定义状态向量x，状态向量包含无人机在空间中的位置、速度和姿态角：

$x=\left[\begin{array}{ccccccccc}{p}_x& p_y& p_z& v_x& v_y& v_z& \varphi & \theta & \psi \end{array}\right]$

式中， $p_x,p_y,p_z$是无人机在三维空间中的位置坐标， $v_x,v_y,v_z$是无人机在三个方向上的速度分量， $\varphi ,\theta ,\psi$ 是无人机的姿态角(分别为滚转角、俯仰角和偏航角)。

控制输入向量u，控制输入向量包含无人机的推力和扭矩控制：

$u=\left[\begin{array}{cccccc}{F}_x& F_y& F_z& {\tau }_x& {\tau }_y& {\tau }_z\end{array}\right]$

式中， $F_x,F_y,F_z$它是无人机在三个方向上的控制， ${\tau }_x,{\tau }_y,{\tau }_z$这是关于无人机三个轴的控制力矩。

空气动力学模型，空气中的动力学模型基于牛顿第二定律和欧拉方程，表示为：

$\stackrel{\dot{}}{x}=f_{\text{air}}\left(x,u\right)$

其中， $f_{\text{air}}\left(x,u\right)$是一个非线性函数，用于描述无人机在空中的运动。通常，空中动力学模型会考虑空气的阻力和无人机的机动能力。

水下动力学模型，水下动力学模型需要考虑水阻力、浮力等因素。模型为：

$\stackrel{\dot{}}{x}=f_{\text{water}}\left(x,u\right)$

其中， $f_{\text{water}}\left(x,u\right)$是一个描述无人机在水中运动的功能，通常包括水流对无人机的影响、浮力和水阻力等。

完整的空海无人机系统模型如下：

$\stackrel{\dot{}}{x}=f_{\sigma }\left(x,u\right),$

$u=g\left(x\right)$

式中， $f_{\sigma }\left(x,u\right)$是空中或水下的动态模型，由开关逻辑决定。控制策略 $g\left(x\right)$决定了如何选择控制输入。模型为无人机在不同介质中的动态行为提供了一个基本框架，可以根据具体的应用场景进一步提炼和优化。

为了让无人机在空中和水中自由切换，定义了一个切换逻辑 $\sigma$

$\sigma =\{\begin{array}{ll}\text{air},\hfill & \text{if}{p}_z>0\hfill \\ \text{water},\hfill & \text{if}{p}_z\le 0\hfill \end{array}$

当 $p_z>0$时，表示无人机在空中，动力学模型为 $f_{\text{air}}\left(x,u\right)$。

当 $p_z\le 0$时，表示无人机在水中，动力学模型为 $f_{\text{water}}\left(x,u\right)$。

通过切换逻辑，动态模型可以根据无人机的位置(尤其是垂直坐标 $p_z$)选择合适的动态模型，从而实现空中和海上的自适应切换。

控制策略的目的是通过适当的控制输入u优化无人机在不同介质中的性能。有两种常见的控制方法可以使用LQR (线性次级稳压器)控制，通过求解带有控制输入的Riccati方程来推导出反馈增益矩阵 $K_{LQR}$

$u=-K_{LQR}x$

这种方法适用于状态空间模型已经线性化并通过最小化性能指标(如能耗)来优化控制的情况。

滑模控制(SMC)是一种稳健的控制方法，通常适用于具有不确定性和扰动的系统。控制输入由两部分组成：

$u=u_{eq}+u_{sw}$

式中， $u_{eq}$是等效控制(确保系统满足动态模型)， $u_{sw}$是切换控件。滑模控制具有良好的鲁棒性，可以应对模型不确定性和外部干扰。

在海洋环境中，波浪的动态变化对无人机的入水过程具有显著影响。当空海无人机在海面30~40 cm处时，系统起动基于波浪预测的波峰入水策略。为了确保无人机能够在接近波浪顶部时实现零速度并立即停止螺旋桨，进而随着波浪顶部下降到水中，系统采用了卡尔曼滤波器对波形数据进行预测。通过这一预测，系统能够精确地判断波浪的状态，并根据波浪的动态特性调整无人机的入水策略。基于波浪预测的波峰入水策略如 图3 所示。

具体而言，系统首先利用卡尔曼滤波器对波形数据进行实时处理，预测出波浪的波状态向量和状态转换函数。接着，系统根据这些预测结果，采用滑模控制方法应对外部扰动和环境变化，使无人机能够在接近波浪顶部时实现零速度。随后，模型预测控制(MPC)进一步优化控制输入，以确保无人机在水面和空中具有最佳性能，并能适应不同的环境变化。

基于检测到的波形数据，使用卡尔曼滤波器进行波形预测

${\hat{x}}_{k|k-1}=f\left({\hat{x}}_{k-1},u_{k-1}\right)$

$P_{k|k-1}=F_k{P}_{k-1|k-1}{F}_k^{\text{T}}+Q$

$K_k=P_{k|k-1}{H}_k^{\text{T}}{\left(H_k{P}_{k|k-1}{H}_k^{\text{T}}+R\right)}^{-1}$

其中， ${\hat{x}}_{k|k-1}$是预测的波状态向量和状态转换函数。 $P_{k|k-1}$是预测的状态协方差矩阵， $F_k$是状态转换的雅可比矩阵，Q是过程噪声协方差。 $K_k$是卡尔曼增益，用于校正波预测状态，是观察到的噪声的协方差矩阵。

然后，针对无人机在复杂动态环境下的非线性特性，采用滑模控制方法应对外部扰动和环境变化；

$s\left(t\right)=\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)+\lambda e\left(t\right)$

其中， $e\left(t\right)$是误差， $\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)$是误差的导数， $\lambda$是正数，用于调整滑动面的形状

$u\left(t\right)=u_{eq}+u_{sw}=\frac{{\stackrel{\dot{}}{x}}_d-f\left(x\right)}{b\left(x\right)}-K_s\text{sign}\left(s\left(t\right)\right)$

其中， $u_{eq}$是等效控制，用于使系统保持在滑动面上， $u_{sw}$是开关控制，用于驱动系统进入滑动面， $K_s$是开关增益， $\text{sign}\left(s\left(t\right)\right)$是符号函数，它表示滑动形式的方向。(经过以上步骤后，无人机可以在接近波浪顶部的地方实现零速度，立即停止螺旋桨，并随着波浪顶部下降到水中，这样入水的稳定性大大增强)。

随后，MPC预测未来状态并优化控制输入，以确保无人机在水面和空中具有最佳性能，并能适应不同的环境变化，总成本J

$J=\underset{k=0}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}\left(x_k^{\text{T}}Q{x}_k+u_k^{\text{T}}R{u}_k\right)$

其中，QR是权重矩阵，分别对应于状态和控制输入，功能旨在最大限度地减少未来状态的偏差并控制能耗，以确保无人机的性能处于最佳状态。

为了详细描述污水控制执行的数学模型，可以将整个过程分解为几个关键步骤，并为每个步骤提供数学表达式。在这里，假设无人机已经具备基本的飞行和水下推进能力，现在它需要设计一个出水策略，使其能够从水平稳过渡到空中。

无人机通过传感器获取环境信息，构成环境信息向量E

$E=\left[\begin{array}{c}{T}_w\\ v_w\\ v_f\\ h_w\end{array}\right]$

其中， $T_w$为水温， $v_w$为水流的速度， $v_f$为风速， $h_w$为波高。

根据这些环境信息，使用模式识别算法来确定当前环境是否适合出水。模式识别的结果来自环境信息向量

$S=f\left(E\right)$

其中 $f(\cdot )$是模式识别函数。

出水条件的判断，根据模式识别结果，可以将水与预设阈值进行比较，以确定是否可以出水

if $S>S_{\text{threshold}}$ then出水

如果超过阈值S，则出水。

出水参数的测定，如果判断为出水，人形智能控制器根据环境信息确定水的航向、姿态和速度。这些参数构成了向量

$P=\left[\begin{array}{c}{\varphi }_{exit}\\ {\theta }_{exit}\\ {\psi }_{exit}\\ v_{exit}\end{array}\right]$

其中， ${\varphi }_{exit}$：横滚角， ${\theta }_{exit}$：俯仰角， ${\psi }_{exit}$：偏航角， $v_{exit}$：出水速度

根据确定的出水参数，控制无人机的姿态、航向和速度。控制输入向量为

$u=\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\\ {\tau }_x\\ {\tau }_y\\ {\tau }_z\end{array}\right]$

其中， $F_x,F_y,F_z$：强制控制输入， ${\tau }_x,{\tau }_y,{\tau }_z$：扭矩控制输入。

入水过程采用自抗扰控制(ADRC)控制器进行控制，在ADRC设计中，该控制策略由两部分组成：跟踪微分器(TD)和扩展状态观察器(ESO)。TD用于平滑参考轨迹，通过生成平滑的参考轨迹来优化控制性能。ESO则用于估计系统的状态和扰动，从而对系统的不确定性进行补偿。这种设计能够有效应对复杂动态环境中的非线性特性，确保无人机在入水过程中的稳定性和可靠性。跟TD用于平滑参考轨迹，通过跟踪微分器生成平滑的参考轨迹

$r_d\left(t\right)=\text{TD}\left(r\left(t\right),h\right)$

其中，h是平滑因子。

扩展状态观察器(ESO)用于估计系统的状态和扰动。系统的状态可以通过扩展状态观察器来估计

$\hat{x}=\text{ESO}\left(x,u,r_d\left(t\right)\right)$

根据ADRC控制器的输出，设计了控制律。控制律由基本控制律和补偿控制律组成

$u=u_0+u_c$

其中， $u_0$是控制的基本规律， $u_c$是补偿控制律。

该模型结合了环境感知、模式识别、动态控制和自动抗扰控制方法，为无人机的水流过程提供了全面的控制策略。通过精确的环境监测和控制算法，确保无人机在不同环境条件下能够安全稳定地执行水上任务。该控制策略可以有效提高无人机在复杂环境下的适应性和控制精度。

自适应动态表面控制方法(ADSC)方法用于实现海空两栖无人机平稳的进水和出水控制。海空两栖无人机在跨域过程中具有未知的时变参数，这使得系统的动力学可以被视为非线性时变系统。系统的状态方程可以表示为：

$\stackrel{\dot{}}{x}=f\left(t,x\right)+g\left(t,x\right)u$

其中，x是状态向量，u是控制输入， $f\left(t,x\right)$和 $g\left(t,x\right)$是依赖于时间和状态的非线性函数。

采用ADSC方法确保海空两栖无人机在跨域过程中能够有效跟踪目标高度和姿态。设计过程分为虚拟控制量设计和实控律设计两个部分。

虚拟控制量设计。定义跟踪误差面，将虚拟控制量设计为：

$S_1=x_1-x_1^d$

$x_2^{*}=-c_1{S}_1+x_1^d$

其中， $c_1$是一个可调节控制参数，它表示误差的校正程度， $c_1>0$。

采用自适应规律调整控制参数，以适应系统的动态变化。自适应定律的核心思想是调整控制参数以补偿系统中的不确定性。实控律设计。结合虚控量和自适应律，设计实控律，实现对系统的稳定跟踪，保证海空两栖无人机在复杂环境下的稳定运行。

海空两栖无人机在不同环境中的运动会受到不同力的影响，例如风、浪和其他干扰载荷。该文将这些干扰源视为时间变化未知的广义干扰，包含在海空两栖无人机动力学模型中。通过多刚体动力学分析，可以更准确地描述海空两栖无人机在海面、空气中和跨介质过渡过程中的力。通过将ADSC方法与多刚体动力学模型相结合，可以有效优化海空两栖无人机在跨介质过渡过程中的稳定性和性能。具体来说，控制系统可确保进出时的连续性并缩短过渡时间，同时利用流体曲线设计平稳快速的过渡策略。