首先介绍定理证明所必需引理及定理：

2023年，Cao等人 [5] 证明了关于符号图偶最大度的Vizing邻接引理。

引理2.1 设符号图(G, σ)为具有偶最大度Δ ≥ 2的Δ-临界符号图，若 $xy\in E\left(G\right)$，则顶点x至少有 $\max \left\{2,\Delta -d\left(y\right)+1\right\}$个度为Δ的邻点。

从符号图Vizing邻接引理，容易得到以下推论：

推论2.2 令(G, σ)为Δ-临界符号图，则每个顶点邻接至多一个2度点和至少两个Δ度点。

设图(G, σ)可嵌入欧拉特征值为 $\chi \left(\Sigma \right)$的曲面Σ中，则图(G, σ)的面f的欧拉贡献定义如下：

$\varphi \left(f\right)=1-\frac{d\left(f\right)}{2}+{\displaystyle \underset{v\in V\left(G\right)}{\sum }\frac{1}{d\left(v\right)}}$

这里的V(f)表示面f的边界的顶点集。

定理2.3 [6] [7] 令图G为连通，无环，无桥图，可嵌入欧拉特征值为 $\chi \left(\Sigma \right)$的表面Σ中，则

${\displaystyle \underset{f\in F\left(G\right)}{\sum }\varphi \left(f\right)}=\chi \left(\Sigma \right)$

若一个面的欧拉贡献为非负(正、零)，则称其为非负(正、零)面。

通过定理2.3中的公式可以计算出最小度至少为3的简单图的正面和零面，如 表1 和 表2 所示。由于在证明过程中，只需长度至少为4的非负面的结构，所以只需 表1 中的正面及 表2 中的零面。令H是嵌入在欧拉特征值 $\chi \left(\Sigma \right)\ge 0$的曲面Σ上的图。

本文主要运用反证法，若定理不成立，则存在一个使得定理不成立的极小反例，通过研究极小反例的性质得到矛盾，说明极小反例不存在，从而定理成立。

设G是满足定理1.5的极小反例，其中 $\left|E\left(G\right)\right|$尽可能小。

若路径v₀v₁...v_r满足除v₀和v_r外其余点的度数都为2，且d(v₀)，d(v_r) > 2，则路径v₀v₁...v_r被称为长度为r的细分边。v₀和v_r被称为细分边的端点。若两条细分边至少有一个端点相同，则称这两条细分边相邻。

那么，(1) (2) (3)容易得出：

将G中的每条细分2-边替换为单边得到图 $\bar{G}$。对于每条边 $e=xy\in E\left(G\right)$，记α(e)为e在G中对应的边。所以α(e)要么是e，要么是端点为x和y的细分2-边。

此时，容易推出(4) (5)：

引理2.4 图 $\bar{G}$的围长至少为4。

证明：反证法，假设 $\bar{G}$包含一个长度至多为3的圈 $\bar{C}$。记C为 $\bar{C}$在G中对应的圈。那么，根据(3)，C的长度至多为4，否则在C上存在两条相邻的细分2-边，这与G的围长至少为6的假设相矛盾。

引理2.5 在图 $\bar{G}$中，任何度数为3的顶点至多与一个度数为3的顶点相邻。

证明：反证法，假设存在一个3度点x与两个3度点y，z相邻。根据(5)，x，y，z都不为∆度点，所以α(xy) = xy且α(xz) = xz。根据(4)， $\bar{G}$中任意顶点度数与G中顶点度数相同，所以x，y，z在G中均为3度点。因此，在G中，3度点与两个3度点相邻。这表明x至多与一个Δ度点相邻，这与推论2.2中x至少与两个Δ度点相邻相矛盾。

引理2.6 对于 $\bar{G}$中的任意一个4-面 $f^{\prime }=\left[x_1{x}_2{x}_3{x}_4\right]$，均有 $d_{\bar{G}}\left(x_i\right)\ge 4$，其中 $i=1,2,3,4$。

证明：反证法，假设存在x_i， $d_{\bar{G}}\left(x_i\right)\le 3$。不妨令 $d_{\bar{G}}\left(x_1\right)=3$，由(4)可知， $\bar{G}$中任意顶点度数与G中顶点度数相同，所以 $d_G\left(x_1\right)=3$。由(5)可知，由于x₁不为∆度点，所以 $\alpha \left(x_1{x}_2\right)=x_1{x}_2$且 $\alpha \left(x_1{x}_4\right)=x_1{x}_4$。由于假设中G的围长至少为6，所以α(x₂x₃)与α(x₃x₄)在G中必为细分2-边，这与(3)中任意两条细分2-边彼此不相邻相矛盾。

引理2.7 $\bar{G}$不包含任何正面。因此， $\bar{G}$的所有面均为零面。

证明：反证法，假设 $\bar{G}$包含一个正面 $f^{\prime }$。根据 表1 ， $f^{\prime }$的长度要么为4，要么为5。若 $d\left(f^{\prime }\right)=4$，根据 表1 ， $f^{\prime }$的边界上至少有一个3度点，这与引理2.6相矛盾。若 $d\left(f^{\prime }\right)=5$，根据 表1 ，在 $f^{\prime }$的边界上存在一个3度点与两个3度点相邻，这与引理2.5相矛盾。由于 $\chi \left(\Sigma \right)\ge 0$，所以 $\bar{G}$的所有面均为零面。

引理2.8 图 $\bar{G}$中的每个面的长度均为4且与四个4度点相邻。因此，图 $\bar{G}$是4-正则图，且 $\bar{G}$中每个面的长度均为4。

证明：设 $\bar{f}\in F\left(\bar{G}\right)$。那么，根据引理2.7， $\bar{f}$是零面。由引理2.5知任何度数为3的顶点至多与一个度数为3的顶点相邻，由引理2.6知 $\bar{G}$中的任意一个4-面边界顶点度数至少为4，再根据 表2 ，易得 $d\left(\bar{f}\right)=4$且 $\bar{f}$边界的每个顶点均为4度点。

证明：设 $\overline{f_1}=\left[x_1{x}_2{x}_3{x}_4\right]$是 $\bar{G}$的一个4-面。记 $f_1\in F\left(G\right)$为 $\overline{f_1}$对应的面。由于G的围长为6，所以存在两条不邻接的边为细分2-边。不失一般性，假设 $\alpha \left(x_1{x}_2\right)$与 $\alpha \left(x_3{x}_4\right)$是细分2-边。记 $\alpha \left(x_1{x}_2\right)=x_1{y}_1{x}_2$， $\alpha \left(x_3{x}_4\right)=x_3{y}_2{x}_4$，其中 $d_G\left(y_1\right)=d_G\left(y_2\right)=2$。设 $f_2=\left[x_2{x}_5{x}_6{x}_3\right]$是与f₁相邻且共用边x₂x₃的4-面。根据(3)，任意两条细分2-边彼此不相邻，所以 $\alpha \left(x_2{x}_5\right)=x_2{x}_5$、 $\alpha \left(x_2{x}_3\right)=x_2{x}_3$以及 $\alpha \left(x_3{x}_6\right)=x_3{x}_6$。因此，f₂至多为5-面，这与g ≥ 6相矛盾。以上矛盾说明极小反例G不存在，从而定理1.5成立。