Black-Litterman模型作为现代资产配置理论的重要突破，通过融合有效市场假说与贝叶斯统计方法，构建了兼具理论严谨性与实践指导性的投资组合优化框架。该模型基于以下核心假设：市场存在唯一均衡组合，投资者在风险偏好约束下通过资产再配置形成个性化投资组合。相较于传统均值–方差模型，其创新性体现在两个维度：

首先，模型采用逆向优化技术求解市场均衡收益。根据市场隐含风险溢价原理，市场均衡收益π可通过公式(1)确定

$\pi =\lambda \Sigma w$ (1)

其中，λ表征市场整体风险厌恶系数，Σ为资产收益协方差矩阵，w代表市场组合权重。本文遵循学界惯例，选用均值–方差(MV)优化结果作为基准组合。

其次，模型通过贝叶斯方法融合主客观信息。引入投资者对N类资产的K个主观观点后，修正后的后验收益期望 ${\mu }_{BL}$及其协方差矩阵 ${\Sigma }_{BL}$分别由公式(2) (3)给出：

${\mu }_{BL}={\left[{\left(\tau \Sigma \right)}^{-1}+P^{\prime }{\Omega }^{-1}P\right]}^{-1}\left[{\left(\tau \Sigma \right)}^{-1}\pi +P^{\prime }{\Omega }^{-1}Q\right]$ (2)

${\Sigma }_{BL}=\Sigma +{\left[{\left(\tau \Sigma \right)}^{-1}+P^{\prime }{\Omega }^{-1}P\right]}^{-1}$ (3)

式中参数系统包含：观点矩阵P (K × N)，观点收益向量Q (K × 1)，观点置信矩阵Ω (K × K)，以及调节因子τ。最后利用调整后的收益估计来进行投资组合的优化。最终优化权重由公式(4)确定。该框架的优势在于：既保留了市场均衡收益的基准锚定作用，又通过观点矩阵实现个性化调整，有效缓解了传统模型对输入参数过度敏感的缺陷。

$w_{BL}^{*}={\left(\lambda {\Sigma }_{BL}\right)}^{-1}{\mu }_{BL}$ (4)

设定Black-Litterman模型中的观点收益率是该模型能否成功应用的关键所在。然而，与最初的个人自主设定不同，如今越来越多的研究通过各种回归模型来取代主观观点，从而对Black-Litterman模型进行优化和改进。相比于非线性模型(如GARCH)，ARMA模型具有参数简约、计算高效的特点。在样本量有限的行业收益率预测中，其能够以较低过拟合风险实现稳定预测。GARCH族模型虽能刻画波动聚集性，但其在预期收益率预测方面的优势证据不足，与本研究核心目标(预测收益率均值)匹配度较低。相较于VAR等多元模型，ARMA的单变量建模特性能够独立处理各行业序列，避免行业间伪回归对观点矩阵(P矩阵)的干扰，从而提升Black-Litterman模型的稳健性。因此，本节采用ARMA模型来预测收益率，并将其作为观点收益率的替代变量。

自回归滑动平均(ARMA)模型作为时间序列分析的核心工具，通过联合建模自回归(AR)与移动平均(MA)过程，可有效捕捉金融时序的线性动态特征。其一般形式为：：

$x_i={\phi }_1{x}_{i-1}+{\phi }_2{x}_{i-2}+\cdots +{\phi }_p{x}_{i-p}+{\epsilon }_i$ (5)

其中 $\left\{{\epsilon }_t\right\}$为白噪声， ${\phi }_i$为自回归模型的参数。若用滞后算子L表示，则式(5)可以用滞后算子的p阶多项式来描述。

$\varphi \left(L\right)x_i=\left(1-{\phi }_1{L}_1-{\phi }_2{L}_2-\cdots -{\phi }_p{L}_p\right)x_i={\epsilon }_i$ (6)

其中， $\varphi \left(L\right)=1-{\phi }_1{L}_1-{\phi }_2{L}_2-\cdots -{\phi }_p{L}_p$称为特征多项式或自回归算子。

如果时序 $\left\{X_t\right\}$满足方程：

$x_i={\epsilon }_i-{\delta }_1{\epsilon }_{i-1}-{\delta }_2{\epsilon }_{i-2}-\cdots -{\delta }_q{\epsilon }_{i-q}$ (7)

则称 $\left\{X_t\right\}$为q阶滑动平均过程，简写为MA (q)。其中 $\left\{E_t\right\}$为白噪声， ${\theta }_i$为滑动平均模型的参数。

自回归移动平均过程(ARMA)具有随机性特点，结合了自回归(AR)和移动平均(MA)两个部分。自回归部分的最大阶数用p表示，移动平均部分的最大阶数用q表示。因此，ARMA过程可以表示为ARMA(p,q)。其具体表达式如下：

$x_i={\phi }_1{x}_{i-1}+{\phi }_2{x}_{i-2}+\cdots +{\phi }_p{x}_{i-p}+{\epsilon }_i-{\theta }_1{\epsilon }_{i-1}-{\theta }_2{\epsilon }_{i-2}-\cdots -{\theta }_q{\epsilon }_{i-q}$ (8)

其中 $\left\{{\epsilon }_t\right\}$为白噪声， ${\phi }_i$为自回归模型的参数， ${\theta }_i$为滑动平均模型的参数。

ARMA模型的建立首先需执行ADF单位根检验以判断序列平稳性，针对非平稳序列则进行差分或变换处理，直至其通过平稳性检验，并通过白噪声检验确保序列存在可建模的统计规律，完成平稳性检验与预处理。随后，通过分析样本自相关(ACF)与偏自相关(PACF)函数，结合AIC/BIC信息准则确定最优(p,q)参数组合，并对比不同阶数模型的拟合优度指标，实现模型识别与定阶。接着，采用最大似然法估计φ、θ参数，通过残差诊断检验残差序列的独立性与正态性，运用t检验进行参数显著性检验，验证系数统计显著性，完成参数估计与诊断。最后，通过滚动时间窗口进行样本外预测，并将最优模型的预测值作为BL模型的观点输入Q。

在进行资产配置的实证研究中，样本选择和数据来源是至关重要的环节，它们直接影响到研究结果的可靠性和有效性。本研究的样本选择涵盖了五大行业股票，具体包括金融行业的招商银行(600036)、消费行业的伊利股份(600887)、信息技术行业的立讯精密(002475)、工业行业的中国建筑(601668)以及医药行业的恒瑞医药(600276)。这些股票分别代表了各自行业内的领军企业，具有较强的市场代表性和稳定性。为使得研究结果更具现实意义和应用价值，本文选取了2023年1月3日至2024年12月31日的日度数据作为研究样本区间，数据均来自于锐思数据库，五大行业股票日收益率时序图如 图1 所示。文章将通过使用Python建立实证模型对不同资产类别的深入分析，构建一个多元化的投资组合。

(1) 无风险利率

通常，无风险利率是基于国债的收益率来确定的，具体选择哪个期限的国债收益率取决于研究的具体需求。在本研究中，我们选定了2023年12月31日作为评估基准日，采用了当日五年期中债国债的收益率2.56%作为无风险收益率 $r_f$。

(2) 风险厌恶系数

根据沪深300指数的历史收益率计算得到期望收益率 $E\left(r\right)=9.69\%$和方差 ${\sigma }^2=5.39\%$和确定的无风险收益率 $r_f=2.56\%$，根据公式 $\gamma =\frac{E\left(r\right)-r_f}{{\sigma }^2}$，计算得到模型的 $\gamma =1.323$。

(3) 协方差矩阵

各资产间的协方差矩阵根据历史数据得到 表1 所示：

只有时间序列的数据平稳，模型建立的关系才能用来对未来做出预测。因此，为了保证ARMA模型的预测准确性首先需要对历史日收益率序列进行单位根检验。单位根检验的目的是确定一个时间序列是否具有单位根，即是否是非平稳的。如果一个时间序列具有单位根，那么它就是非平稳的，意味着它的趋势和方差会随着时间的推移而变化，这将违反了许多经典统计模型的基本假设。ADF检验是常用的平稳性检验方法。五类资产收益率时间序列的单位根检验结果如下 表2 所示，每类资产对应的检验值P值均趋于0，拒绝原假设，代表序列平稳，可以继续进行。

Table 2. Stationarity test

表2. 平稳性检验

从上表可以看出各资产的ADF检验值均小于1%时的临界值，远小于显著性水平P值均趋近于0，拒绝原假设，因此收益率时间序列都是平稳的。

在进行ARMA模型预测时，时间序列中各节点间的相关性程度可以通过自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)进行检验。这两个统计量是时间序列分析中非常重要的工具，能够帮助我们识别数据中的相关性结构。(1) 自相关系数(AC)：自相关系数用于衡量时间序列中同一变量在不同时间点之间的相关性。具体而言，它反映了当前值与滞后值之间的线性关系。通过计算不同滞后阶数的自相关系数，我们可以识别出时间序列中可能存在的周期性模式或趋势。(2) 偏自相关系数(PAC)：偏自相关系数则用于测量当前值与滞后k期值之间的纯粹相关性，排除了中间滞后项的影响。换句话说，PAC能够揭示在控制了其他滞后项的情况下，当前值与特定滞后值之间的直接关系，这对于确定ARMA模型的阶数非常重要。在进行单位根平稳性检验之后，我们将继续对五支股票的收益率时间序列进行AC和PAC检验。这一过程将帮助我们更好地理解各类资产收益率之间的相关性，并为后续的ARMA模型构建提供必要的依据。通过分析AC和PAC图，我们可以确定合适的自回归和移动平均项的阶数，从而优化模型的预测能力。为节省文章篇幅，本文仅呈现伊利股份的自相关与偏相关性表现，具体如 图2 所示。

自回归滑动平均模型(ARMA模型)是时间序列分析中常用的模型之一，它结合了自回归(AR)模型和移动平均(MA)模型的特点，能够捕捉时间序列数据中的自相关性和滑动平均特性。然而，在实际应用中，确定ARMA模型的最佳阶数(即p和q的值)是一个关键问题，因为模型的阶数直接影响模型的拟合效果和预测准确性。自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)是确定ARMA模型阶数的常用方法。通过观察ACF和PACF的图形，可以初步判断AR和MA部分的阶数。但是，这些图形方法往往只能提供一个大致的阶数范围，而不能精确确定最佳的p和q值。此外，高阶的自相关和偏自相关系数可能导致模型阶数过高，从而增加模型的复杂性。

为了解决这个问题，赤池信息准则(Akaike Information Criterion，简称AIC)提供了一个量化的方法来确定ARMA模型的最佳阶数。AIC准则是基于似然函数的，它考虑了模型的拟合优度和模型复杂度之间的权衡。具体来说，AIC准则通过最小化以下公式来评估模型：

$\text{AIC}=-21n\left(极大似然函数值\right)+{\displaystyle \sum \left(未知参量个数\right)}$

似然函数值反映了模型对数据的拟合程度，似然值越大，表示模型对数据的拟合越好。然而，随着模型参数数量的增加，似然函数值通常会增加，但这并不意味着模型的预测能力也相应提高。因为更多的参数可能会导致模型过拟合，使得模型在训练数据上表现良好，但在新的数据上表现不佳。这就是为什么需要在模型的拟合效果和复杂度之间寻找一个平衡。

AIC准则通过惩罚过多的参数来避免过拟合。在实际应用中，我们会计算不同阶数的ARMA模型的AIC值，并选择AIC值最小的模型作为最佳模型。这是因为AIC值最小的模型在拟合效果和模型复杂度之间取得了最佳平衡。

图2. 自相关与偏相关性表现(以伊利股份为例)

通过前面的稳定性检验和自相关性检验以及模型定价等步骤，确定模型的设定是合理的，可以用于预测各类资产的观点收益率，模型最终的预测值如 表3 所示。

基于模型的预测结果，可以看出投资者对伊利股份和招商银行的预期收益率比较高，立讯精密和恒瑞医药的预期收益率较低。也就是说，如果完全按照投资者的主观观点去投资的话，伊利股份和招商银行的配置比例相应偏高，立讯精密和恒瑞医药的权重比例相对较小。

模型实证得到的Black-Litterman模型资产最优配置权重、先验和后验收益的对比及Black-Litterman模型最优配置权重与随机配置的绩效比较结果如下：

从实证结果可以看出：

(1) 如 表4 所示，在所构建的投资组合中，金融行业(招商银行)和消费行业(伊利股份)的权重较高，分别为36.06%和39.83%。这主要是因为这两个行业在市场中具有较强的稳定性和盈利能力，能够为投资组合提供较为稳定的收益。相比之下，信息技术行业(立讯精密)的权重较低，仅为1.30%，这与其所在行业的高波动性和公司自身的经营风险有关。工业行业(中国建筑)的权重为14.00%，作为基础设施建设的重要参与者，其在投资组合中占据了一定的比例，但受行业竞争激烈和利润率相对较低的影响，权重未达到最高。医药行业(恒瑞医药)的权重为8.81%，尽管具有较高的成长潜力，但受政策影响较大，市场竞争也较为激烈，因此其权重相对适中。总体来看，这种配置比例旨在平衡风险与收益，实现资产的稳健增值。

(2) 如 表5 所示，改进的Black-Litterman模型在风险控制和收益提升方面均表现出色。具体来看，金融行业(招商银行)和信息技术行业(立讯精密)的后验收益分别为5.34和9.74，较先验收益分别提高了0.0267和0.137，显示出显著的超额收益。工业行业(中国建筑)的后验收益为8.44，较先验收益提高了0.4722，表明该行业在市场波动中具有较强的抗风险能力。医药行业(恒瑞医药)的后验收益为4.72，较先验收益提高了0.235，显示出一定的成长潜力。相比之下，消费行业(伊利股份)的后验收益为2.97，较先验收益略有下降，这可能与市场波动和行业竞争有关。但总的来看，资产配置的收益得到了一定程度的提升。

(3) 如 图3 所示，与随机配置相比，改进的Black-Litterman模型得到的最优投资组合累计收益率在整个期间都有明显提高。这种策略不仅在市场波动时能够保持相对稳定的收益，而且在长期投资中能够有效地平衡风险和收益。例如，金融行业和消费行业在市场波动时表现出较强的稳定性，而信息技术行业和工业行业在市场复苏时则展现出较高的增长潜力。改进的Black-Litterman模型的这种特性使其在不同的市场环境下都能保持相对稳健的表现，这对于追求长期稳定回报的投资者来说尤为重要。