性质1：若 $Z_1,Z_2~N\left(0,1\right)$，且 $Z_1,Z_2$相互独立。则：

$X=\max \left(Z_1,Z_2\right)~SN\left(0,1,1\right),Y=\min \left(Z_1,Z_2\right)~SN\left(0,1,-1\right)$

证明：

$F\left(x\right)=P\left(X<x\right)=P\left(\max \left(Z_1,Z_2\right)<x\right)$

由于 $x_1,x_2$相互独立，则有

$F\left(x\right)=P\left(x_1<x\right)P\left(x_2<x\right)=\Phi \left(x\right)\Phi \left(x\right)$

则

$f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)=2\phi \left(x\right)\Phi \left(x\right)$

因此

$X=\max \left(x_1,x_2\right)~SN\left(0,1,1\right)$

同理可证

$Y=\min \left(x_1,x_2\right)~SN\left(0,1,-1\right)$

性质2：如果 $X~SN\left(\mu ,{\sigma }^2,\alpha \right)$，则 $X$的期望和方差分别为

$E\left(X\right)=\mu +\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}},D\left(X\right)=\left(1-\frac{2}{\pi }\frac{{\alpha }^2}{1+{\alpha }^2}\right){\sigma }^2$ (2)

证明：由期望的计算公式 $E\left(X\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)}dx$可得：

$E\left(X\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }x\frac{2}{\sigma }\varphi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\Phi \left(\alpha \frac{x-\mu }{\sigma }\right)dx}$

再由方差公式 $D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-E{\left(X\right)}^2$计算，可证(2)式成立。

性质3：如果 $X~SN\left(0,1,\alpha \right)$，则 $\left|X\right|$服从半正态分布，即 $\left|X\right|~HN\left(0,1\right)$。

证明：将 $\mu =0,\sigma =1$代入偏正态分布的概率密度函数可得

$f\left(x;\mu ,\sigma ,\alpha \right)=2\varphi \left(x\right)\Phi \left(\alpha x\right)$

因此 $\left|X\right|$的分布函数为

$F_{\left|X\right|}\left(x\right)=P\left(\left|X\right|\le x\right)=P\left(-x\le X\le x\right)$

得到

$F_{\left|X\right|}\left(x\right)=\left[\Phi \left(x\right)-\Phi \left(-x\right)\right]+{\displaystyle {\int }_{-x}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{t^2}{2}\right)erf\left(\alpha t\right)dt}$

又因为 $\Phi \left(-x\right)=1-\Phi \left(x\right)$，所以可得 $F_{\left|X\right|}\left(x\right)=2\Phi \left(x\right)$，即 $\left|X\right|$服从半正态分布。

性质4：如果 $X~SN\left(0,1,\alpha \right)$，则 $X^2~x^2\left(1\right)$。

证明：令 $Y=X^2$，对于 $y>0$,

$\begin{array}{c}{f}_Y\left(y\right)=\frac{d}{dy}{F}_Y\left(y\right)=\frac{d}{dy}\left(\Phi \left(\sqrt{y}\right)-\Phi \left(-\sqrt{-y}\right)\right)\\ =\varphi \left(\sqrt{y}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}-\varphi \left(-\sqrt{y}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$

性质5：如果 $Z_0,Z_1~N\left(0,1\right)$，且 $Z_0,Z_1$相互独立， $X=\delta \left|Z_0\right|+\sqrt{1-{\delta }^2}{Z}_1,\delta \in R$，则 $X\sim SN\left(0,1,\alpha \right)$，其中 $\alpha =\frac{\delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}$。

证明：由题意可知， $X=\delta \left|Z_0\right|+\sqrt{1-{\delta }^2}{Z}_1$是 $\left|Z_0\right|$和独立正态随机变量 $Z_1$的线性组合。

设 $U=\left|Z_0\right|$，则 $X$的条件分布为： $X|U=u~N\left(\delta u,1-{\delta }^2\right)$，因此 $\left(X,U\right)$的联合密度函数为

$f_{X,U}\left(x,u\right)=f_{X|U}\left(x|u\right)\cdot f_u\left(u\right)=\frac{\sqrt{2}}{\pi \sqrt{1-{\delta }^2}}\exp \left(-\frac{u^2}{2}\right)\exp \left(-\frac{{\left(x-\delta u\right)}^2}{2\left(1-{\delta }^2\right)}\right)$

得 $X$的边缘分布为

$\begin{array}{c}{f}_X\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{\pi \sqrt{1-{\delta }^2}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\exp \left(-\frac{u^2}{2}-\frac{{\left(x-\delta u\right)}^2}{2\left(1-{\delta }^2\right)}\right)du}\\ =\frac{\sqrt{2}}{\pi \sqrt{1-{\delta }^2}}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right){\displaystyle {\int }_0^{\infty }\exp \left(-\frac{{\left(u-x\delta \right)}^2}{2\left(1-{\delta }^2\right)}\right)}du\end{array}$

将变量 $u-x\delta =z$代入积分可得

$f_X\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{\pi \sqrt{1-{\delta }^2}}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right){\displaystyle {\int }_{-x\delta }^{\infty }\exp \left(-\frac{z^2}{2\left(1-{\delta }^2\right)}\right)dz}$

取 $\alpha =\frac{\delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}$，可知

$f_X\left(x\right)=2\varphi \left(x\right)\Phi \left(\alpha x\right)$

因此， $X~SN\left(0,1,\alpha \right)$。

最大似然估计是一种在统计学中估计模型参数的方法，它通过最大化观测数据在给定参数下的似然函数来实现。给定一组观测数据 $X=\left\{x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n\right\}$，假设这些数据均服从偏正态分布 $SN\left(\mu ,{\sigma }^2,\alpha \right)$且相互独立，则似然函数为

$L\left(\mu ,\sigma ,\alpha \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}f\left(x_i|\mu ,\sigma ,\alpha \right)}$ (3)

对(3)式取对数似然函数得到

$l\left(\mu ,\sigma ,\alpha \right)=\ln L\left(\mu ,\sigma ,\alpha \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\ln f\left(x_i|\mu ,\sigma ,\alpha \right)}$ (4)

为了找到使似然函数最大化的参数值，需要求解对数似然函数关于每个参数的偏导数，并设置它们等于零，即

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial l}{\partial \mu }={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)-\alpha {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\varphi \left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}{\Phi \left(\alpha \frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}=0}}\\ \frac{\partial l}{\partial \sigma }=-n+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}^2-\alpha {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)\frac{\varphi \left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}{\Phi \left(\alpha \frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}=0}}\\ \frac{\partial l}{\partial \alpha }={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)\frac{\varphi \left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}{\Phi \left(\alpha \frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)}=0}\end{array}$ (5)

偏正态分布的概率密度函数其对数似然函数的导数可能非常复杂，由于Python具有强大的数学计算库(如 NumPy、SciPy等)与数据可视化库(如Matplotlib、Seaborn等)，可以用于数学建模和仿真 [6] ，本文使用Python语言求解方程的解，并检验解出的参数值是否满足偏正态分布的参数约束，通过其他统计测试来验证这些参数值是否合理地描述了数据。

对四门课程的学生成绩分别进行正态分布拟合和偏正态分布拟合，拟合结果如 图6~图9 所示。

赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)是衡量拟合效果的参数，AIC和BIC越小，说明模型的拟合效果越好。AIC建立在信息熵的概念基础上，可以表示为AIC = 2k − 2ln (L)，其中k是参数的数量，L是似然函数。BIC是基于贝叶斯决策理论的一种准则，其计算方式是BIC = kln (n) − 2ln (L)，与AIC相似，BIC也用似然函数和参数数量来衡量模型的拟合优良性，不同的是BIC的惩罚项比AIC的大。同时BIC考虑了样本数量，当样本数量过多时，可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高。

利用极大似然估计估计出偏正态分布的参数，并根据拟合结果分别计算正态分布拟合与偏正态分布拟合的赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)，如 表1 所示。

本文选取的四门课程均为课程难度适中、选课人数较多的课程，具有一定参考性。相对于正态分布拟合，偏正态分布拟合的AIC和BIC均更小，可见对于上述四门课程偏正态分布的拟合效果更好。同时，通过上表可以看出偏正态分布的偏移度均为负数，可知上述课程学生成绩分布均服从负偏态分布。

在进行正态分布或偏正态分布拟合后，计算置信区间是一个非常重要的步骤。当我们通过数据拟合得到正态或偏正态分布的参数时，这些参数具有不确定性。置信区间给出了这些参数真实值可能落入的范围，从而帮助我们评估这些参数的可靠性。通过计算可得出以下四门课程偏正态分布拟合95%置信水平的置信区间，如 图10~图13 所示。

程序设计基础A、高等数学A、离散数学、面向对象程序设计四门课程的偏正态分布置信区间为(49, 96)、(44, 94)、(55, 94)、(44, 96)，实际置信区间内人数与总人数之比为94.58%、94.21%、95.93%、94.12%；正态分布的置信区间分别为(52, 99)、(49, 101)、(59, 98)、(48, 107)，实际置信区间内人数与总人数之比分别为96.16%、95.04%、96.27%、94.44%。

通过上述数据所知，正态分布与偏正态分布的置信区间均与理论值相近，说明使用偏正态分布拟合学生成绩分布是合理的，能体现出大部分同学的水平。另外与正态分布相比，偏正态分布拟合所计算置信区间更加精确。

对比本文选取的四门课程，在学分构成方面，面向对象程序设计包含2学分的课堂讲授、3学分的课内实践、1学分的课外实践；程序设计基础A包含2学分的课堂讲授、2学分的课内实践，无课外实践；高等数学A和离散数学的学分构成均只有课堂讲授，无实践内容。考核方式方面，面向对象程序设计期末考试成绩占比50%；程序设计基础A期末占比40%，平时成绩以实验报告、课程设计为主；而高等数学A和离散数学课程均为期末成绩占比60%的课程，平时成绩以期中考试、课堂检测等书面考核为主，且期末占比相对较高。

从培养目标来看，四门课程均为合格性考试，学生达到培养要求即可通过。但学校对优秀率进行了控制，每门课程总评93分以上的同学人数不能超过教学班级人数的10%，总评85分以上的同学人数不能超过教学班级人数的30%。因此实际学生成绩分布中达到60分及格线以上的同学较多，但优秀分段的人数较少，导致总体呈现负偏态分布。

通过实证数据发现，课程类型、考核方式及班级规模显著影响成绩分布的偏斜方向与程度，如 表2 所示。理论课程(高等数学A、离散数学)：期末成绩占比较高(60%)，考核以笔试为主，学生成绩易因试题难度或教学一致性呈现轻度左偏(α = −4.42, −3.44)。实践课程(程序设计基础A、面向对象程序设计)：过程性评价(实验、项目)占比较高(30%~50%)，成绩分布左偏更显著(α = −2.20, −6.70)，可能因实践能力差异或评分标准灵活性导致高分稀缺。班级规模：小班教学(班级 ≤ 50人)的偏态绝对值普遍低于大班(r = −0.32)，提示个性化反馈可能减少极端低分现象。

如果强行将成绩分布调整为正态分布，可能会导致优秀学生的成绩被压低，而学习较差的学生成绩被人为提高，从而扭曲了成绩的真实性。通过本文研究可知，具体到某一门课程或某一批学生的成绩分布时，往往容易偏离完全的正态分布，更多时候呈现出偏正态分布或其他非标准形态。研究结果显示，深圳技术大学的大部分课程通常使用平时成绩和期末考试成绩占比加权的考核方式。平时成绩包含考勤、小测、课堂作业、期中考试、实验报告等部分。考勤、课堂作业的存在使得课程合格率普遍较高，不再满足正态分布，而是更倾向于负偏正态分布。因此教师在评价学生等级时，可考虑使用负偏态分布来分析学生成绩。

本文选取的四门课程主要为基本通识课程和专业基础课程，主要以检验学生掌握课程内容是否达到课程要求，为合格性考试。高校考试类型以合格性考试为主，合格性考试的主要目的是检查学生是否达到预定的教学目标或学习标准，当所有学生都达到预定标准时即可全部通过，对于这类考试不必强求成绩的正态分布。而高考等选拔考试的目的是对学生学习水平的高低进行区分，以选出相对更为优秀或更符合某种特定要求的学生。这类考试可以设计试题难度或控制优秀率以增加区分度，使学生成绩尽量满足近似正态分布。

正态分布一般适合于连续的分值评价，并不适合于相对等级和完成性评价 [7] 。因此，教师应根据实际情况选择成绩分布方式。为适应创新性人才培养的要求，大学课程考试应注重形成性考核与终结性考核相结合 [8] 。教师在选择考核方式时，可以增加过程性评价、阶段性评价等内容全面地反映学生的学习能力、知识掌握程度以及综合素质。本文选取的课程中面向对象程序设计和程序设计基础偏向实践，而离散数学和高等数学A偏向理论。前两门课过程性评价占比较高，包含大量的实验操作过程考核；后两门课增加了2~3次阶段性理论测验，以更全面、更公平地对学生整个学期的表现做出评价。

在高校评价学生成绩时，应增强评价过程的透明度，及时向学生公开解释评分标准和结果。同时建立有效的沟通机制，高校之间互相沟通学习，及时根据试题难易程度调整评分方式，避免因试题难度过大或过小而导致学生成绩失真，不断优化评价方法。通过合理运用计算机，收集并分析学生的学习数据，学校能够更精准地评估学生的学习状态与成效，及时调整评分方式，确保评价结果的客观性与准确性。

在信息化的今天，合理借助大数据和人工智能技术，对学生的学习数据进行深度挖掘和分析，可以发现学生潜在的学习规律和趋势。这有助于教师更准确地了解学生的学习状态和需求，为教学和调整成绩评价方式提供科学依据。通过分析不同课程或不同教学资源的成绩表现，学校和教育部门可以了解学生集体的普遍问题，从而进行有针对性的优化和调整。同时大数据分析还可以预测学生的学习表现，为教师提供预警信息，以便及时干预和调整教学策略。

通过使用偏正态分布分析学生成绩，可以得到更准确的学生成绩评价，更确切地反映学生的实际学习情况和掌握知识的程度，减少因强行追求正态分布而导致的成绩扭曲现象。另外，通过对成绩分布形态的深入分析(如偏斜方向、峰度、偏度等)，教师可以更准确地识别学生在学习过程中存在的问题和难点，为教学决策提供有力支持，促进教师更加关注学生的学习需求和个体差异，从而增强教学的针对性和有效性。另外，通过引入更加科学合理的成绩评价方法，可以推动教育评价体系的多元化发展。