农业是我国的立国之本、民生之源。我国华北地区的农村山区面积广大，山地农业在全国农业中有着重要的地位 [1] ，山地丘陵区粮食作物的种植对保障我国粮食安全具有十分重要的作用，如何在有限的土地资源充分发挥农作物的种植潜力仍存在很多挑战。由于华北山区耕地类型多样且分布零散，农作物种植种类也相当丰富。因此，选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。所以根据乡村的实际情况，传统的种植方式在面对自然因素及社会因素的影响下难以充分利用土地资源，而有效地利用农作物种植的空间格局和空间动态变化，因地制宜地利用自然资源进行农业生产的需求十分重要 [2] 。农作物种植结构是农作物收入与土地资源开发利用的基础，农业土地利用的变化是不同尺度下自然、社会和经济因素共同驱动的结果，作物种植面积变化是作物选择行为的直接反映。随着对精确、及时地获取作物种植信息的需求愈发强烈，目前，已经有大量的研究应用于农作物的种植结构分布中。例如：刘珍环 [3] 等综合运用时序变化趋势、空间集聚分析等方法分析近30年中国农作物种植结构时空变化；为考虑因子交互作用对种植结构空间分异，张红梅 [4] 等以1 km²地理网格为研究单元，运用分区统计法、空间自相关分析法及地理探测器法分析黑龙江省典型县耕地种植结构空间分异特征；Massey等 [5] 通过分析MODIS NDVI时间序列曲线下不同农作物的特征，运用决策树分类方法成功地获取了美国本土农作物的空间分布和种植面积数据；Grifths [6] 等研究者结合了Sentinel-2和Landsat的数据集，通过应用随机森林算法，成功地绘制了德国农作物的空间分布图。鉴于此，针对华北山区的独特地理特征，合理地规划农作物的种植结构能够实现农业生产利益的最大化，也避免了由于单一物种造成的暂时性失业(农闲失业)情况，同时有利于农户的风险规避 [7] ，解决农民生计问题。本文以山西省大同市灵丘县车河村1201亩露天耕地为研究区，当地农民根据农作物的生长规律采取“小而全”的多样化种植经营方式 [8] ，从一个曾经的贫困小山村，如今发展成为面貌一新的美丽乡村，现已成为国家乡村振兴计划的先进典例。利用2024年“高教杯”全国大学生数学建模大赛C 题中附件给出的耕地和农作物的基本情况和2023年的农作物种植和相关统计数据，通过建立线性规划模型，求解预测出未来几年的最优农作物种植方案，为当地农作物种植结构调整优化提供参考。

本文主要研究华北某乡村不同类型山区的农作物种植，以给出最优种植方案。赛题的附件中给出了此地区现有耕地和农作物的基本情况，例如：该乡村现有露天耕地1201亩，分散为34个地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地四个类型，另有16个普通大棚和4个智慧大棚，每个大棚耕地面积为0.6亩；因其独特的地理位置，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物；而大棚通过人工调节温度、光照和湿度等环境因素，能够在不适宜的季节提供适宜的生长条件，从而实现两季种植等等。本文分析整理了这些农作物信息，为了更直观化，用关系图表示了各类型不同农作物的种植条件(如 图1 )。

图1. 不同农作物的种植条件

为明确华北某山区34个大小不一的干旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚在该村的时空分布情况，满足农作物每季的种植地不能太分散以及各农作物在单个地块(含大棚)种植的面积不宜太小的要求，本文首先对各区域的面积占比关系利用树状图进行可视化(如 图2 )。为减少外界因素影响简化模型，假设该村产量稳定，即2024年至2030年的预期销售量均与2023年产量持平，将收集的数据预处理，得到了未来预期销售量中单位利润排在前十的农作物及其预期销售量(如 图3 )。

进一步，我们将销量较多的部分农作物数据进行整理，计算得到了其预期销售量及其不同季度的销售单价(如 表1 )。

由于该村每季的总产量超过相应预期销售量时，超过的部分无法正常销售，会造成浪费。所以，首先计算每种类型地块的销售收入和其对应的种植成本，然后建立以最大化销售总利润为目标，以农作物的生长规律要求和方便田间管理等为约束条件的线性规划模型，求解即可得到种植的最优方案(如 图4 )。

在最大化销售总利润的目标下，使得能够满足农作物的生长规律，方便耕种作业和田间管理，再建立相关模型。此规划模型需要考虑农作物的销售总利润、种植方式、农作物单个地块种植面积、农作物种植总面积、豆类植物的时间、农作物种植类型等，下面进行模型的符号说明。

1) 目标：农作物的销售总利润Q

销售总利润是指在不同类型地块上的销售利润之和，在不考虑销售费用的情况下，农作物销售总利润等于销售收入减去销售成本，当销售总利润越大，代表该地区的农作物种植结构分布方案越好。

① 当未来的产量小于等于其销售量时，即：

$Q=A+B+C+D+E+F$

② 当未来的产量大于其销售量时分两种情况：

第一种情况为：滞销的产物均被浪费无法进行售卖。即：

$Q=Y_j\cdot M_j-\left(a+b+c+d+e+f\right)$

第二种情况为：滞销的产物均以半价进行售卖。即：

$Q=Y_j\cdot M_j+q-\left(a+b+c+d+e+f\right)$

式中 $A,B,C,D,E,F$分别表示平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚。 $M_j$表示第种农作物的销售单价， $Y_j$表示第j种农作物的实际销售量， $a,b,c,d,e,f$分别表示在各类型地块上的种植成本，q表示超出部分的销售收入。

2) 约束条件：种植方式限制

联系生活实际可知连续重茬种植会导致土壤中养分不平衡，作物根系分泌毒素，不能被同一类作物继续吸收利用，且连续种植该种农作物会让植物缺少其所必需的某种元素而导致减产。

$A_{ijt}\ne A_{ijt+1}$

式中 $A_{ijt}$表示在第i块平旱地上第j种作物在第t年的第一季的种植面积。同理可得其他类型的地块种植方式与平旱地一致。

3) 约束条件：农作物的单个地块种植面积的限制

山区各类型的地块较为分散，不利于农民对农作物的田间管理，但当每种作物在单个地块的种植面积

不小于该块耕地的 $\frac{2}{5}$时，作物的管理更方便。即：

$A_{ijt}\ge \frac{2}{5}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{A}_{ijt}}$

同理可知在梯田、山坡地、水浇地、普通和智慧大棚的单地块种植面积的约束与在平旱地时相似。

4) 约束条件：农作物种植总面积限制

农作物种植总面积指能够使用的面积，所有农作物的种植面积不能超过该村能够使用的面积。即：

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{A}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{14}{\sum }}{B}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{C}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=16}{\overset{34}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{D}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=138}{\overset{41}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{E}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=17}{\overset{34}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{A}_{ijt}}}=R\\ R\le S\end{array}$

式中S表示该乡村的1210亩耕地，R表示所有地块上农作物的种植面积。

5) 约束条件：豆类植物的种植时间限制

为了确保大豆的健康生长和高产，土壤养分的恢复和病虫害防范，种植后的地块需间隔三年以上方可再次种植。即：

再利用Excel计算出未来2024年至2030年的最优种植方案和及其对应的年利润。当生产过剩时，若超出部分停滞浪费，最优种植方案的年平均利润为7520795.75元；若超出部分半价销售，最优种植方案的年平均利润为7956625.625元，对比结果可得滞销浪费最优方案的年平均利润小于滞销半价销售的年平均利润。

本文主要以各类型地块上农作物的销售总利润为目标函数，根据农作物的生长习性、种植区域面积限制等情况优化耕作流程和田间管理，建立了线性规划模型，利用Excel进行求解，得到了2024年至2030年各类农作物的最优种植面积及利润。进一步地，对模型进行改进，考虑农作物的种植风险，采用蒙特卡洛随机模拟，得到未来预期销售量等情况，运用遗传算法求得多种情境下的最优种植方案；继而考虑农作物之间的替代性、互补性等情况，增加线性规划模型的约束条件，最后对比求解两种情况下种植方案的利润。本模型考虑多方面的影响因素，符合生活实际情况，有助于当地依据市场及政策条件进行调节，有效规避多种风险，实现利益最大化。

线性规划能用于系统研究资源的合理利用，线性规划的可行方案都在各个限制因素组成的可行区域内，只要约束条件能正确地反映农业生产实际情况，即可保证其最佳方案是现实可行的。

湖南省教育厅优秀青年科学研究项目“DC复合拟凸规划近似对偶理论的研究”(项目编号：24B0743)，湖南省普通本科高校教学改革重点研究项目“新工科背景下大学数学课程‘课程思政’教学模式研究与实践”(项目编号：202401001372)。

^*通讯作者。