n\ge 2\end{array}$

下面用归纳法证明定理：

当 $n=1$时， $\left[G_1\right]=A^{-1}$；

当 $n=2$时， $\left[G_2\right]=A^2+A^{-1}\left[G_1\right]+\left[G_{1,1}\right]=A^2+A^{-2}+0=A^2+A^{-2}$成立。

假设 $n=k-1$时成立，下证 $n=k$时成立：

当 $k$为奇数时， $k-1$为偶数，由定理2.4可知， $\left[G_{1,k-1}\right]=A^{k-1}\left(-A-A^{-1}\right)$。

$\begin{array}{c}\left[G_k\right]=A^k+A^{-1}\left[G_{k-1}\right]+\left[G_{1,k-1}\right]=A^k+A^{-1}\cdot \left(A^{k-1}+A^{-k+1}\right)-A^k-A^{k-2}\\ =A^k+A^{k-2}+A^{-k}-A^k-A^{k-2}=A^{-k}\end{array}$

当 $k$为偶数时， $k-1$为奇数，由定理3.2可知， $\left[G_{1,k-1}\right]=0$，

$\left[G_k\right]=A^k+A^{-1}\left[G_{k-1}\right]+\left[G_{1,k-1}\right]=A^k+A^{-1}\cdot A^{-k+1}+0=A^k+A^{-k}$，证毕。

方法二，用双曲定向法证明：

$n$为奇数时，有两种双曲定向：

当双曲定向为 $G_n^{h1}$时， $w\left(G_n^{h1}\right)=-n$， $A^{w\left(G_n^{h1}\right)}=A^{-n}$；

当双曲定向为 $G_n^{h2}$时， $w\left(G_n^{h2}\right)=-n$， $A^{w\left(G_n^{h2}\right)}=A^{-n}$，由于没有刚性顶点，所以 $v$等于零，公式中 ${\left(-A-A^{-1}\right)}^v$的部分等于1， $\left[G_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{-n}+A^{-n}\right)=A^{-n}$。

当 $n$为偶数时，有四种双曲定向：

当双曲定向为 $G_n^{H1}$时， $w\left(G_n^{H1}\right)=-n$， $A^{w\left(G_n^{H1}\right)}=A^{-n}$；

当双曲定向为 $G_n^{H2}$时， $w\left(G_n^{H2}\right)=-n$， $A^{w\left(G_n^{H2}\right)}=A^{-n}$；

当双曲定向为 $G_n^{H3}$时， $w\left(G_n^{H3}\right)=n$， $A^{w\left(G_n^{H3}\right)}=A^n$；

当双曲定向为 $G_n^{H4}$时， $w\left(G_n^{H4}\right)=n$， $A^{w\left(G_n^{H4}\right)}=A^n$；

$\left[G_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{-n}+A^{-n}+A^n+A^n\right)=A^{-n}+A^n$，证毕。

定义4.3 p-twist纽结 $P_n$，其中 $n$是扭转部分的交叉点数。如 图8 所示。

$n$为奇数时，p-twist的两种双曲定向 $P_n^{h1}$， $P_n^{h2}$，如 图9 所示。

图9. $P_n$的两种双曲定向 $P_n^{h1}$， $P_n^{h2}$

$n$为偶数时，p-twist的两种双曲定向分别为 $P_n^{H1}$， $P_n^{H2}$，如 图10 所示。

图10. $P_n$的两种双曲定向 $P_n^{H1}$， $P_n^{H2}$

定理4.4 p-twist纽结的多项式 $P_n$为

$\left[P_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{n+2},n是奇�;\\ A^{n-2},n是偶�.\end{array}$

证明 $n$为奇数时，当双曲定向为 $P_n^{h1}$，由于所有交叉点处的方向都相同，扭转数为交叉点的数量之

和，也就是 $w\left(P_n^{h1}\right)=n+2$， $A^{w\left(P_n^{h1}\right)}=A^{n+2}$，当双曲定向为 $P_n^{h2}$时，此时交叉点处的方向相同，扭转数仍为交叉点数之和， $w\left(P_n^{h2}\right)=n+2$， $A^{w\left(P_n^{h2}\right)}=A^{n+2}$，由于没有刚性顶点，所以 $v$等于零，公式中 ${\left(-A-A^{-1}\right)}^v$的部分等于1， $\left[P_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{n+2}+A^{n+2}\right)=A^{n+2}$。

$n$为偶数时，当双曲定向为 $P_n^{H1}$，此时交叉点处的方向不完全一致，扭转部分的交叉点方向一致，均为正数，而上面的两个交叉点为负数，所以全部交叉点的扭转数为 $n-2$，因此 $w\left(P_n^{H1}\right)=n-2$，

$A^{w\left(P_n^{H1}\right)}=A^{n-2}$，同理，当双曲定向为 $P_n^{H2}$， $w\left(P_n^{H2}\right)=n-2$， $A^{w\left(P_n^{H2}\right)}=A^{n-2}$，由于 $v$等于零，故 $\left[P_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{n-2}+A^{n-2}\right)=A^{n-2}$。

Kauffman-Vogel多项式的一般情况的计算较为复杂，而在 $a=A$， $B=A^{-1}$的情况下其计算呈现诸多有趣规律，特别是可以利用双曲定向来计算纽结、链环以及许多四价图的Kauffman-Vogel多项式，无需利用拆接关系打开交叉点进行计算，是一种简便的方法。

国家自然科学基金项目(12001255)。

^*通讯作者。