假设输入层有n个神经元(特征)，隐藏层有m个神经元。输入向量为 $x={\left[x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n\right]}^T$，隐藏层的输出为 $h={\left[h_1,h_2,\cdot \cdot \cdot ,h_m\right]}^T$。每个隐藏层神经元的输入是输入特征的加权和：

$z_j=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{w}_{ij}{x}_i+b_j$ (1)

其中， $w_{ij}$为输入层第 $i$个神经元到隐藏层第 $j$个神经元的权重， $b_j$是偏置项。通过激活函数计算隐藏层输出 $h_j$。

$h_j=f\left(z_j\right)=f\left(\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{w}_{ij}{x}_i+b_j\right)$ (2)

其中， $f$是激活函数Sigmoid。同理，输出层神经元的输入 $z_k$，是隐藏层输出的加权和，再通过激活函数计算输出 $y_k$。

对于分类任务，损失函数使用交叉熵损失：

$L=-\underset{k=1}{\overset{P}{{\displaystyle \sum }}}{y}_{true,k}log\left(y_k\right)$ (3)

其中， $y_{true,k}$是真实标签的One-hot编码， $y_k$是模型的预测概率。

后向传播的目的是计算损失函数对网络中每个参数(权重和偏置)的梯度，并使用这些梯度来更新参数。计算输出层的误差项(梯度)，反映了模型预测与真实标签之间的差异。对于每个输出层神经元 $k$，误差项为：

${\delta }_k=\frac{\partial L}{\partial z_k}$ (4)

如果网络有多个隐藏层，可以继续通过链式法则将误差传播到输入层。对于多层网络，每一层的误差项由上一层的误差项计算而来。使用梯度下降法更新每层的权重和偏置。

$w_{ij}\leftarrow w_{ij}-\eta \frac{\partial L}{\partial w_{ij}}$ (5)

$b_j\leftarrow b_j-\eta \frac{\partial L}{\partial b_j}$ (6)

其中， $\eta$是学习率。

本研究使用的数据集来源于2021年研究生数学竞赛，聚焦于抗胰腺癌候选药物的优化建模。数据集包含Molecular_Descriptor、ERα_activity、ADMET三个EXCEL表格。其中Molecular_Descriptor：该数据集包括1974个化合物的729个分子描述符，每一行代表一个化合物，每一列对应一个不同的分子描述符。SMILES列提供了每个化合物的化学结构信息，其他列则描述了化合物的结构和化学性质。 $ER\alpha \_activity$：该数据集记录了每个化合物的生物活性，每一行对应一个化合物，列包含了该化合物的pIC50值，表示其对 $ER\alpha$的生物活性。ADMET：该数据集包含了与ADMET相关的五个重要属性(吸收、分布、代谢、排泄和毒性)。每个化合物的属性Caco-2渗透性、CYP3A4代谢、hERG心脏毒性等通过0或1的标记表示是否符合良好的性质标准，其中0表示不符合，1表示符合。因Molecular_Descriptor的变量多，这里只展示了6个变量以及pIC50的数据，详情见 表1 。同时ADMET的重要属性分布见 表2 。

续表

在数据处理过程中，首先提取分子描述符(去除SMILES列)与生物活性(pIC50)数据。随后，删除描述符数据中零值占比超90%的特征列，以降低噪声干扰。接着，对描述符数据进行标准化处理，消除特征间的量纲差异，进而确保模型能够有效处理不同尺度的数据。可见 图2 标准化前后分子描述符数据箱线图。

接下来，采用Lasso回归(带5折交叉验证)进行变量选择，评估各分子描述符对生物活性(pIC50)的影响。通过Lasso回归的系数(其绝对值作为特征重要性)对特征进行了排序。为了便于展示，以下展示了前十个重要变量的回归系数路径图(见 图3 )以及对应的分子描述符系数图(见 图4 )。

通过Lasso回归分析，筛选出对生物活性(pIC50)影响最显著的前20个分子描述符，包括nHBAcc (氢键受体数目)、C3SP2 (SP2杂化的碳原子数目)、MLFER_A (分子线性自由能关系A项)、SHCsats (饱和度结构特征)等。这些特征的回归系数表明它们与ERα生物活性之间的关系，正系数C3SP2和MLFER_A表示这些特征与活性呈正相关，负系数nHBAcc和mindO则表示与活性呈负相关。

结合上面的4.1 Lasso回归筛选的20个重要的分子描述符，将数据集划分为训练集和测试集，其中80%的数据用于训练，20%的数据用于测试，并构建了一个包含100棵树的随机森林回归模型，在训练集上进行预测，得到训练集的pIC50预测值，并绘制了测试集样本的真实值与预测值的对比图(见 图5 )。

在模型评估方面，真实值与预测值的对比图(如上图所示)提供了直观的预测结果展示。图中蓝色点代表真实值，橙色星号代表预测值，纵轴表示pIC50值，横轴为样本编号。通过对比可以发现，大部分样本的预测值与真实值较为接近，说明模型在大多数样本上具有较好的预测能力。

这里基于BP神经网络进行化合物的ADMET分类预测，其中BP网络包含一个隐藏层，隐藏层具有50个神经元，输出层则有2个神经元，分别对应于分类任务的两个类别。在训练过程中，使用训练集数据作为输入，采用随机梯度下降(SGD)优化算法对模型进行训练，同时使用交叉熵损失函数计算损失。通过反向传播算法，网络更新参数，并进行1000次迭代训练(见 图6 )。

下 表3 是模型评估的结果：

基于BP神经网络进行ADMET分类预测，模型在不同任务中的表现有所不同。对于CYP3A4任务，模型表现最优，准确率为91.4%，精确度和召回率均较高，F1值为0.84，表明该任务的分类效果较为理想。Caco-2任务的准确率为88.87%，F1值为0.91，显示了较强的综合表现。hERG任务的准确率为85.67%，精确度和召回率相对平衡，F1值为0.84，整体表现较好。MN任务的准确率为87.86%，精确度高达91%，但召回率较低，F1值为0.69，表明该任务的分类效果稍逊，尤其是在识别正类样本方面。总体而言，模型在多数任务中表现优异，但在某些任务上仍有提升空间，特别是在提高召回率和F1值方面。

为了阐明哪些分子描述符能够提高化合物对抑制ERα的生物活性，同时具有更好的ADMET性质，需要计算出pIC50值的中位数，并标记出所有活性值高于中位数的化合物，作为“高活性”化合物。然后，将“高活性”化合物与符合良好ADMET条件的化合物进行筛选，只有同时满足这两个条件的化合物才会被标记为“优质化合物”。接着，对于这些符合条件的优质化合物，计算它们在当前特征值上的25%和75%分位数，以确定该特征值在优质化合物中的分布范围，并进一步计算这些化合物在该特征值上的中位数。最终，通过对比“优质化合物”与其他化合物的特征值分布，绘制对比图(见 图7 )，从而揭示哪些分子描述符在优化药物活性和ADMET性质时起到了关键作用。

通过分析每个分子描述符的最佳范围和中位值，可以得出哪些特征对优质化合物的生物活性和ADMET性质至关重要。图中，C3SP2和MLFER_A的最优范围分别为4.00~4.75和1.01~1.10，表明这些特征在这一范围内能够显著提高化合物活性，并且它们的中位数值分别为4和1.089，显示出这一趋势在大多数优质化合物中的一致性。相反，nHBAcc和mindO的最优范围为0，且中位数值为0，表明较低的氢键受体数目和氧含量有助于化合物的优化。