国内学者周正华 [12] 在用国内外18次地震的436条竖向地震动加速度记录作为数据基础进行统计分析，对谱型的直接研究结果表明：竖向地震动的反应谱受到场地条件的影响很大，并且与地震强度是有相互关联的，是周期的函数；其后在与水平谱进行对比发现在中高频竖向地震动反应谱小于水平向反应谱，长周期部分竖向反应谱接近水平向反应谱。

齐娟、罗开海 [13] 依据171次地震3462组分量的地震记录，从定性的角度分析了竖向地震动反应谱的曲线特征：竖向地震动反应谱曲线形状也水平地震动曲线相似，不同于竖向曲线更贴近于β轴，下降段衰减指数较小；与国外一些学者类似的结论是震级震中距和地面运动的强度对竖向曲线影响较大。

国外学者Bozorgnia, Yousef和Niazi, Maryam [14] 在对美国California的Loma Prieta地震竖向地震动反应谱进行研究发现反应谱的形状变化既与距离有关同时与震级也有关联性。

为了更进一步对竖向加速度反应谱进行研究，并且以为工程结构设计反应谱的制定提供理论依据为目的，在上文统计了各个分组的竖向地震动反应谱基础上，学者们使用与研究水平反应谱相类似的方法对竖向地震动反应谱进行标定拟合，以确定出竖向地震动设计反应谱。通常竖向地震反应谱标准曲线涉及到的参数有四个：平台值C、特征周期 $T_g$、衰减指数 $\gamma$。以下是一些国内外学者对这些特征参数的详细研究结论。

高跃春和林淋 [15] 以平均竖向加速度反应谱为基础，对不同的场地、不同强度的竖向地震动反应谱，用最小二乘法对不同分组的统计数据的平均竖向加速度进行拟合：

$Q=\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{\left(S_i-{\bar{S}}_i\right)}^2$

其中 ${\bar{S}}_i$为统计平均竖向加速度反应谱值， $S_i$为拟合谱值。令

$S_i=\{\begin{array}{l}C,0\le T_i<T_g\\ C{\left(\frac{T_g}{T_i}\right)}^{\gamma },T_g\le T_i<6\end{array}$

求C、 $\gamma$和 $T_g$，使Q取最小值，既满足

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial Q}{\partial C}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \gamma }=0\\ \frac{\partial Q}{\partial T_g}=0\end{array}$

式中：C为竖向设计反应谱平台值， $\gamma$为衰减指数， $T_g$为特征值。

得到了竖向设计反应谱的平台值C受场地条件和地震动的强度影响较大的结论。

赵培培 [16] 在对川滇甘陕地区不同场地类别、不同震级和不同震中距地震记录进行统计分析，取II类场地和同震中距的142条记录进行研究，给出了放大系数谱平台值与震级的拟合公式。

${\beta }_{max}=0.39M+0.25$

式中， ${\beta }_{max}$是放大系数谱平台值，M是震级。

得出结果表示，相同场地类比而下，无论近场远场，规准反应谱的平台值有随震级的增大而增大的趋势。

对汶川主震(M8.0) II类场地的放大系数谱平台值随震中距R分布的离散点图进行拟合：

${\beta }_{max}=-0.00124R+2.96$

在加速反应谱平台中，平台值随着场地类别的提高而增大，随震中距增大而减小，随震级增大而增大。

赵培培 [17] 对汶川主震(M8.0)分别进行震级、震源距和场地条件的分类统计分析，得到II类场地的特征周期 $T_g$与震级M的拟合方程：

$T_g=0.035M+0.076$

特征周期 $T_g$与震中距R的拟合方程：

$T_g=0.0028R-0.048$

得到以下结论：

1) 随着场地类别的提高，无论是在大震、小震还是近场远场，特征周期都呈现增大的趋势；

2) 随着震级的增大在同一场地条件下的特征周期也随之增大；

3) 特征周期随震中距增大而增大。

Elnasshai、Elgamal等根据不同的资料提出在各种阻尼下的近场地震设计反应谱 [18] [19] 。Elgamal等建议由Elnashai等提出的参考设计谱可以用于阻尼为2%的近场地震设计，建议远场地震设计反应谱的 $T_0$、 $T_g$分别为0.05 s和0.20 s。

周正华 [20] 以国内外18次地震的436条竖向地震动加速度记录作为基础，对竖向地震动的反应谱特性进行了统计和分析，采用最小二乘拟合法分别对统计分组的平均竖向加速度反应谱进行拟合，拟合结果表明：竖向设计反应谱的衰减指数γ均为0.8不受场地类别和震动强度的影响。

齐娟和罗开海 [13] 根据3462组三分量地震记录，对竖向地震动记录进行分组分析，得出对衰减指数的结果：竖向反应谱衰减指数是小于水平方向的标准反应的。因此，采用和水平反应谱同样的衰减指数是不合理的，应根据将来更多的强震记录进行统计回归分析，得到合理可供设计使用的衰减指数参数。

李恒、秦小军 [7] 采用全球范围内的128次地震的3235组三分量强震记录，通过先拟合经验衰减公式，然后计算谱值比的方法，减少拟合经验衰减模型的误差。研究发现震级对谱比的影响在长周期处影响明显，表现出震级越大，谱比比值越大的规律，在短周期段变化尚不明显。

贾俊峰、欧进萍 [6] 在研究近断层竖向与水平向地震动反应谱比值特征中。研究了竖向与水平向加速度谱谱值比与震级的关系，发现短周期处逆断层进场处震级的影响较大，大于一般抗震规范所规定的2/3比值；在中长周期，逆断层较大震级时反应谱比值也会大于2/3。

耿淑伟、陶夏新 [21] 利用水平向444条，竖直向228条的实际强震记录，统计在不同震级下的加速度反应谱竖向与水平向分量(V/H)的平均值，发现震中距对V/H的比值影响很大，在近场处，竖向反应谱几乎等同于水平向反应谱；李恒分析在不同震级多因素的影响下，得出在大震中，长周期段的V/H随震中距增大而减小；中强震中，V/H在近场时，震中距越大，V/H比值越大；远场时，V/H随震中距增大而减小。

Bozorgnia和Niazi [22] 在对美国北岭地震进行研究时，其研究结果发现：北岭地震的竖向与水平向谱值比是周期和震源距离的函数，并且在近场处超过2/3。

周锡元、徐平 [23] 在对1999年台湾地区集集地震近断层的竖向和水平反应谱比值的研究中，得到在长周期部分(>0.4 s)，硬土上的谱比值V/H略大于软土上的相应比值的结论。

Y. Bozorgnia等人 [24] 在1999年基于36次地震的443条近场加速度记录，对V/H比进行了一系列的研究，发现：在短短周期结构中V/H最大值在近场的软土场地中出现，甚至在0.1 s处超过了1.5，可能对结构破坏造成大的影响；在长周期结构中，最大值则出现在硬土基岩场地，最大为0.7。以上研究结果认为美国UBC-97规范对于短周期结构在软土场地上的规定并不安全，反之长周期段硬土场地则过于保守。

耿淑伟等 [21] 2004年以美国西部254个有钻孔资料太的强震记录为基础，统计出444条水平向和228条竖向记录，对地震动加速度反应谱的竖向和水平向反应谱比值进行了研究，发现结构的周期长短对谱值比是有一定影响的。短周期结构时，有一个1.0的峰值，且在0.2~1 s处有一个0.4的低谷；长周期结构时，谱值比趋于稳定，趋近于0.6，具体研究结果如 图3 所示：

Campbell和Bozorgnia [25] 对周期处于0.04到3 s之间的竖向和水平向加速度反应谱比值进行了研究，结果表明，短周期内(<0.1 s)竖向与水平向加速度反应谱比值有时会超过1，甚至最高达到1.8，高于65%数倍，而在周期0.3~1 s内，比值则低于50%很多。

周正华 [26] 等人研究发现震级对峰值比有明显影响；赵培培在设计反应谱拟合方法研究及特征参数统计中对震级与竖向反应谱峰值比的关系进行了统计分析，综合来看可得结论：① 随着场地类别的提高，小震峰值比表达，大震峰值比较小；② 峰值比随震级增大而增大，变化平缓。

韩建平、周伟 [27] 对国家强震动台网中心收集发布的2008年的汶川大地震在四川、山西、甘肃分布的94个站台所记录到的各个分量加速度进行了统计拟合。震中距对竖向与水平峰值加速度由一定影响。在震源附近，竖向地震动峰值加速度较大，但震中距越大，其竖向与水平向的地震动加速度峰值比衰减的也越快。

周正华、周雍年 [26] 在强震近场加速度峰值比和反应谱统计分析一文中，给出了近场加速度峰值比和震中距的关系。呈现出随着震中距的增大，峰值比逐渐减小的关系。

周正华、周雍年 [20] 在收集1999年台湾地区集集地震的竖向与水平向加速度反应谱后，得出反应谱比与场地的软硬程度有关，且呈现出周期性。短周期处，场地越软，V/H越小；长周期处，场地越硬，V/H越大。

耿淑伟 [21] 同样发现V/H与场地条件有十分密切的联系，并给出了精确的数值，I类场地条件下，在短周期时比值峰值为0.7，II、III类场地条件下V/H峰值增大到1.1；在长周期时，随着场地由I、II、III分类下，V/H呈现由大到小的趋势变化。

谢俊举、温增平 [28] 在对I汶川地震的近断层竖向和水平地震动特征进行了分析。研究表明地震动的加速度峰值有明显的上盘效应，距地表破裂的3~60 km范围里，龙门山附近的断层上盘侧竖向和水平加速度峰值比正常场地的衰减模型平均值增大30%~40%。上盘处的加速度峰值整体大于下盘，在竖向地震动中表现尤为显著，部分地震动加速度峰值比可达到1.4。

周正华、周雍年 [23] 统计出1999年台湾地区集集地震结果表示：V/H与震源距离相关，呈现出随着震源距离的增大而减小的趋势。

贾俊峰、欧进萍 [6] 研究了世界范围内的M5.4~7.6之间的地震动记录，分析出断层距在0~40 km范围内竖向与水平向峰值加速度比值大于一般抗震规范设计的比值0.65，其结果为进场区域的结构抗震设计和分析地震动危险性提供了参考。

Bozorgnia等 [29] 对断层距与谱值比之间关系的研究结果与其他一些国外学者 [30] - [32] 研究结果十分类似(Niazi et al., 1992; Borzornia, 1993; Borzorgnia et al., 2004)，基本结论是，在段周期处，谱值比的曲线随着断层距的减小而增大，不同断层的峰值出现在0.05~0.1 s之间， 图4 是1994年对Northridge地震的一个研究结果。

影响地震动的因素众多且十分复杂，且竖向地震动的记录数量有限所以再采用传统的分类方法对竖

向反应谱进行研究所得到的抗震设计谱在不同国家、时期有了很大的差别，并不具有良好的统一性。因此，另辟蹊径的规准化方法处理反应谱能够让反应谱的自身具有规律性。由此产生的统一抗震设计谱理论也是现在竖向反应谱理论研究的一个方向。

竖向地震动反应谱的规准化可以分为规准化和双规准化。规准反应谱就是讲地震动加速度反应谱的谱值除以对应的地震动峰值的比值，将其纵坐标转化成无量纲的放大系数消除不同地震强度给谱值带来的影响；双规准反应谱则是更进一步用规准反应谱的峰值对应周期去除相应反应谱的横坐标，即自规准反应谱的基础上将横坐标无量纲化，其目的是为消除不同地震动的卓越周期对反应谱形状的影响。

徐龙军、谢礼立 [33] 以33此次地震动记录为基础，在考虑了震级、距离和场地条件的影响下，分别对竖向地震动的加速度规准化和双规准化反应谱进行研究。从平均意义上得出结论：震中距、震级和场地条件对竖向规准反应谱的影响较大，而在双规准反应谱，场地条件和震中距对其影响较小，震级对双规准反应谱的长周期段影响较大，且有随震级增大而减小的趋势。

经过对国内外研究的综合归纳总结，对竖向设计反应谱的基本处理技术路线包括了从竖向反应谱特征研究，关系式的确定，到最后的数据修正等等步骤，最终路线如 图5 所示。

为了反映结构在地震时受到的竖向作用，更合理地确定竖向地震作用，最好的方法就是对竖向反应谱的特征进行直接研究。而实际的强震记录直接研究则会十分复杂，因此，学者们利用强震记录将其平滑标准化为较为简单的抗震设计谱形式，此过程就称之为反应谱的标定。

1978年颁布的抗震设计规范中，使用了我国学者周锡元 [34] 和刘恢先 [35] 先提出的用场地类别和地面峰值加速度对设计反应谱进行标定。该方法在对比单一参数地面峰值加速度对绝对加速度反应谱进行标定的方法，补足了其不能反映出震级、距离和场地条件等因素的影响。从而可以深入研究地震环境和场地条件等因素对竖向反应谱的影响。

1969年Newmark等 [36] 提出了用地面峰值加速度a、峰值位移d和峰值速度v三个参数对抗震设计反应谱中的高频、中频和低频分别标定。这种方法称之为Newmark-Hall标定法。使用这种方法确定地震设计反应谱的关键是合理确定其中的标定常数：低频段放大系数 $K_d$、中频段放大系数 $K_v$和较高频放大系数 $K_a$。

最小二乘法作为如今地震无论竖向或是水平向反应谱的最普遍的标定方法，是一种具有十分明确数学意义，且易于实现的标定方法。

2008年，由于汶川地震的发生，获得了大量的强震记录，我国学者郭晓云 [37] 通过对汶川大地震不同场地类型的典型反应谱的标定，提出了基于坐标变换的最小二乘法分段拟合标定法，此法简单易行，将多参数拟合的问题转化成线性拟合问题，数学意义十分明确。与实际强震的反应谱十分接近，是一种合理的反应谱标定方法。通常用最小二乘拟合法对统计分组的平均竖向加速度进行拟合，令：

$Q={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\left(S_i-{\bar{S}}_i\right)}^2}$ (1)

其中 ${\bar{S}}_i$为平均竖向加速度反应谱值， $S_i$是为拟合数值，令

$S_i=\{\begin{array}{l}C0\le T_i<T_g\\ C{\left[\frac{T_g}{T_i}\right]}^{\gamma }{T}_g\le T_i<6\end{array}$ (2)

求C、 $T_g$和 $\gamma$，使Q为最小值，即满足方程的解：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial Q}{\partial C}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \gamma }=0\\ \frac{\partial Q}{\partial T_g}=0\end{array}$ (3)

即由上述公式可确定反应谱的平台值C，周期 $T_g$和衰减指数 $\gamma$。

符圣聪 [38] 等则假设下降段指数为随机变量，依据数学模型，采用最小二乘法和方差最小原则确定出设计谱的特征参数和特征周期。给出下降段具有明确累积概率的设计加速度谱表达式，提出一种只采用震级和场地类别来决定设计加速度反应谱的简化方法。

多参数拟合法包括基于遗传算法的多参数拟合法和基于标准差最小的多参数拟合法。夏江等学者 [39] 利用遗传算法标定反应谱。遗传算法是一种解决非线性规划问题十分有前景的方法，用地面峰值加速度(PGA)、峰值速度(PGV)、峰值位移(PGD)三个参数去标定设计反应谱的模型。遗传算法在全局优化、非线性优化、多参数优化等方面表现出一些优势：

刘红帅 [40] 则提出基于小生境遗传算法的标定，将遗传算法进行了改进，将标定问题看成了多个设计反应谱特征参数的优化问题，对遗传算法进行了优化。

综上所述，我国通常使用的反应谱标定方法有Newmark-Hall标定法、双参数标定法、基于坐标变换的最小二乘法分段拟合标定法和多参数拟合法。标准化的反应谱形式也主要受反应谱的平台值C、特征周期 $T_g$、和衰减指数 $\gamma$的三个参数控制。

至此，竖向设计反应谱的三个主要参数都可拟合得出。

目前对于多组记录求谱值比V/H的方法有两种：一种是现计算竖向和水平向的平均反应谱，再求出二者的比值关系，Niazim [41] 、Bozorgnia [42] 、Campbell [43] 、石树中 [44] 等人先对衰减经验关系进行拟合，之后再进行V/H比值的计算，这属于第一种方式；另一种方式是对每组记录的数据进行计算V/H比值，之后对谱值比进行平均 [21] [26] 。在进行两种方法的对比之后发现，第一种方法虽具有比值上的稳定性，但一方面在拟合经验衰减关系时可能会有误差，另一方面可能由于先计算竖向和水平反应谱，一些波动可能会被掩盖。所以使用第二种方式可能会更加具有代表性。

V/H关系式采用Bozorgnia和Campbell (2016) [45] 的方法，利用回归的竖向和水平向衰减关系，应用以下式子进行计算：

$\ln \left(V/H\right)=\ln Y_v-\ln Y_h$ (4)

其中， $\ln Y_v$和 $\ln Y_h$为拟合的竖向解水平向地震动衰减关系。

随后进行标准差分析和残差分析，标准差计算按如下过程进行：

${\sigma }_{\ln V/H}=\sqrt{{\phi }_{\ln V/H}^2+{\tau }_{\ln V/H}^2}$ (5)

式中，

${\phi }_{\ln V/H}=\sqrt{{\phi }_{\ln Y_v}^2+{\phi }_{\ln Y_h}^2-{\rho }_{\ln Y_v,\ln Y_h}^W{\phi }_{\ln Y_v}{\phi }_{\ln Y_h}}$

${\tau }_{\ln V/H}=\sqrt{{\tau }_{\ln Y_v}^2+{\tau }_{\ln Y_h}^2-{\rho }_{\ln Y_v,\ln Y_h}^B{\tau }_{\ln Y_v}{\tau }_{\ln Y_h}}$ (6)

其中， ${\sigma }_{\ln V/H}$为V/H关系式的总标准差； ${\phi }_{\ln Y_v}$， ${\tau }_{\ln Y_v}$分别为事件内和事件间的竖向地震动回归标准差； ${\phi }_{\ln Y_h},{\tau }_{\ln Y_h}$分别为时间内和事件间的水平地震动回归标准差； ${\phi }_{\ln V/H},{\tau }_{\ln V/H}$分别为事件内和事件间的V/H标准差； ${\rho }_{\ln Y_v,\ln Y_h}^W,{\rho }_{\ln Y_v,\ln Y_h}^B$分别为事件内和事件间竖向和水平向地震动衰减关系式的相关系数。

以上就是，竖向设计反应谱的所有数据处理过程。