若函数 $g\left(t\right)$满足：

${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(t\right)\text{d}t}=0$, ${\displaystyle \underset{R}{\int }\frac{{\left|\psi \left(\theta \right)\right|}^2}{\left|\theta \right|}\text{d}\theta }<\infty$

函数 $g\left(t\right)$称作小波基函数或小波母函数(Mother Wavelet)，其中 $\psi \left(\theta \right)$是的傅里叶变换，即

$\psi \left(\theta \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(t\right){\text{e}}^{-j2wt}\text{d}t}$

对小波母函数做尺度上的展缩和时间上的平移，可以得到连续小波函数为：

$g_{m,n}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|m\right|}}g\left(\frac{t-n}{m}\right)$

其中，m代表尺度参数，n代表平移参数。

将定义在任意 $L^2\left(R\right)$空间上的函数 $x\left(t\right)$与连续小波基函数进行卷积运算， $W_x\left(m,n\right)$称为函数 $x\left(t\right)$的小波变换，表达式如下：

$W_x\left(m,n\right)={\displaystyle \underset{R}{\int }x\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{\left|m\right|}}\bar{g}\left(\frac{t-n}{m}\right)\text{d}t}$

若存在两个属于 $L^2\left(R\right)$空间上的时间序列 $x\left(t\right)$、 $y\left(t\right)$，则 $W_x\left(m,n\right)$和 $W_y\left(m,n\right)$代表 $x\left(t\right)$、 $y\left(t\right)$的小波变换，则两者的交叉小波变换为：

$W_{xy}\left(m,n\right)=W_x\left(m,n\right)\overline{W_y}\left(m,n\right)$

两者的小波相干函数为：

$WT{C}^2\left(m,n\right)=\frac{{\left|S\left(S^{-1}{W}_{xy}\left(m,n\right)\right)\right|}^2}{S\left(S^{-1}{\left|W_x\left(m,n\right)\right|}^2\right)\times S\left(S^{-1}{\left|W_y\left(m,n\right)\right|}^2\right)}$

其中S是平滑算子，

$S=S_{scale}\left(S_{time}\left(W_x\left(m,n\right)\right)\right)$

$S_{scale}$沿着小波尺度方向平滑， $S_{time}$沿着时间方向平滑。

小波分解在时域和频域上同时具有良好的局部化性质，能够聚焦信号的任何细节，这使得小波分解在信号处理中能够准确地捕捉到信号的局部特征，可将宏观经济变量与四因子小波分解，分解的5、6、7层波动分量分别对应短、中、长期，分时期建立TVP-VAR模型，并考虑特定时点的外部冲击(新冠疫情)，做脉冲响应分析。流程图见 图1 。

中国国债市场的交易量和托管量主要来自银行间市场，本文选取的国债数据为银行间零息国债收益率数据用于实证分析。因为很多宏观数据的频率都为月度，因此中国国债利率期限结构数据频率也用月度数据，以每个月最后一天的即期收益率作为国债月度数据。数据选取的范围为2012年1月到2024年5月，研究的期限为1、3、6、12、24、36、60、84、120、180、240、360、600 (单位：月)，一共13个期限，即得到149 × 13个样本数据，所有数据均来自Wind数据库。见 图2 。

本文选取的宏观经济指标是投资者最为关注的且基本覆盖了宏观经济主要方面。将经济指标分为5个大类、13个分项指标，这5大类分别是经济类、货币类、资金类、宏观经济景气类和外部因素类。

经济类：选取价格指标包括消费者价格指数(CPI)、制造业采购经理指数(PMI)、工业增加值同比(IP)，这些指标主要表现了经济活动的增长或下滑。

货币类：选取狭义货币供应量(M1)、广义货币供应量(M2)和社会融资规模(TSF)。

资金类：选取银行间质押式七日回购加权利率(R007)、人民币存款准备金率(RRR)反应国债市场资金的变动情况。

宏观景气类：选取宏观经济景气先行指数(MLAI)、宏观经济景气一致指数(MCI)以及宏观经济景气滞后指数(MLEI)来反映未来经济的走势。

外部因素类：选取剩余期限为10年的美国国债利率期限结构(America10)和美元指数(USDX)。

面对如此多的宏观经济指标，借助主成分分析(PCA)，对数据进行降维和可视化，避免多重共线性。根据碎石 图3 ，确定主成分数量为3。

3个主成分来概括宏观经济变量所代表的信息，加载矩阵如下表所示， 表1 中加载矩阵的系数绝对值越大，代表此变量与相应主成分相关性越高。IP与主成分1相关系数较大，相关性较高，IP代表工业生产增长速度，一定程度上可以代表经济增长。M1和M2都代表了货币类宏观经济变量，且相关系数都比较大，但M2涵盖的范围更广，能够反映社会货币需求以及未来通货膨胀压力，因此M2更具代表性。MCI、MLAI和MLEI都是来反映宏观经济形势的，表中MLAI的系数较高，且MLAI作为先行指数，更能够提前揭示经济变化的趋势。因此，IP、M2、MLAI分别对应经济增长、货币政策、经济景气，选择这三个变量来代表中国宏观经济信息。

小波相干性分析能够克服时间序列只能从时间这一单一维度分析的缺点，从时域和频域两个维度进行动态分析。小波相干图横坐标代表时间，时间范围2012.01~2024.05；纵坐标表示频率的变化，上三分之一表示低频区(短期)，中间三分之一表示中频区(中期)，下三分之一表示高频区(长期)。小波相干图中的圆锥曲线表示变换的边缘，因为小波在时间域不可能遍历，所以小波相干性只分析圆锥曲线以内的区域。小波相干图中的颜色深浅变化，代表能量值的变化，箭头的密集程度代表相关性程度的高低，其中箭头的方向代表相位，能够代指先行滞后关系，箭头指向右下或者左上，说明前者先行于后者，即前者对后者有预测能力；箭头指向右上或者左下，说明后者先行于前者，即后者对前者有预测能力；箭头指向水平方向，说明存在双向引导关系。

见 图4 从左到右，依次是水平因子L对IP、M2、MLAI的小波相干图。第一幅图中高频区域箭头较为密集，且箭头方向多为左下，说明IP对L有长期预测能力。第二幅图圆锥曲线内箭头无序，且空白区域较多，表明L与M2相干性不强。第三幅图中频区域箭头较为密集，且箭头方向大多为左上，说明L对MLAI有中期预测能力。

见 图5 从左到右，依次是斜率因子S对IP、M2、MLAI的小波相干图。第一幅图中，中高频区域的箭头较为密集，且箭头方向多为左下和右上，说明IP对S有中长期预测能力；中频区域有少部分右下箭头，说明S对IP有中期预测能力。第二幅图高频区域箭头较为密集，且箭头大多水平向右，S与M2存在双向引导关系。第三幅图中频区域箭头大多水平向右，S与MLAI存在双向引导关系；高频区域的箭头方向大部分为右下，说明S对MLAI有长期预测能力。

见 图6 从左到右，依次是曲率因子C1对IP、M2、MLAI的小波相干图。第一幅图箭头大多集中在中高频区域，但箭头方向大多杂乱，因此不考虑。第二幅图箭头大多集中在中高频区域，中频区域箭头大多向右上，说明M2对C1有预测能力，而高频区域箭头大多水平向右，C1与M2存在双向引导关系。第三幅图箭头大多集中在高频区域，且箭头方向大多向右下，说明C1对MLAI有长期预测能力。

见 图7 从左到右，依次是曲率因子C2对IP、M2、MLAI的小波相干图。第一幅图箭头大多集中在高频区域，且箭头方向为右上，说明IP对C2有长期预测能力。少部分箭头集中在低中频区域，但箭头方向杂乱，因此不考虑。第二幅图箭头大多集中在中高频区域，且方向水平向左。第三幅图，箭头大多集中在高频区域，且箭头方向为左上，说明C2对MLAI有长期预测能力。

综上，工业增加值同比增速IP对动态Svensson中的四因子 $L_t$、 $S_t$、 $C_{t1}$、 $C_{t2}$都有预测能力，说明IP这一宏观经济变量可以预测利率期限结构，经济增长速度会影响利率期限结构的变化趋势。广义货币供应量M2对 $L_t$、 $C_{t2}$两因子的相关性不强，对 $S_t$、 $C_{t1}$两因子都存在长期双向引导关系，即M2可预测利率期限结构，利率期限结构也可预测M2的变化趋势。动态Svensson中的四因子 $L_t$、 $S_t$、 $C_{t1}$、 $C_{t2}$对宏观经济景气先行指数MLAI都有预测能力，利率期限结构的变化也势必会引起宏观经济先行指数的变化，对预测社会经济形势变化大有裨益。

董直庆、王林辉 [19] 根据中国经济周期波动的特点和周期的划分，将小波变换的最大尺度m取为 $2^7=128$个月。小波分解(EWT)是小波变换理论框架下的分解方法，包含两个步骤，首先对信号频谱进行划分，然后利用正交小波滤波器组对信号进行分解。石柱鲜等 [20] 采用二进制频带分解，小波分解第一层尺度2¹，对应频率[0.5, 1]、第二层尺度2²，对应频率[0.25, 0.5]、第三层尺度2³，对应频率[0.125, 0.25]，以此类推。小波分解的前四层是1至16月的分量，包含了序列中随机因素和不规则因素，在此重点分析5至7层分量。将第5、6、7层分量作为短周期、中周期、长周期波动分量。因此，对M2、MLAI和四因子进行小波分解，见 图8 ~ 13 。

1) ADF检验 在分析各指标的相关性之前，需经过平稳性检验，检验为平稳序列，才能进行时间序列建模分析。借助EViews 13.0软件对各组数据进行ADF检验。

见 表2 ，ADF检验结果为9组数据部分为非平稳序列，因此对这部分数据进行一阶差分处理，使10组时间序列数据成为平稳序列，见 表3 。

注：概率P大于0.05不能拒绝原假设，为不平稳序列。

注：概率P大于0.05不能拒绝原假设，为不平稳序列。

2) 确定滞后阶数 借助EViews软件中的似然比(LR)检验法，分别从AIC、SC、HQ、LR、FPE五个方面来考察。表中的“*”表示最佳滞后阶数，带星号最多的滞后阶数，就是我们选择的最佳滞后阶数。见 表4 ，第二行中的“*”最多，因此最佳滞后阶数为2。

3) MCMC参数估计 根据得到的最佳滞后阶数，借助OxMetrics6软件对参数采用MCMC(马氏链-蒙特卡罗)方法进行估计，设定抽样迭代的次数是10,000次。估计结果见 表5 所示：

Geweke统计量主要用于收敛诊断，原假设是模型参数会收敛于后验分布，从统计结果我们可以看到Geweke统计量均大于5%，说明拒绝原假设，马尔科夫链趋于集中。最后的非有效因子最好要小于100，说明TVP-VAR模型的拟合效果好，表中无效因子最大为81.81，也就是连续抽样10,000次能获得 $\frac{81.81}{10000}$个无效样本，因此上述的TVP-VAR模型的模拟效果好。

4)不同时点的脉冲响应分析 在选取的数据范围2012.01~2024.05这段时间内，发生了影响全球经济的重大事件—新冠疫情，对世界各国的经济都造成了不同程度的影响。因此，选取t = 95、t = 133做脉冲响应的两个时间点，时间点1为2019年11月，此时爆发了全球危机——新冠疫情；时间点2为2023年1月，此时新冠疫情结束。

小波分解后的第五层(短期)

见 图14 水平因子L对M2在两个时点的冲击效果相似，刚开始都是负向冲击且冲击强度逐渐变大，在滞后期7时达到最大，之后冲击强度开始逐渐减小，直到变为正向冲击。斜率因子S对在时点1的冲击强度很小，围绕0上下平稳波动；而在时点2，S对M2为正向冲击，且冲击强度不断增大，还有持续增高的趋势。曲率因子C1在两个时点都为正向冲击，时点1的冲击强度更大。曲率因子C2在两个时点刚开始都为正向冲击，冲击强度不断减小，变为负向冲击且冲击强度不断增大。由于疫情这一外部因素的干预，短期利率期限结构对M2的冲击强度逐渐递增，社会总需求增大，通货压力增大。

见 图15 水平因子L对MLAI在两个时点冲击效果相似，都是负向冲击且冲击强度都是先增后减，时点1的冲击强度几乎是从0开始递增。斜率因子S对在时点1的冲击强度很小，围绕0上下平稳波动；而在时点2，S对MLAI为正向冲击，且冲击强度不断增大，还有持续增高的趋势。曲率因子C1在两个时点都为正向冲击，时点2的冲击强度更大，在滞后9期冲击强度达到最大。曲率因子C2在两个时点刚开始都为正向冲击，冲击强度不断减小，变为负向冲击且冲击强度不断增大，在滞后17期出现交汇。时点2疫情结束，短期利率期限结构对MLAI的影响更大，疫情结束各国纷纷采取政策刺激经济，经济形势展现出向好的趋势。

小波分解后的第六层(中期)

见 图16 水平因子L对M2在两个时点冲击效果相似，都为正向冲击，在前滞后3期，两个时点的冲击一模一样，滞后24期时点2的冲击强度为0。斜率因子S对M2为负向冲击，冲击强度先增后减，时点1的冲击强度更大一点。曲率因子C1对M2在滞后1期两时点完全重合，之后开始递增，时点2强度

更大。曲率因子C2对M2在两个时点冲击效果相似，都为正向冲击，在滞后2期达到最大，随后冲击强度逐渐递减。中期利率期限结构对时点2反应更敏感。

见 图17 水平因子L对MLAI在滞后1期两时点完全重合，为正向冲击，时点1的冲击强度更大。斜率因子S对MLAI为负向冲击，冲击强度先增后减，时点1的负向冲击强度更大。曲率因子C1对MLAI为负向冲击，冲击强度先增后减，时点1的负向冲击强度更大。曲率因子C2对MLAI为正向冲击，在滞后1期两时点完全重合，之后冲击强度先增后减，时点2的冲击强度更大。中期利率期限结构对MLAI多为负向冲击，可能对MLAI的增长有一定的抑制。

小波分解后的第七层(长期)

见 图18 水平因子L对M2在两个时点冲击效果相似，都为正向冲击，且冲击强度相差不大，时点2略大。斜率因子S对M2在时点1的冲击强度很小，围绕0上下平稳波动；而在时点2，S对M2为正向冲击，且冲击强度不断增大，还有持续增高的趋势。曲率因子C1对M2在两个时点冲击效果相似，都在滞后1期取得最大值，之后由正向冲击不断减小变为负向冲击。曲率因子C2对M2在两个时点冲击效果几乎一样。长期利率期限结构对M2的冲击相对微弱，且在两个时点的冲击效果相似度高。

见 图19 水平因子L对MLAI在两个时点处都为负向冲击，冲击强度逐渐变小，转为正向冲击，且二者冲击效果相似。斜率因子S对MLAI在时点1的冲击强度很小，围绕0上下平稳波动；而在时点2，S对M2为正向冲击，且冲击强度不断增大，还有持续增高的趋势。曲率因子C2对MLAI为正向冲击，且冲击强度不断增大。曲率因子C2对MLAI在两个时点冲击效果几乎一样。长期利率期限结构对MLAI多为正向冲击但冲击相对微弱，且在两个时点的冲击效果相似度高。

综上，短期利率期限结构对M2和MLAI的刚开始的冲击强度比较大，随后不断减小；在疫情爆发(时点1)处，对M2的负向冲击强度更大，可能是疫情爆发，各国为防止疫情蔓延而采取紧急政策，抑制了利率期限结构对M2的影响，反映了社会通货膨胀的压力。在疫情结束时(时点2)处，对MLAI的正向冲击更大一点，可能是疫情结束，为刺激经济采取宽松的经济政策，使得经济形势展现出向好趋势。而中期利率期限结构在时点2对宏观经济多为负向冲击且反应更为敏感，中期利率期限结构对M2和MLAI的影响类似于短期利率期限结构，疫情这一外部因素的刺激，使得利率期限结构对宏观经济的影响有所变化。长期利率期限结构对M2和MLAI在两时点的冲击效果高度相似，表现了长期利率期限结构在应对外部冲击时表现的强稳定性。