利用收缩投影变换方法求取原系统中的点投影至 $S^{\prime }$上时，需要根据球面的六个顶点为中心，建立相应的坐标邻域，有效确定坐标对应关系。下文以单位球面的 $\left(1,0,0\right)$为例建立相应的坐标邻域 ${\alpha }_1$进行分析。

如 图3 所示，在 ${\alpha }_1$中建立坐标轴 $u_1$平行于 $y_2$， $u_2$平行于 $y_3$。在原系统中的点映射至单位球体的过程中时，一定会通过该坐标邻域。通过原系统中的点 $C\left(x_1,x_2,x_3\right)$与该坐标邻域的点 $B\left(1,u_1,u_2\right)$，以及单位球体表面的点 $A\left(y_1,y_2,y_3\right)$之间存在的共线关系，可以有效确定收缩投影变换的坐标对应关系。

根据 $C\left(x_1,x_2,x_3\right)$与 $B\left(1,u_1,u_2\right)$的共线关系可知： $x_1/1=x_2/u_1=x_3/u_2$。令 $u_3=1/x_1$，对 $u$求偏导可得：

$\{\begin{array}{l}d{u}_1=-\frac{x_2}{x_1^2}{f}_1+\frac{1}{x_1}{f}_2\\ d{u}_2=-\frac{x_3}{x_1^2}{f}_1+\frac{1}{x_1}{f}_3\\ d{u}_3=-\frac{1}{x_1^2}{f}_1\end{array}$ (8)

设方程 $du|{}_{u_3=0}=0$有解为 $\left(u_1^{*},u_2^{*},0\right)$，该坐标值即为原系统中的点 $C\left(x_1,x_2,x_3\right)$映射至坐标邻域上的点 $B\left(1,u_1,u_2\right)$的坐标值 $\left(1,u_1^{*},u_2^{*}\right)$。

根据 $A\left(y_1,y_2,y_3\right)$与 $B\left(1,u_1,u_2\right)$的共线关系可知，一定存在任意标量 $d\in ℝ$满足关系： $\left(y_1,y_2,y_3\right)=d\left(1,u_1,u_3\right)$。结合球面方程 $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$，可以得到 $d$的值为： $d={\pm 1/\left(1+u_1^2+u_2^2\right)}^{1/2}$。由此可以确定坐标邻域内点 $B\left(1,u_1,u_2\right)$映射至单位球体表面的点 $A\left(y_1,y_2,y_3\right)$的具体坐标：

$\left(y_1,y_2,y_3\right)=\left(\frac{\pm 1}{\sqrt{1+u_1^2+u_2^2}},\frac{\pm u_1}{\sqrt{1+u_1^2+u_2^2}},\frac{\pm u_2}{\sqrt{1+u_1^2+u_2^2}}\right)$ (9)

结合前文得到的原系统中的点 $C\left(x_1,x_2,x_3\right)$映射至坐标邻域上的点 $B\left(1,u_1,u_2\right)$的坐标值 $\left(1,u_1^{*},u_2^{*}\right)$，可以确定原系统中的点映射至单位球体表面时的具体坐标：

$\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(\frac{\pm 1}{\sqrt{1+u_1^{*2}+u_2^{*2}}},\frac{\pm u_1^{*}}{\sqrt{1+u_1^{*2}+u_2^{*2}}},\frac{\pm u_2^{*}}{\sqrt{1+u_1^{*2}+u_2^{*2}}}\right)$ (10)

以上即为原系统中点的SAI通过收缩投影变换投影至球体表面的过程，根据球面上的六个顶点建立相应的六个坐标邻域，则可以确定原系统中任意一处SAI投影至单位球体表面的坐标。

为了说明SAI在电力系统稳定域刻画过程中的重要性，下面采用单机无穷大模型来研究电力系统的功角稳定域与其鞍点分界线之间的关系。

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\delta }={\omega }_0\omega \\ \stackrel{\dot{}}{\omega }=\frac{1}{M}\left(-D\omega +P_M-P_{em3}\sin \delta \right)\end{array}$ (11)

系统(11)在一个周期内有平衡点为 $\left({\delta }_s,0\right)$和 $\left({\delta }_u,0\right)$，由平衡点处的Jacobian矩阵的特征方程可知，上述平衡点的稳定性与阻尼系数 $D$有关。当 $D=0$时，平衡点 $\left({\delta }_s,0\right)$表现为中心点；当 $D<0$时，该点表现为不稳定结点或焦点；当 $D>0$时，该点表现为稳定结点或焦点。而针对平衡点 $\left({\delta }_u,0\right)$而言，无论阻尼系数 $D$取何值，该点均表现为鞍点。

当忽略系统阻尼时，平衡点 $\left({\delta }_s,0\right)$表现为中心，该点的完整稳定域边界由相邻鞍点 ${\delta }_u$的鞍点分界线构成，如 图4(a) 所示；当系统具有正阻尼时，平衡点 ${\delta }_s$表现为稳定焦点，其稳定域延伸至相平面的无穷远，如 图4(b) 所示。要想刻画其完整的稳定域，还需要研究边界延伸至无穷远处的形态，并判断稳定域是否包含SAI。

针对系统内某一特定平衡点，仅以鞍点分界线的局部信息来确定其BSR往往是不全面的，还需要结合含有SAI的全局流形来分析。下面以一个简单非线性系统为例进行说明。

令 $Q\left(x,y\right)=-x+\mu x^2-y^2$， $P\left(x,y\right)=y$， $\mu >0$，可知该系统有两个平衡点，平衡点 $S\left(0,0\right)$表现为中心，平衡点 $B\left(1/\mu ,0\right)$表现为鞍点，二者可以鲜明的表现出鞍点分界线与中心点准确的BSR的关系。采用Poincaé变换对系统进行投影变换之后，可以得到鞍点分界线在不同参数下的全局结构。如 图5 所示，稳定平衡点为S，阴影区域为该点的BSR；鞍点为B，虚线为其鞍点分界线； $\tilde{D},\widetilde{\stackrel{˜}{D}},\tilde{E},\widetilde{\stackrel{˜}{E}},\tilde{F},\widetilde{\stackrel{˜}{F}}$为无穷远处的鞍结点，实线为该系统的全局相轨线。蓝色分界线所包围的区域为平衡点 $S\left(0,0\right)$的稳定域。

图4. 系统稳定域与相邻鞍点的分界线

从 图5 可以发现如下结论：

a) 当 $\mu >1$时， 图5 中的虚线围成阴影部分的BSR，鞍点B分界线所构成的闭轨线就是稳定平衡点S的BSR。

b) 当 $0<\mu <1$时，可以看出虚线与阴影区域并不相关。鞍点的全局分界线的分支分别由无穷远处的鞍结点 $\tilde{F}$和 $\tilde{D}$出发，经过鞍点B之后，终止于无穷远处的鞍结点 $\tilde{E}$和 $\widetilde{\stackrel{˜}{D}}$；此时S的稳定域是由无穷远奇点所围成的闭区域 $\widetilde{\stackrel{˜}{F}}\widetilde{\stackrel{˜}{E}}$构成。鞍点分界线所围成的闭区域不再作为稳定平衡点S的BSR。

因此在刻画含有SAI的全局流形才能准确辨识BSR的完整结构，若仅由鞍点分界线所围成的闭轨线来界定系统的BSR，则会得到相对保守的结论，甚至可能会带来较大误差，这也是本文引入全局流形来分析系统稳定域的主要原因。

当电力系统遭受到小扰动，故障消失后系统的平衡点及其BSR一般不会有明显变化，相空间中的轨迹经过短暂的振荡后将逐渐恢复到原来的稳定状态。但是，当电力系统遭受到大扰动(如切机、切负荷等)，故障被清除后，系统的平衡点及其BSR可能会发生显著变化，故障后系统能否维持、或跃变至新的稳定平衡点则需要进一步讨论。

三维投影空间中的SAI通常分布在单位球表面，随着BSR的变化，将沿着球面发生移动，作为稳定域边界上的端点，SAI的稳定性和位置取决于故障后系统的结构特征。有了SAI的补充，一方面，它有助于勾勒出BSR的完整结构，另一方面，通过SAI的分布特性还可以反映BSR的变化情况，从而反映系统的稳定程度。在三维投影空间中，由SAI所构成的平面面积可以表示为：

$I_{\text{SAI}}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$(12)

其中， $a=\Vert {\text{SAI}}_1-{\text{SAI}}_2\Vert$， $b=\Vert {\text{SAI}}_2-{\text{SAI}}_3\Vert$， $c=\Vert {\text{SAI}}_1-{\text{SAI}}_3\Vert$， $p=\left(a+b+c\right)/2$， ${\text{SAI}}_1$、 ${\text{SAI}}_2$、 ${\text{SAI}}_3$分别为系统在半球面上的SAI坐标。该指标反映了无穷远处的平衡点变化趋势，体现了稳定域的扩张与收缩情况，亦可以衡量系统稳定程度的变化。

根据上述内容结合无穷远奇点理论确定阻尼系数对单机无穷大系统暂态功角稳定域全局结构的影响。首先，确定系统平衡点及鞍点分界线；其次，通过Poincaré变换计算系统无穷远奇点，将其与平衡点和鞍点映射至单位球面；最后，得到该球面的俯视图，即系统映射在球面上的功角稳定域，根据不同阻尼系数得到不同稳定域。 图6 给出了三种不同阻尼下系统在投影空间下的完整稳定域。

从 图6 中可知：1) 对称分布于赤道的的一组无穷远奇点 $E$和 $F$的位置随着阻尼系数的增大而规律的发生变化， $E$逐渐远离 $\left(1,0,0\right)$、靠近 $\left(0,-1,0\right)$， $F$逐渐远离 $\left(-1,0,0\right)$、靠近 $\left(0,1,0\right)$；2) 平衡点 $\left({\delta }_s,0\right)$的稳定域边界穿过了无穷远奇点 $E$和 $F$、鞍点 $\left({\delta }_u,0\right)$和 $\left({\delta }_{u^{\prime }},0\right)$，稳定域边界随着阻尼的增大而增大，这同时也符合电力系统稳定性理论。如果此时系统切除故障的功角和角速度恰好位于稳定域内，那么系统就会受到稳定平衡点的吸引收敛至该平衡点，反之则会发散。

为了进一步验证该方法在大型电网中的有效性，本节在IEEE 16机68节点测试系统上进行了仿真，实验所涉及的三相短路故障位置：故障1 (线路27-53)、故障2 (线路55-54)、故障3 (线路25-54)和故障4 (线路30-53)，已在 图7 中标注。

故障持续时间均设置为300 ms，测试系统在不同的故障情况下可能被撕裂成2群、3群，甚至多群运行模式。在本节实验中，当领先机群被识别出之后，其余机群将全部被划分为剩余机群，接着采用SIME方法对系统进行等值处理，得到两组机群的等效功角 ${\delta }_{\text{S}}$和 ${\delta }_{\text{A}}$。

下面以故障1为例进行分群说明，故障后测试系统的发电机功角曲线如 图8 所示，根据曲线变化趋势可以观测到系统被撕裂成了3组机群运行模式：{G2-G8}、{G1, G10-G16}和{G9}，将{G2-G8}定义为领先机群，该组机群的等效功角 ${\delta }_{\text{S}}$在图中用粗虚线表示，其余的机组{G1, G10-G16}和{G9}则被定义为剩余机群，等效功角 ${\delta }_{\text{A}}$在图中用虚线表示。采用同样的方法可以得到其余3种故障情况下系统的领先机群分别为：{G1-G9, G11}、{G2-G9, G11}和{G2-G9, G11}。

对等值模型进行收缩投影变换后，可以进一步得到基于SAI的暂态稳定指标 $I_{\text{SAI}}$，如 表1 所示，其中故障3的稳定指标为 $I_{\text{SAI-3}}=0.0844$，是所有故障情况中的最小稳定指标。

续表

为了验证结果的正确性，设定2组机群的等效功角之差为180˚为界限，当2组机群等效功角之差大于180˚时，多机系统失去稳定性，对应的时间则为该故障条件下的临界稳定时间，其时间的长短与电力系统的暂态稳定程度呈正相关。当时间较长时，系统有更多时间来适应故障，从而减缓稳态过程，意味着系统的暂态稳定性更好，能够更好地保持频率、电压和功率的稳定，从而减少系统的失稳风险。如果时间很短，系统可能无法适应故障，从而导致频率和电压的剧烈波动系统，可能会导致系统的崩溃，这对于系统的暂态稳定程度而言是不利的。

如 图9 为故障3后系统的功角曲线图，黑色虚线部分为领先机群的功角中心 ${\delta }_S$，红色虚线部分为剩余机群的功角中心 ${\delta }_A$，通过放大观察确定其临界稳定时间为820 ms。利用这种方法将每一个故障的临界稳定时间均找到，并列举在 表1 中。通过比对 表1 中的稳定指标由大至小排序为：故障2、故障4、故障1、故障3。临界稳定时间同样符合这一排列顺序，以此可以确定基于SAI的稳定指标的有效性。