基于前面对梯度迭代算法的分析，本节我们提出了MGI算法来求解方程(1)，并讨论了该算法的收敛性和收敛速率。对于方程(1)的求解，之前一些研究中提出的单因子收敛法因为没有充分利用好方程组的耦合性和子方程的独立性之间的关系，导致收敛性的证明结果以及算法的收敛速度不太理想。因此针对此类方程的特点，基于梯度算法和单因子收敛法，我们引入多个参数，提出了改进的多迭代因子梯度算法。

其主要思想是搜索矩阵组 $X=\left(X_1,X_2,\cdots ,X_l\right)$，最小化以下目标函数：

$G\left(X\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\varpi }{\sum }}{\mu }_i}{\Vert R_i\Vert }^2$， (3)

其中， ${\mu }_i>0$， $R_i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j{B}_{ij}+C_{ij}{X}_j^{\text{T}}{D}_{ij}\right)}-F_i$， $i=\left[1,s\right]$。

我们提出mMGI算法如下：

步骤1 输入初始矩阵 $A_{ij}\in R^{m_i\times r_j}$， $C_{ij}\in R^{m_i\times t_j}$， $B_{ij}\in R^{t_j\times n_i}$， $D_{ij}\in R^{r_j\times n_i}$， $F_i\in R^{m_i\times n_i}$， $X_j\in R^{r_j\times t_j}$， $i=\left[1,s\right]$，

$j=\left[1,p\right]$。给定任意小的正数 $\epsilon$，和合适的正数 ${\omega }_i$， $i=\left[1,s\right]$，且满足 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\omega }_i}=1$。选取初始矩阵 $X_j\left(0\right)$，

$j=\left[1,p\right]$，设置 $k:=1$。

步骤2 如果：

${\delta }_k=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\Vert F_i-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j{B}_{ij}+C_{ij}{X}_j^{\text{T}}{D}_{ij}\right)}\Vert }_F}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\Vert F_i\Vert }_F}}<\epsilon$， (4)

停止计算；否则，转到步骤3。

步骤3 计算对于， $i=\left[1,s\right]$， $l=\left[1,p\right]$，更新序列：

$\begin{array}{c}{X}_l^i\left(k+1\right)=X_l^i\left(k\right)+{\mu }_i{A}_{il}^{\text{T}}\left[F_i-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j\left(k\right)B_{ij}+C_{ij}{\left(X_j\left(k\right)\right)}^{\text{T}}{D}_{ij}\right)}\right]B_{il}^{\text{T}}\\ +{\mu }_i{D}_{il}\left[F_i^{\text{T}}-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(B_{ij}^{\text{T}}{X}_j^{\text{T}}\left(k\right)A_{ij}^{\text{T}}+D_{ij}^{\text{T}}{X}_j\left(k\right)C_{ij}^{\text{T}}\right)}\right]C_{il},\end{array}$

$X_l\left(k+1\right)={\omega }_1{X}_l^1\left(k+1\right)+\cdots +{\omega }_s{X}_l^s\left(k+1\right)$。 (5)

步骤4 令 $k:=k+1$，返回步骤2继续计算。

首先，我们给出MGI算法的收敛性分析，给出了使算法收敛的充分条件。

定理3.1 假设耦合Sylvester转置矩阵方程(1)存在唯一解，如果选取迭代因子 ${\mu }_i$满足不等式

$0<{\mu }_i<\frac{2}{s{\omega }_i{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}\left({\Vert A_{il}\Vert }_2^2{\Vert B_{il}\Vert }_2^2+{\Vert C_{il}\Vert }_2^2{\Vert D_{il}\Vert }_2^2\right)}}$， (6)

则由mMGI算法生成的迭代解 $X\left(k\right)=\left(X_1\left(k\right),X_2\left(k\right),\cdots ,X_l\left(k\right)\right)$在任意初始条件下都收敛于方程的唯一解

$X_j^{*}$， $j=\left[1,p\right]$，即 $\underset{k\to \infty }{\lim }{X}_j\left(k\right)=X_j^{*}$， $j\in \overline{1,p}$。

证明 首先，我们定义迭代误差矩阵

${\tilde{X}}_l\left(k\right)=X_l\left(k\right)-X_l^{*}$， ${\tilde{X}}_l^{\left(i\right)}\left(k\right)=X_l^{\left(i\right)}\left(k\right)-X_l^{*}$， $i=\left[1,s\right]$， $l=\left[1,p\right]$。 (7)

将mMGI算法中的(5)前两行的两边同时减去 $X_l^{*}$，有

$\begin{array}{c}{\tilde{X}}_l^{\left(i\right)}\left(k\right)=X_l^{\left(i\right)}\left(k\right)-X_l^{*}\\ =X_l^{\left(i\right)}\left(k-1\right)-X_l^{*}+{\mu }_i\{A_{il}^{\text{T}}[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j^{*}{B}_{ij}+C_{ij}{\left(X_j^{*}\right)}^{\text{T}}{D}_{ij}\right)}\\ -{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j\left(k-1\right)B_{ij}+C_{ij}{X}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}\right)B_{il}^{\text{T}}}+D_{il}[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j^{*}{B}_{ij}+C_{ij}{\left(X_j^{*}\right)}^{\text{T}}{D}_{ij}\right)}\\ {-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j\left(k-1\right)B_{ij}+C_{ij}{X}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}\right)}]}^{\text{T}}{C}_{il}\}\\ ={\tilde{X}}_l^{\left(i\right)}\left(k-1\right)-{\mu }_i\{A_{il}^{\text{T}}\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)B_{ij}+C_{ij}{\tilde{X}}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}\right)}\right]B_{il}^{\text{T}},l=\left[1,p\right].\end{array}$

则

$\begin{array}{l}{\tilde{X}}_l\left(k\right)=X_l\left(k\right)-X_l^{*}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\omega }_i}{\tilde{X}}_l^{\left(i\right)}\left(k\right)\\ ={\tilde{X}}_l\left(k-1\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\{A_{il}^{\text{T}}\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)B_{ij}+C_{ij}{\tilde{X}}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}\right)}\right]B_{il}^{\text{T}}\\ +D_{il}{\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)B_{ij}+C_{ij}{\tilde{X}}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}\right)}\right]}^{\text{T}}{C}_{il}\}\\ ={\tilde{X}}_l\left(k-1\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}{\mu }_i}}{\omega }_i(A_{il}^{\text{T}}{A}_{ij}{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)B_{ij}{B}_{il}^{\text{T}}+A_{il}^{\text{T}}{C}_{ij}{\tilde{X}}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{ij}{B}_{il}^{\text{T}}\\ +D_{il}{B}_{ij}^{\text{T}}{\tilde{X}}_j^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{ij}^{\text{T}}{C}_{il}+D_{il}{D}_{ij}^{\text{T}}{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)C_{ij}^{\text{T}}{C}_{il}),l=\left[1,p\right].\end{array}$

定义

$\begin{array}{c}{\theta }_i\left(k\right)=F_i-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{X}_j\left(k\right)B_{ij}+C_{ij}{X}_j^{\text{T}}\left(k\right)D_{ij}\right)}\\ =-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left(A_{ij}{\tilde{X}}_j\left(k\right)B_{ij}+C_{ij}{\tilde{X}}_j^{\top }\left(k\right)D_{ij}\right)},\end{array}$

则

${\tilde{X}}_l\left(k\right)={\tilde{X}}_l\left(k-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)$。 (8)

取(8)两边F范数的平方，可以得到：

$\begin{array}{c}{\Vert {\tilde{X}}_l\left(k\right)\Vert }_F^2={\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\Vert }_F^2\\ ={\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\Vert }_F^2+{\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\Vert }_F^2\\ +\mathrm{tr}\left[{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\right]\\ +\mathrm{tr}\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(B_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}+C_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)D_{il}^{\text{T}}\right){\tilde{x}}_l\left(k-1\right)\right]\\ ={\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\Vert }_F^2+{\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\Vert }_F^2\\ +\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}\right)+\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\\ +\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{B}_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\right)+\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{C}_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)D_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)\right).\end{array}$

由于 $tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)$，则上式可以进一步转化为

$\begin{array}{c}{\Vert {\tilde{X}}_l\left(k\right)\Vert }_F^2={\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\Vert }_F^2\\ +\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{B}_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)\right)+\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{il}\right)\\ +\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\theta }_i^T\left(k-1\right)A_{il}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)B_{il}\right)+\mathrm{tr}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{D}_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)\right)\\ ={\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(A_{il}^{\text{T}}{\theta }_i\left(k-1\right)B_{il}^{\text{T}}+D_{il}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)C_{il}\right)\Vert }_F^2\\ +\mathrm{tr}\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left(B_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}^{\text{T}}+D_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)C_{il}^{\text{T}}\right){\theta }_i\left(k-1\right)\right]\\ +\mathrm{tr}\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)\left(A_{il}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)B_{il}+C_{il}{X}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{il}\right)\right].\end{array}$ (9)

将(9)两侧所有的 ${\Vert {\tilde{X}}_l\left(k\right)\Vert }_F^2$， $l=\left[1,p\right]$相加，可得：

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}{\Vert {\tilde{X}}_l\left(k\right)\Vert }_F^2}\le {\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\Vert }_F^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\mathrm{tr}\left[{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}\left(B_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)A_{il}^{\text{T}}+D_{il}^{\text{T}}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)C_{il}^{\text{T}}\right){\theta }_i(k-1)}\right]\\ +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\mathrm{tr}\left[{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}{\theta }_i^{\text{T}}\left(k-1\right)\left(A_{il}{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)B_{il}+C_{il}{X}_l^{\text{T}}\left(k-1\right)D_{il}\right)}\right]\\ \le {\Vert {\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\Vert }_F^2-2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i{\Vert {\theta }_i\left(k-1\right)\Vert }_F^2\\ +s{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i^2}{\omega }_i^2{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}\left({\Vert A_{il}\Vert }_2^2{\Vert B_{il}\Vert }_2^2+{\Vert C_{il}\Vert }_2^2{\Vert D_{il}\Vert }_2^2\right)}{\Vert {\theta }_i\left(k-1\right)\Vert }_F^2\\ \le {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{P}{\sum }}{\Vert {\tilde{X}}_l\left(0\right)\Vert }_F^2}-2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left[1-\frac{s}{2}{\mu }_i{\omega }_i{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}\left({\Vert A_{il}\Vert }_2^2{\Vert B_{il}\Vert }_2^2+{\Vert C_{il}\Vert }_2^2{\Vert D_{il}\Vert }_2^2\right)}\right]{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k}{\sum }}{\Vert {\theta }_i\left(j\right)\Vert }_F^2}.\end{array}$

显然，如果收敛因子 ${\mu }_i$满足(6)，我们可以推断出：

$2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i}{\omega }_i\left[1-\frac{s}{2}{\mu }_i{\omega }_i{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{p}{\sum }}\left({\Vert A_{il}\Vert }_2^2{\Vert B_{il}\Vert }_2^2+{\Vert C_{il}\Vert }_2^2{\Vert D_{il}\Vert }_2^2\right)}\right]{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k}{\sum }}{\Vert {\theta }_i\left(j\right)\Vert }_F^2\le {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{P}{\sum }}{\Vert {\tilde{X}}_l\left(0\right)\Vert }_F^2}}$。

从级数收敛的必要条件可知当 $k\to \infty$时，

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert {\theta }_i\left(k\right)\Vert }_F^2=0$。

因此，可以得到：

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\tilde{X}}_j\left(k\right)=0$， $j=\left[1,p\right]$。

所以，MGI算法生成的迭代解收敛于方程(1)的精确解，即

$\underset{k\to \infty }{\lim }{X}_j\left(k\right)=X_j^{*}$， $j=\left[1,p\right]$。

定理证明完毕。

在证明了MGI算法收敛的充分性后，我们进一步分析了迭代因子 ${\mu }_i$与算法的收敛速度之间的关系，提出了定理3.2为算法的收敛提供了充分必要条件，扩展了迭代因子的范围，在保持算法稳定性的同时加快了算法的收敛速度，接下来提供了定理3.2的证明。

定理3.2 假设耦合Sylvester转置矩阵方程(1)存在唯一解，则由MGI算法生成的迭代解 $X\left(k\right)=\left(X_1\left(k\right),X_2\left(k\right),\cdots ,X_l\left(k\right)\right)$在任意初始条件下都收敛于方程的唯一解 $X_j^{*}$， $j=\left[1,p\right]$，即

$\underset{k\to \infty }{\lim }{X}_j\left(k\right)=X_j^{*}$， $j=\left[1,p\right]$，当且仅当迭代因子 ${\mu }_i$满足不等式

$0<{\mu }_i<\frac{2}{{\Vert T^{\frac{1}{2}}S\Vert }_2^2}$， (10)

证明 首先，用向量化算子对(8)的两侧进行列向量化，得到

$\mathrm{vec}\left[{\tilde{X}}_l\left(k\right)\right]=\mathrm{vec}\left[{\tilde{X}}_l\left(k-1\right)\right]-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{\mu }_i{\omega }_i}\left[B_{il}\otimes A_{il}^{\text{T}}+P_{r_l{t}_l}^{\text{T}}\left(D_{il}\otimes C_{il}^{\text{T}}\right)\right]$

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}\left[B_{ij}^{\text{T}}\otimes A_{ij}+\left(D_{ij}^{\text{T}}\otimes C_{ij}\right)P_{r_j{t}_j}\right]}\mathrm{vec}\left[{\tilde{X}}_j\left(k-1\right)\right]$， $l=\left[1,p\right]$。 (11)

令

$\mathrm{vec}\left[\tilde{X}\left(k\right)\right]={\left[{\left[\mathrm{vec}\left({\tilde{X}}_1\left(k\right)\right)\right]}^{\text{T}},{\left[\mathrm{vec}\left({\tilde{X}}_2\left(k\right)\right)\right]}^{\text{T}},\cdots ,{\left[\mathrm{vec}\left({\tilde{X}}_p\left(k\right)\right)\right]}^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$，

定义 $T=\mathrm{blkdiag}\left\{{\omega }_1{I}_{m_1{n}_1},{\omega }_2{I}_{m_2{n}_2},\cdots ,{\omega }_s{I}_{m_s{n}_s}\right\}$，则(11)可以写成

$\mathrm{vec}\left[\tilde{X}\left(k+1\right)\right]=\mathrm{vec}\left[\tilde{X}\left(k\right)\right]-{\mu }_i{S}^{\text{T}}TS\mathrm{vec}\left[\tilde{X}\left(k\right)\right]=\left[I-{\mu }_i{S}^{\text{T}}{T}^{\frac{1}{2}}{T}^{\frac{1}{2}}S\right]\mathrm{vec}\left[\tilde{X}\left(k\right)\right]$， (12)

显然(12)是一个迭代方程，它收敛当且仅当

$\rho \left(I-{\mu }_i{S}^{\text{T}}{T}^{\frac{1}{2}}{T}^{\frac{1}{2}}S\right)<1$，

因此，当且仅当迭代因子 ${\mu }_i$满足(10)，即(12)谱半径小于1，方程(1)具有唯一解。

定理证明完毕。

注释3.1 在证明了我们所提出的MGI算法是收敛的之后，为了定量分析MGI算法的收敛速度，我们进行理论分析来估计其收敛阶数。收敛阶数描述了迭代误差随着迭代步数增加而减少的速率，能很好地衡量迭代算法的收敛效率。

假设迭代误差在第k步和第 $\left(k+1\right)$步之间的关系可以表示为：

$e_{\left(k+1\right)}=\alpha e_k^p$，

其中 $e_k$是第k步的误差， $\alpha$是一个常数，p是收敛阶数。

对于MGI算法，我们可以通过分析迭代公式(5)来推导误差之间的关系。假设初始误差 $e_0$已知，通过迭代公式，可以得到 $e_1,e_2,\cdots ,e_k$的表达式。通过数学归纳法，可以得到：

$e_{k+1}=\alpha {\left(\underset{i=1}{\overset{k}{{\displaystyle \prod }}}{\mu }_i\right)}^p{e}_0^p$，

其中 ${\mu }_i$是第i步的迭代因子。

为了使算法收敛，我们需要 $\alpha {\left(\underset{i=1}{\overset{k}{{\displaystyle \prod }}}{\mu }_i\right)}^p<1$对所有的k成立。即需要 $p>1$，这表明算法具有超线性收敛性。

可以通过选择迭代因子 ${\mu }_i$来进一步确定p的值。例如选择 ${\mu }_i=\frac{2}{i+2}$时，则 $p=1.5$。此时，MGI算法具有1.5阶的收敛速度，这表明算法在每次迭代中能显著减少误差，即算法具有较好的收敛性。

在本节中，我们将讨论如何选择多迭代因子以优化算法的性能。迭代因子的选择对算法的收敛速度和稳定性有重要影响。我们提出以下几种方法来选择迭代因子：

基于算法的收敛性分析，选择满足定理3.2中不等式(10)的迭代因子。

通过数值实验，观察不同迭代因子对算法收敛速度的影响，并选择表现最佳的因子。

使用优化算法(如梯度下降法)来自动调整迭代因子，以最小化目标函数(3)。

具体方法可以根据实际问题的需求和计算资源来确定。

我们给出了一个数值例子来说明所提算法的收敛性。考虑以下耦合Sylvester转置矩阵方程，

$\{\begin{array}{l}{A}_{11}{X}_1{B}_{11}+C_{11}{X}_1^{\text{T}}{D}_{11}+A_{12}{X}_2{B}_{12}+C_{12}{X}_2^{\text{T}}{D}_{12}=F_1,\hfill \\ A_{21}{X}_1{B}_{21}+C_{21}{X}_1^{\text{T}}{D}_{21}+A_{22}{X}_2{B}_{22}+C_{22}{X}_2^{\text{T}}{D}_{22}=F_2,\hfill \end{array}$

其中系数矩阵的取值来自于文献 [16] ：

$\begin{array}{l}{A}_{11}=\left[\begin{array}{ll}-1\hfill & 2\hfill \\ -2\hfill & 3\hfill \end{array}\right],B_{11}=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0.5& 3\end{array}\right],C_{11}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 3\end{array}\right],D_{11}=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 2\end{array}\right],\hfill \\ A_{21}=\left[\begin{array}{ll}2\hfill & 3\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill \end{array}\right],B_{21}=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 0.5& -2\end{array}\right],C_{21}=\left[\begin{array}{ll}1\hfill & 2\hfill \\ 2\hfill & 0\hfill \end{array}\right],D_{21}=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& -1\end{array}\right],\hfill \\ A_{12}=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 2\end{array}\right],B_{12}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right],C_{12}=\left[\begin{array}{cc}2.5& -4\\ -2& 0\end{array}\right],D_{12}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right],\hfill \\ A_{22}=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 1\end{array}\right],B_{22}=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& -2\end{array}\right],C_{22}=\left[\begin{array}{ll}2\hfill & 3\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill \end{array}\right],D_{22}=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& -1\end{array}\right],\hfill \\ F_1=\left[\begin{array}{cc}-26& 35\\ -21& -25\end{array}\right],F_2=\left[\begin{array}{cc}19& -29\\ 3& 11\end{array}\right].\hfill \end{array}$

此方程的精确解为：

$X_1^{*}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\end{array}\right],X_2^{*}=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 3\end{array}\right]$。

在本例中，我们将初始矩阵设为：

$X_1^{\left(i\right)}\left(0\right)=X_2^{\left(i\right)}\left(0\right)={10}^{-6}\times I_2$， $i=1,2$，

迭代误差设为：

$\delta \left(k\right)=\sqrt{\frac{{\Vert X_1\left(k\right)-X_1^{*}\Vert }^2+{\Vert X_2\left(k\right)-X_2^{*}\Vert }^2}{{\Vert X_1^{*}\Vert }^2+{\Vert X_2^{*}\Vert }^2}}$。

接下来，我们对所提出的MGI算法的收敛性进行了验证。首先，我们设定参数 ${\omega }_1=0.4,{\omega }_2=0.6$，选定两个参数后，迭代因子的选择方法我们结合上一节的3.3.1和3.3.2的两种方法， 图1 中选取的三组迭代因子为： ${\mu }_1=2\times {10}^{-5},{\mu }_2=1.5\times {10}^{-5};{\mu }_1=3\times {10}^{-5},{\mu }_2=2\times {10}^{-5};{\mu }_1=1.5\times {10}^{-5},{\mu }_2=1\times {10}^{-5}$。

从 图1 可以看出，随着迭代步数的增加，迭代误差持续减小，这表明迭代解正在逐渐接近精确解，从而证明了本文所提出的算法的收敛性。此外，我们发现迭代因子的数值越大，算法的收敛速度越快，然而，如果迭代因子选取过大，算法将直接发散。因此，如何选择最佳的迭代因子以优化收敛性能，仍需进一步研究。

1) 收敛速度更快：通过引入多个迭代因子，MGI算法能够更灵活地调整迭代步长，从而加速收敛。

2) 计算复杂度更低：MGI算法避免了复杂的矩阵分解操作，仅需进行矩阵乘法和加法运算，因此计算复杂度远低于克罗内克积的直接解法。

3) 适用范围更广：MGI算法不仅适用于方阵，还可以处理非方阵情况，扩展了算法的应用范围。