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Advances in Applied Mathematics

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aam-108054

Articles

数学与物理

一种具有二阶收敛性的Stokes-Darcy耦合问题的统一混合有限元近似
A Unified Mixed Finite Element Approximation for Stokes-Darcy Coupling Problems with Second-Order Convergence

谢富伟

马晓华

长沙理工大学数学与统计学院，湖南长沙

13 02 2025

14 02 388 398 26 1 ：2025 19 1 ：2025 19 2 ：2025

2024

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

文章给出了平面区域中Stokes-Darcy耦合问题的具有二阶收敛精度的统一近似格式。在这项工作中，我们修改了Darcy变分格式并增强了其正定性，使我们能够将P2元改进的Mini元应用于整个Stokes-Darcy耦合问题。此外，由于这种二阶格式在耦合界面上有足够的自由度，因此不需要在界面上添加额外的函数来稳定离散问题。最后，通过两个算例验证了理论分析，证明了该格式对于具有不同形状的耦合界面的问题具有良好的稳定性和准确性。
In this paper, a unified approximation with second-order convergence accuracy for the Stokes-Darcy coupled problem in the plane domain is presented. In this work, we modify the Darcy problem and enhance its positive definiteness, which allows us to apply the Mini-element improved with P2-element to the entire coupled Stokes-Darcy problem. Moreover, since this second-order format has sufficient degrees of freedom on the coupled interface, we do not need to add additional functions on the interface to stabilize the discrete problem. Finally, the theoretical analysis is verified by two arithmetic examples, which prove that the scheme has good stability and accuracy for problems with different shapes of coupled interfaces.

Stokes-Darcy耦合问题，混合有限元，统一近似，二阶收敛性
Coupled Stokes-Darcy Problem
Mixed Finite Element Unified Approximation Second-Order Convergence

1. 引言

由于在环境科学、生理学、生物工程、水文学和一些工业应用方面的重要性，近年来，许多用于解决Stokes-Darcy耦合问题的有效数值方法得到了快速发展。这两个方程在耦合界面处的取值往往受到质量守恒、法向力平衡和BJS (Beavers-Joseph-Saffman)条件的约束 [1] [2] 。

经过经典变分后，Stokes方程的混合变分格式在任意协调有限元空间中都是正定的。而Darcy方程混合变分格式的正定性与压力离散空间密切相关。因此，适用于解决Stokes问题的有限元空间一般不适用于Darcy问题。有许多研究在两个区域采用不同的有限元空间(例如： [3] - [8] )。其中一些文章 [7] [8] 采用了压力稳健格式，即速度的收敛性不再依赖于压力，使得压力本身的光滑性和低阶压力有限元空间不会影响速度的收敛。

为了在两个区域上使用相同的有限元空间，一些文章引入了惩罚项 [9] [10] 。另一方面，在 [11] 中，作者修改了耦合问题的公式，以便他们可以在两个区域上均匀地使用经典的Mini元素或Taylor-Hood元素。为了进一步发展统一的离散化，在 [12] 中，根据 [13] 的思想，作者修改了混合公式，使新问题与原问题有相同的解。在此基础上，作者将经典的Mini元素应用于改进的耦合二维Stokes-Darcy问题，使问题变得简单直接地实现。

在 [12] 中，作者使用的Mini元中压力和速度均基于 $P_{1}$ 元，但由于在混合变分格式中速度要求梯度以及散度，所以均基于 $P_{1}$ 元的速度空间会降低压力空间的收敛性。另外，由于 $P_{1}$ 元在耦合界面上的自由度不足，作者需要在耦合界面上添加额外的稳定函数来保证近似解的稳定性。

本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们陈述了经典的Stokes-Darcy耦合问题并对其进行了修改。在第3节中，我们提出了有限元离散化方法。在第4节中，我们构造了一个Fortin算子，在Γ具有特殊形状的条件下，证明了修改的Stokes-Darcy耦合问题的离散稳定条件，并在第5节中将其扩展到一般情况。最后，在第6节中，我们提供了两个数值例子来证实我们的结论。

<xref></xref>2. Stokes-Darcy耦合问题的陈述与修改<xref> <a href="#SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTSec h * MERGEFORMAT"></a> </xref> 2.1. Stokes-Darcy耦合问题的陈述

我们考虑一个多边形的有界开区域 $Ω \subset R^{2}$ ，其被分为了两个多边形的子区域 $Ω_{S}$ 和 $Ω_{D}$ 。我们设 $\bar{Ω} = {\bar{Ω}}_{S} \cup {\bar{Ω}}_{D}$ ， $Ω_{S} \cap Ω_{D} = \emptyset$ ， ${\bar{Ω}}_{S} \cap {\bar{Ω}}_{D} = Γ$ ，其中 $Γ$ 表示耦合界面。最后，我们定义 $Γ_{S} = \partial Ω_{S} \ Γ$ ， $Γ_{D} = \partial Ω_{D} \ Γ$ (如图1 )。

Figure 1 Figure 1. Two-dimensional domain diagram of coupling problem--图1. 耦合问题的二维区域示意图--

我们使用 $n_{S} = {(n_{1}^{S}, n_{2}^{S})}^{T}$ 和 $n_{D} = {(n_{1}^{D}, n_{2}^{D})}^{T}$ 来代表 $\partial Ω_{S}$ 和 $\partial Ω_{D}$ 上的单位外法向量，考虑到两个区域上的函数性质不同，对于定义在 $Ω$ 上的任意函数，我们定义 $v_{S} = {v |}_{Ω_{S}}$ 和 $v_{D} = {v |}_{Ω_{D}}$ 。

在 $Ω_{S}$ 中，自由流体运动中速度 $u_{S}$ 和压力 $p_{S}$ 由Stokes方程控制

${\begin{cases} - μ Δ u_{S} + \nabla p_{S} = f_{S}, in Ω_{S}, \\ div u_{S} = g_{S}, in Ω_{S}, \\ u_{S} = 0, in Γ_{S}, \end{cases}$ (2.1)

其中 $f_{S} \in {(L^{2} (Ω_{S}))}^{2}$ 代表单位质量的力， $g_{S} \in L^{2} (Ω_{S})$ ， $μ > 0$ 代表粘度。

在 $Ω_{D}$ 中，多孔介质流动运动Darcy方程控制，速度为 $u_{D}$ ，压力为 $p_{D}$

${\begin{cases} \frac{μ}{K} u_{D} + \nabla p_{D} = f_{S}, in Ω_{S}, \\ d i v u_{D} = g_{D}, in Ω_{S}, \\ u_{D} \cdot n_{D} = 0, in Γ_{S}, \end{cases}$ (2.2)

其中 $f_{D} \in {(L^{2} (Ω_{D}))}^{2}$ 代表单位质量的力， $g_{D} \in L^{2} (Ω_{D})$ ， $μ > 0$ 代表粘度，K代表渗透率常数。

在 $Γ$ 上，我们考虑以下耦合界面条件 [4]

${\begin{cases} u_{D} \cdot n_{D} + u_{S} \cdot n_{S} = 0, \\ p_{S} n_{S} - μ \nabla u_{S} n_{S} - p_{D} n_{S} - μ \frac{α}{\sqrt{K}} (u_{S} \cdot t) t = 0 \end{cases}$ (2.3)

其中第一个方程表示质量守恒，第二个方程是由于法向力的平衡和BJS条件( $\nabla u = (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}), i, j = 1, 2$ )构成， $α$ 是通过实验证据确定的参数， $t$ 是 $Γ$ 上的切向量。

我们用粗体表示向量值函数及其组成的空间。对于任意的子空间 $E \subset Ω$ ， $H^{m} (E)$ 的范数和半范数记作 ${‖ \cdot ‖}_{m, E}$ 和 ${| \cdot |}_{m, E}$ 并且用 ${(\cdot, \cdot)}_{E}$ 表示 $L^{2} (E)$ 或 $L^{2} (E)$ 的内积。当 $E = Ω$ 时，则省去定义域下标。另外，

$H (d i v, Ω) = {v \in L^{2} (Ω) : d i v \begin{matrix} v \end{matrix} \in L^{2} (Ω)}$ ， $L_{0}^{2} (Ω) = {q \in L^{2} (Ω) : \int_{Ω} q d x = 0}$ 。

结合边界及耦合界面条件，速度空间可以定义为

$V = {v \in H (d i v, Ω) : v_{S} \in H^{1} (Ω_{S}), v = 0 on Γ_{S}, v \cdot n_{D} = 0 on Γ_{D} and v_{D} \cdot n_{D} + v_{S} \cdot n_{S} = 0 on Γ}$ (2.4)

其范数为 ${‖ v ‖}_{V} = {({| v |}_{1, Ω_{S}}^{2} + {‖ v ‖}_{0, Ω_{D}}^{2} + {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} v ‖}_{0, Ω_{D}}^{2})}^{\frac{1}{2}} = {({| v |}_{1, Ω_{S}}^{2} + {‖ v ‖}_{H (d i v, Ω_{D})}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。接下来，我们定义压力空间

$Q = L_{0}^{2} (Ω) = {q \in L^{2} (Ω) : \int_{Ω} q d x = 0}$ (2.5)

其范数为 ${‖ q ‖}_{Q} \begin{matrix} = \end{matrix} {‖ q ‖}_{0}$ 。

然后，耦合问题(2.1)~(2.3)的混合变分公式可以表述为：找到 $(u, p) \subset V \times Q$ 满足

${\begin{cases} a (u, v) + b (v, p) = F (v), \forall v \in V \\ b (u, q) = G (q) \forall q \in Q \begin{matrix} . \end{matrix} \end{cases}$ (2.6)

其中

$\begin{array}{l} a (u, v) = μ {(\nabla u, \nabla v)}_{Ω_{S}} + μ \frac{α}{\sqrt{K}} \int_{Γ} (u_{S} \cdot t) (v_{S} \cdot t) d σ + \frac{μ}{K} {(u, v)}_{Ω_{D}} \begin{matrix} , \end{matrix} \\ b (v, q) = (q, d i v \begin{matrix} v \end{matrix}) \begin{matrix} , \end{matrix} \\ F (v) = {(f_{S}, v)}_{Ω_{S}} + {(f_{D}, v)}_{Ω_{D}} \begin{matrix} , \end{matrix} G (q) = - {(g_{S}, q)}_{Ω_{S}} - {(g_{D}, q)}_{Ω_{D}} \begin{matrix} . \end{matrix} \end{array}$ (2.7)

2.2. Stokes-Darcy耦合问题的修改

注意到，双线性型 $a (\cdot, \cdot)$ 仅在 $V_{0, D} = {v \in V : {(q, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})}_{Ω_{D}} = 0 \begin{matrix} , \begin{matrix} \forall \end{matrix} \end{matrix} q \in Q}$ 上正定，而在 $V$ 上不为正定。这会给我们构建统一的有限元空间带来困难，因此我们将修改耦合问题。

根据散度定理，可得 $\begin{matrix} d i v \end{matrix} V \subset Q$ ，同时对于 $\forall q \subset Q$ ，都存在 $v \in V$ 使得 $q = d i v \begin{matrix} v \end{matrix}$ 。因此，可以看到 $\begin{matrix} d i v \end{matrix} V$ 与Q是等距同构的。因此(2.6)中第二个方程Q中的元素可以用 $\begin{matrix} d i v \end{matrix} V$ 中的元素替换，即

$(d i v \begin{matrix} u \end{matrix}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix}) = (g_{D}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})$ (2.8)

我们取其在 $Ω_{D}$ 上的部分便可得

${(d i v \begin{matrix} u \end{matrix}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})}_{Ω_{D}} = {(g_{D}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})}_{Ω_{D}}$ (2.9)

将(2.9)添加到(2.6)中的第一个方程，我们可以得到修改后的耦合问题：找到 $(u, p) \subset V \times Q$ 满足

${\begin{cases} \tilde{a} (u, v) + b (v, p) = \tilde{F} (v), \forall v \in V \\ b (u, q) = G (q) \forall q \in Q \begin{matrix} . \end{matrix} \end{cases}$ (2.10)

其中

$\begin{array}{l} \tilde{a} (u, v) = μ {(\nabla u, \nabla v)}_{Ω_{S}} + μ \frac{α}{\sqrt{K}} \int_{Γ} (u_{S} \cdot t) (v_{S} \cdot t) d σ + \frac{μ}{K} {(u, v)}_{Ω_{D}} + {(d i v \begin{matrix} u \end{matrix}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})}_{Ω_{D}} \begin{matrix} , \end{matrix} \\ \tilde{F} (v) = {(f_{S}, v)}_{Ω_{S}} + {(f_{D}, v)}_{Ω_{D}} + {(g_{D}, d i v \begin{matrix} v \end{matrix})}_{Ω_{D}} \begin{matrix} . \end{matrix} \end{array}$ (2.11)

定理2.1 对称连续双线性型 $\tilde{a} (u, v)$ 在 $V$ 上是正定的，即存在正常数 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 使得

$\begin{array}{l} | \tilde{a} (u, v) | \leq C_{1} {‖ v ‖}_{V} ‖ u ‖ |_{V}, \begin{matrix} \end{matrix} \forall v, u \in V \\ \tilde{a} (u, u) \geq C_{2} {‖ u ‖}_{V}^{2}, \begin{matrix} \end{matrix} \forall u \in V \end{array}$ (2.12)

证明：根据迹定理和holder不等式，我们可得

$\begin{matrix} | \tilde{a} (u, v) | \leq | μ {(\nabla u, \nabla v)}_{Ω_{S}} | + | \frac{μ}{K} (_{u, v) Ω_{D}} | + | {(\begin{matrix} d i v \end{matrix} u, \begin{matrix} d i v \end{matrix} v)}_{Ω_{D}} | + | μ \frac{α}{\sqrt{K}} \int_{Γ} (u_{S} \cdot t) (v_{S} \cdot t) d σ | \\ \leq μ {| u |}_{1, Ω_{S}} {| v |}_{1, Ω_{S}} + \frac{μ}{K} {‖ u ‖}_{0, Ω_{D}} {‖ v ‖}_{0, Ω_{D}} + {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} u ‖}_{0, Ω_{D}} {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} v ‖}_{0, Ω_{D}} + μ \frac{α}{\sqrt{K}} {(\int_{Γ} {(u_{S} \cdot t)}^{2} d σ)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Γ} {(v_{S} \cdot t)}^{2} d σ)}^{\frac{1}{2}} \\ \leq μ {| u |}_{1, Ω_{S}} {| v |}_{1, Ω_{S}} + \frac{μ}{K} {‖ u ‖}_{0, Ω_{D}} {‖ v ‖}_{0, Ω_{D}} + {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} u ‖}_{0, Ω_{D}} {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} v ‖}_{0, Ω_{D}} + μ \frac{α}{\sqrt{K}} {| u |}_{1, Ω_{S}} {| v |}_{1, Ω_{S}} \\ \leq C_{1} {‖ v ‖}_{V} {‖ u ‖}_{V} . \end{matrix}$

同理可得

$\tilde{a} (u, u) = μ {(\nabla u, \nabla u)}_{Ω_{S}} + \frac{μ}{K} {(u, u)}_{Ω_{D}} + {(\begin{matrix} d i v \end{matrix} u, \begin{matrix} d i v \end{matrix} u)}_{Ω_{D}} + μ \frac{α}{\sqrt{K}} \int_{Γ} (u_{S} \cdot t) (u_{S} \cdot t) d σ \geq C_{2} {‖ u ‖}_{V}^{2} .$

3.<xref> <a href="#SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTSec r 3 h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTChap h * MERGEFORMAT"></a> </xref> 修改的Stokes-Darcy耦合问题的有限元近似

令 ${{S_{h}}}_{h > 0}$ 为区域 $Ω$ 的拟一致三角剖分族，每个单元 $T \in S_{h}$ 位于 $Ω_{S}$ 或 $Ω_{D}$ 中(即 $Γ$ 仅穿过单元的边缘，不穿过任何单元内部)。我们将任意 $T \in S_{h}$ 的直径表示为 $h_{T}$ ，且令 $h = \max (h_{T})$ 。根据拟一致网格的性质，我们有 $\frac{h_{T}}{h} \geq C, \forall T \in S_{h}$ 。从现在开始，我们将用C表示一个通用正常数，它不一定每次出现时都相同，但都与h无关。

对于 $\forall T \in S_{h}$ ，气泡函数定义为

$b_{T} (x) = {\begin{cases} λ_{1} (x) λ_{2} (x) λ_{3} (x) \begin{matrix} , & x \in T, \end{matrix} \\ 0, \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & x \notin T . \end{matrix} \end{cases}$ (3.1)

其中 $λ_{1} (x) \begin{matrix} , \end{matrix} λ_{2} (x) \begin{matrix} , \end{matrix} λ_{3} (x)$ 分别表示 $\forall T \in S_{h}$ 三个顶点上的一次帽函数。显然， $b_{T} (x) \in H_{0}^{1} (T) \subset H_{0}^{1} (Ω)$ 。

然后我们给出如下的速度有限元空间

$\begin{array}{l} V_{h} = {v_{h}^{S} \in C^{0} (Ω_{S}), v_{h}^{D} \in C^{0} (Ω_{D}) : {v_{h} |}_{T} \in P_{2} (T), \forall T \in S_{h}, v_{h} = 0 on Γ_{S} \begin{matrix} , \end{matrix} \\ v_{h} \cdot n_{D} = 0 on Γ_{D} and v_{h}^{D} \cdot n_{D} + v_{h}^{S} \cdot n_{S} = 0 on Γ} \oplus {(span {b_{T} (x) \begin{matrix} ; \end{matrix} \forall T \in S_{h}})}^{2} \end{array}$ (3.2)

和压力的有限元空间

$Q_{h} = {{q_{h}^{S} |}_{Ω_{S}} \in C^{0} (Ω_{S}) \begin{matrix} , \end{matrix} {q_{h}^{D} |}_{Ω_{D}} \in C^{0} (Ω_{D}) : {q_{h} |}_{T} \in P_{1} (T) \begin{matrix} , \end{matrix} \forall T \in S_{h}} \cap Q$ (3.3)

然后我们从(2.9)得到离散的混合问题：找到 $(u_{h}, p_{h}) \subset V_{h} \times Q_{h}$ 满足

${\begin{cases} \tilde{a} (u_{h}, v_{h}) + b (v_{h}, p_{h}) = \tilde{F} (v_{h}), \forall v_{h} \in V_{h} \\ b (u_{h}, q_{h}) = G (q_{h}) \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \forall q_{h} \in Q_{h} \begin{matrix} . \end{matrix} \end{cases}$ (3.4)

4. <xref> <a href="#SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTSec r 4 h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTChap h * MERGEFORMAT"></a> </xref>具有特殊形状的耦合界面的稳定性分析

在本节中，我们假设耦合界面 $Γ$ 满足以下几何性质(我们会在下一章移除该假设)：

假设4.1 $Γ$ 是一条穿过 $Ω$ 的无分支的折线段，其两个端点是与 $\partial Ω$ 的交点。

4.1. 一些引理

引理4.2 [14] $λ_{i} (x) \begin{matrix} , \end{matrix} λ_{j} (x) \begin{matrix} , \end{matrix} λ_{k} (x)$ 为 $\forall T \in S_{h}$ 的三个顶点上的一次帽函数，则

$\int_{T} λ_{i}^{α} λ_{j}^{β} λ_{k}^{γ} d x = \frac{α! β! γ!}{(α + β + γ + 2)!} 2 | T | \begin{matrix} , \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} {‖ λ_{i}^{α} λ_{j}^{β} λ_{k}^{γ} ‖}_{1} \leq C$ (4.1)

其中 $α, β, γ$ 是非负整数。另外，在该单元的边 $e_{i j}$ 上有

$\int_{e} λ_{i}^{α} λ_{j}^{β} d σ = \frac{α! β!}{(α + β + 1)!} 2 | e |$ (4.2)

引理4.3 [14] 设 $P_{h} : H^{1} (E) \to P_{1} (E)$ 是 $L^{2}$ 投影算子，则其满足

${‖ \begin{matrix} P_{h} \end{matrix} v ‖}_{1, E} + h^{- 1} {‖ v - \begin{matrix} P_{h} \end{matrix} v ‖}_{0, E} + {‖ v - \begin{matrix} P_{h} \end{matrix} v ‖}_{1, E} \leq C {‖ v ‖}_{1, E}$ (4.3)

引理4.4 [15] 存在常数 $C \begin{matrix} > \end{matrix} 0$ ，使得

${‖ v ‖}_{0 \begin{matrix} , \end{matrix} \partial E} \leq C {‖ v ‖}^{\frac{1}{2}}_{0, E} {‖ v ‖}^{\frac{1}{2}}_{1, E}, \forall v \in H^{1} (E)$ (4.4)

4.2. 构造Fortin算子

根据假设4.1可得经过三角剖分后， $Γ$ 被分成m段，共有 $m + 1$ 个节点。其中每段 $e_{i Γ} (i = 1 : m)$ 为单元T的一条边，每个节点 $i_{Γ} (i = 1 : m)$ 为单元T的一个顶点。并且在节点 $i_{Γ}$ 上的帽函数 $λ_{i Γ}$ 的支集最多含有 $Γ$ 上的两条边，对于相邻的两个帽函数 $λ_{i Γ} \begin{matrix} ， \end{matrix} λ_{j Γ}$ ，他们支集的交集只含有 $Γ$ 上的一条边。定义 $ψ_{0} = 4 λ_{0 Γ} λ_{1 Γ} n_{1}$ ， $ψ_{m} = 4 λ_{m - 1 Γ} λ_{m Γ} n_{n}$ ， $ψ_{i} = λ_{i Γ} (2 λ_{i Γ} - 1) (n_{i - 1} + n_{i})$ ， $(i = 1 : m - 1)$ 。其中， $n_{i} (i = 1 : m)$ 为边 $e_{i Γ}^{}$ 的单位法向量，指向 $Ω_{S}$ 外侧。根据定义可得， $s p a n (ψ_{i}, i = 0 : m) \subset V_{h}$ ， ${Q_{h} |}_{Γ} \subset s p a n (λ_{i Γ}, i = 0 : m)$ 。

定理4.5 存在算子 $r_{h} : V \to V_{h}$ 使得

$b (v - \begin{matrix} r_{h} \end{matrix} v, q_{h}) = 0 \begin{matrix} , \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \forall v \in V \begin{matrix} , \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \forall q_{h} \in Q_{h} \begin{matrix} . \end{matrix}$ (4.5)

证明：定义

$r_{h} v = P_{h} v + \sum_{T \in S_{h}} c_{T} b_{T} + \sum_{i = 0}^{n} k_{i} ψ_{i} \begin{matrix} , \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \forall v \in V \begin{matrix} . \end{matrix}$ (4.6)

利用格林公式可得

$b (v - r_{h} v, q_{h}) = \sum_{T \in S_{h}} (\int_{T} \nabla q_{h} \cdot (v - r_{h} v) d x) - \int_{Γ} (q_{h}^{S} - q_{h}^{D}) (v_{S} - r_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d t \begin{matrix} . \end{matrix}$ (4.7)

由于 $\nabla q_{h}$ 在T上是常向量且 ${Q_{h} |}_{Γ} \subset s p a n (λ_{i Γ}, i = 0 : m)$ ，所以若式(4.5)成立，只需

$\int_{Γ} λ_{i Γ} (v_{S} - r_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ = 0 \begin{matrix} , & i = 0 : m \end{matrix},$ (4.8)

$\int_{Ω} v - r_{h} v = 0 \begin{matrix} , & \forall T \in S_{h} \end{matrix} \begin{matrix} . \end{matrix}$ (4.9)

将(4.6)代入(4.8)可得

$\sum_{j = 0}^{m} k_{j} \int_{Γ} λ_{i Γ} ψ_{j} \cdot n_{S} d σ = \int_{Γ} λ_{i Γ} (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ \begin{matrix} , & i = 0 : m \end{matrix} .$ (4.10)

利用引理4.2可以将(4.10)转化为下述线性方程组

$A_{Γ} K = F_{Γ}$ (4.11)

其中

$\begin{array}{l} A_{Γ} = d i a g (\frac{| e_{1 Γ} |}{3}, \frac{(| e_{1 Γ} | + | e_{2 Γ} |) (1 + n_{1} \cdot n_{2})}{6}, \dots, \frac{(| e_{i Γ} | + | e_{i + 1 Γ} |) (1 + n_{i} \cdot n_{i + 1})}{6} \dots \frac{(| e_{m - 1 Γ} | + | e_{m Γ} |) (1 + n_{m - 1} \cdot n_{m})}{6}, \frac{| e_{m Γ} |}{3}), \\ K = {(\begin{matrix} k_{0}, & \begin{matrix} k_{1}, & \dots & \begin{matrix} k_{i} & \begin{matrix} \dots & \begin{matrix} k_{m - 1}, & k_{m} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix})}^{T}, \\ F_{Γ} = (\begin{matrix} \int_{Γ} λ_{0 Γ} (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ, & \begin{matrix} \int_{Γ} (λ_{1 Γ} - λ_{0 Γ}) (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ, & \dots & \begin{matrix} \int_{Γ} λ_{i Γ} (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ & \dots \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & \dots & \begin{matrix} \int_{Γ} (λ_{m - 1 Γ} - λ_{m Γ}) (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ, & \int_{Γ} λ_{m Γ} (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ) \end{matrix} \end{matrix}}^{T} . \end{array}$

根据拟一致剖分的性质可得，存在与h无关的常数C，使得 $1 + n_{i} \cdot n_{i + 1} \geq C > 0$ 。因此，方程组(4.11)存在唯一解。

接着利用引理4.2并使用同样的方法将(4.6)代入(4.9)可得

$c_{T} = \frac{60 \int_{T} (v - P_{h} v - \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i}) d x}{| T |}, \forall T \in S_{h} .$ (4.12)

由此可得 $c_{T}$ 存在唯一解，定理4.5得证。

定理4.6 对于 $\forall v \in H_{0}^{1} (Ω)$ ，算子 $r_{h}$ 满足

${‖ r_{h} v ‖}_{V} \leq C {‖ v ‖}_{1} .$ (4.13)

证明：利用holder不等式， $1 + n_{i} \cdot n_{i + 1} \geq C > 0$ ，引理4.3以及引理4.4可由(4.11)得

$\begin{matrix} \sum_{i = 0}^{m} {| k_{i} |}^{2} \leq \sum_{i = 0}^{m} C h^{- 2} {(\int_{Γ} λ_{i Γ} (v_{S} - P_{h} v_{S}) \cdot n_{S} d σ)}^{2} \\ \leq \sum_{i = 0}^{m} C h^{- 2} (\int_{Γ} λ_{i Γ}^{2} d σ {‖ v_{S} - P_{h} v_{S} ‖}_{0, e_{i Γ}}^{2}) \\ \leq C h^{- 1} {‖ v_{S} - P_{h} v_{S} ‖}_{0, Γ}^{2} \\ \leq C h^{- 1} {‖ v_{S} - P_{h} v_{S} ‖}_{0, Ω_{S}} {‖ v_{S} - P_{h} v_{S} ‖}_{1, Ω_{S}} \\ \leq C {‖ v ‖}_{1}^{2} . \end{matrix}$

利用相同的方法可由(4.11)得

$\begin{matrix} \sum_{T \in S_{h}} {‖ c_{T} ‖}^{2} \leq C h^{- 4} \sum_{T \in S_{h}} {(\int_{T} (v - P_{h} v - \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i}) d x)}^{2} \\ \leq C h^{- 4} \sum_{T \in S_{h}} {(\int_{T} \begin{matrix} 1 \end{matrix} \begin{matrix} d x \end{matrix})}^{2} {‖ v - P_{h} v - \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i} ‖}_{0, T}^{2} \\ \leq C h^{- 2} {‖ v - P_{h} v - \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i} ‖}_{0}^{2} \\ \leq C {({‖ v ‖}_{1} + h^{- 1} {‖ \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i} ‖}_{0})}^{2} . \end{matrix}$

结合引理4.2可得

$\begin{matrix} {‖ r_{h} v ‖}_{V} \leq {‖ r_{h} v ‖}_{1} \leq {‖ P_{h} v ‖}_{1} + {‖ \sum_{T \in S_{h}} c_{T} b_{T} ‖}_{1} + {‖ \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i} ‖}_{1} \\ = {‖ P_{h} v ‖}_{1} + {(\sum_{T \in S_{h}} {‖ c_{T} b_{T} ‖}_{1, T}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(\sum_{T \in S_{h}} {‖ \sum_{i Γ \in T} k_{i} ψ_{i} ‖}_{1, T}^{2})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq C {‖ v ‖}_{1} + C {(\sum_{T \in S_{h}} {‖ c_{T} ‖}^{2})}^{\frac{1}{2}} + C {(\sum_{i = 0}^{m} {‖ k_{i} ψ_{i} ‖}_{1}^{2})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq C {‖ v ‖}_{1} + C {(\sum_{T \in S_{h}} {‖ c_{T} ‖}^{2})}^{\frac{1}{2}} + C {(\sum_{i = 0}^{m} {| k_{i} |}^{2})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq C {‖ v ‖}_{1} + C h^{- 1} {‖ \sum_{i = 0}^{m} k_{i} ψ_{i} ‖}_{0} + C {(\sum_{i = 0}^{m} {| k_{i} |}^{2})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq C {‖ v ‖}_{1} . \end{matrix}$

定理4.7 存在常数 $C > 0$ ，使得

$\sup_{0 \neq v_{h} \in V_{h}} \frac{b (v_{h}, q_{h})}{{‖ v_{h} ‖}_{V}} \geq C {‖ q_{h} ‖}_{Q} \begin{matrix} , \end{matrix} \forall q_{h} \in Q_{h} .$ (4.14)

证明：根据 [16] 中的经典结论，存在 $v \in H_{0}^{1} (Ω)$ 使得 $d i v \begin{matrix} v \end{matrix} = - q_{h}$ 并且 ${‖ v ‖}_{1} \leq C {‖ q_{h} ‖}_{0}$ ， $\forall q_{h} \in Q_{h}$ 。结合定理4.5以及定理4.6，可得：对于 $\forall q_{h} \in Q_{h}$ ，存在 $v \in H_{0}^{1} (Ω)$ 使得

$\sup_{0 \neq v_{h} \in V_{h}} \frac{b (v_{h}, q_{h})}{{‖ v_{h} ‖}_{V}} \geq \frac{b (r_{h} v, q_{h})}{{‖ r_{h} v ‖}_{V}} = \frac{b (v, q_{h})}{{‖ r_{h} v ‖}_{V}} = \frac{{‖ q_{h} ‖}_{0}^{2}}{{‖ r_{h} v ‖}_{V}} \geq C \frac{{‖ q_{h} ‖}_{0}^{2}}{{‖ v ‖}_{1}} \geq C {‖ q_{h} ‖}_{0} .$

5. 一般形状的耦合界面的稳定性分析<xref> <a href="#SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTSec r 5 h * MERGEFORMAT"></a> </xref>

在本节中，我们考虑一般情况下的稳定性分析，即 $Γ$ 是任意折线段，将 $Ω$ 分成多个不连通区域。

对此，我们可以将 $Γ$ 分成M段(与h无关)仅有端点相交的无分支的折线段 $Γ_{j} (j = 1 : M)$ ，满足 $Γ = \cup_{j = 1}^{M} Γ_{j}$ 且每段 $Γ_{j}$ 至多有两个端点落在 $\partial Ω$ 上。根据第四节中的方法，我们可以构造如下的Fortin算子

$r_{h} v = P_{h} v + \sum_{T \in S_{h}} c_{T} b_{T} + \sum_{i = 1}^{M} \sum_{j = 0}^{n} k_{i j} ψ_{i j} \begin{matrix} , \end{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \forall v \in V \begin{matrix} . \end{matrix}$ (5.1)

并运用相同的方法，我们依然能够证明定理4.7在一般情况下成立。

定理5.1 若定理2.1和定理4.7成立，且问题(2.9)的解 $(u, p)$ 满足 $u_{S} \in H^{3} (Ω_{S})$ ， $u_{D} \in H^{3} (Ω_{D})$ $p_{S} \in H^{2} (Ω_{S})$ ， $p_{D} \in H^{2} (Ω_{D})$ 则离散问题(3.4)的解 $(u_{h}, p_{h})$ 满足如下误差估计

${‖ u - u_{h} ‖}_{V} + {‖ p - p_{h} ‖}_{Q} \leq C h^{2} ({‖ u ‖}_{3, Ω_{S}} + {‖ u ‖}_{3, Ω_{D}} + {‖ p ‖}_{2, Ω_{S}} + {‖ p ‖}_{2, Ω_{D}}) .$ (5.2)

6. 数值实验<xref> <a href="#SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT"></a> <a href="#SEQ MTSec r 6 h * MERGEFORMAT"></a> </xref>

在本节中，我们将使用三个具有不同形状耦合界面的示例来测试理论收敛结果，其中前两个例子中 $Γ$ 穿过 $Ω$ ，第三个例子中 $Γ$ 是 $Ω$ 中的闭环。我们定义以下误差符号

$e_{0} (u_{S}) = {‖ u_{S} - u_{h}^{S} ‖}_{0, Ω_{S}} e_{1} (u_{S}) = {| u_{S} - u_{h}^{S} |}_{1, Ω_{S}} e_{0} (u_{D}) = {‖ u_{D} - u_{h}^{D} ‖}_{0, Ω_{D}}$

$e_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D}) = {‖ \begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D} - \begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{h}^{D} ‖}_{0, Ω_{D}} e_{0} (p) = {‖ p - p_{h} ‖}_{0}$

收敛阶符号定义为

$r_{i} = \frac{\log (\frac{e_{i}}{{e^{'}}_{i}})}{\log (\frac{h}{h^{'}})}, i = 0, 2$

6.1. 数值实验例1

在第一个数值算例中，我们设 $Ω_{S} = (0, 1) \times (0, 1)$ ， $Ω_{D} = (1, 2) \times (0, 1)$ ， $Γ = 1 \times (0, 1)$ 。解析解为：

${\begin{cases} u_{S} = (\begin{matrix} \sin (π x) y (y - 1) \\ x (2 x - 3) y (y - 1) \end{matrix}), p_{S} = - π x^{2} y (2 y - 1) + \frac{5 π}{12} \\ u_{D} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \sin (π x) \cos (π y) \\ \frac{1}{2} \cos (π x) \sin (π y) \end{matrix}), p_{D} = - π x^{2} y + \frac{5 π}{12} \end{cases}$ (6.1)

上述解析解满足Stokes-Darcy耦合问题(2.1)~(2.3)，其误差和相应的收敛阶如表1 所示。

Table 1 <xref></xref>Table 1. The errors and the rates of convergence of example 1Table 1. The errors and the rates of convergence of example 1 表1. 例1的误差和相应的收敛阶

(a)
h	$e_{0} (u_{S})$	$r_{0} (u_{S})$	$e_{1} (u_{S})$	$r_{1} (u_{S})$	$e_{0} (u_{D})$
1/4	6.869e−04	-	1.661e−02	-	6.272e−02
1/8	7.394e−05	3.21	4.036e−03	2.04	1.746e−02
1/16	8.176e−06	3.17	1.001e−03	2.01	4.555e−03
1/32	9.496e−07	3.05	2.497e−04	2.00	1.156e−03
(b)
h	$r_{0} (u_{D})$	$e_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$r_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$e_{0} (p)$	$r_{0} (p)$
1/4	-	6.077e−02	-	6.945e−02	-
1/8	1.84	1.508e−02	2.01	1.557e−02	2.14
1/16	1.94	3.764e−03	2.00	3.831e−03	2.04
1/32	1.98	9.406e−04	2.00	9.501e−04	2.01

6.2. 数值实验例2

Table 2 <xref></xref>Table 2. The errors and the rates of convergence of example 2Table 2. The errors and the rates of convergence of example 2 表2. 例2的误差和相应的收敛阶

(a)
h	$e_{0} (u_{S})$	$r_{0} (u_{S})$	$e_{1} (u_{S})$	$r_{1} (u_{S})$	$e_{0} (u_{D})$
1/4	3.643e−01	-	9.974e−01	-	9.155e−01
1/8	4.219e−02	3.11	2.459e−01	2.02	2.402e−01
1/16	5.025e−03	3.07	6.148e−02	2.00	6.349e−02
1/32	6.151e−03	3.03	1.526e−02	2.01	1.632e−02
(b)
h	$r_{0} (u_{D})$	$e_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$r_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$e_{0} (p)$	$r_{0} (p)$
1/4	-	5.638e−00	-	3.770e−01	-
1/8	1.93	1.371e−00	2.04	9.041e−02	2.06
1/16	1.92	3.427e−01	2.00	2.229e−02	2.02
1/32	1.96	8.568e−02	2.00	5.534e−03	2.01

在第二个数值算例中，我们设 $Ω_{S} = (0, π) \times (0, π)$ ， $Ω_{D} = (0, π) \times (- π, 0)$ ， $Γ = (0, π) \times 0$ 。解析解为：

${\begin{cases} u_{S} = (\begin{matrix} 2 \sin y \cos y \cos x \\ (\sin^{2} y - 2) \sin x \end{matrix}), p_{S} = \sin x \sin y \\ u_{D} = (\begin{matrix} - (e^{y} - e^{- y}) \cos x \\ - (e^{y} + e^{- y}) \sin x \end{matrix}), p_{D} = (e^{y} - e^{- y}) \sin x \end{cases}$ (6.2)

同样，上述解析解满足Stokes-Darcy耦合问题(2.1)~(2.3)，其误差和相应的收敛阶如表2 所示。

6.3. 数值实验例3

Table 3 <xref></xref>Table 3. The errors and the rates of convergence of example 3Table 3. The errors and the rates of convergence of example 3 表3. 例3的误差和相应的收敛阶

(a)
h	$e_{0} (u_{S})$	$r_{0} (u_{S})$	$e_{1} (u_{S})$	$r_{1} (u_{S})$	$e_{0} (u_{D})$
1/4	5.372e−01	-	1.282e−00	-	1.168e−00
1/8	3.838e−02	3.80	2.840e−01	2.17	3.370e−01
1/16	2.965e−03	3.69	6.540e−02	2.11	9.155e−02
1/32	2.791e−04	3.40	1.601e−02	2.03	2.436e−02
(b)
h	$r_{0} (u_{D})$	$e_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$r_{0} (\begin{matrix} d i v \end{matrix} u_{D})$	$e_{0} (p)$	$r_{0} (p)$
1/4	-	1.013e−00	-	1.282e−00	-
1/8	1.80	2.563e−01	1.90	3.889e−01	1.72
1/16	1.88	5.553e−02	2.20	9.672e−02	2.01
1/32	1.91	1.371e−02	2.01	2.393e−02	2.00

在第三个数值算例中，我们设 $Ω_{S} = (- \frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{4}) \times (- \frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{4})$ ， $Ω_{S} = (- \frac{5 π}{2}, \frac{5 π}{2}) \times (- \frac{5 π}{2}, \frac{5 π}{2})$ 。解析解为：

${\begin{cases} u_{S} = (\begin{matrix} \sin (x) \cos (y) \\ \cos (x) \sin (y) \end{matrix}), p_{S} = \frac{1}{2} \cos (x) \cos (y) \\ u_{D} = (\begin{matrix} \frac{32 \sqrt{2}}{375 π^{3}} (x + \frac{5 π}{2}) (x - \frac{5 π}{2}) \cos (y) \\ \frac{32 \sqrt{2}}{375 π^{3}} (y + \frac{5 π}{2}) (y - \frac{5 π}{2}) \cos (x) \end{matrix}), p_{D} = - \frac{1}{2} \cos (x) \cos (y) \end{cases}$ (6.3)

第三个例子的解析解同样满足Stokes-Darcy耦合问题(2.1)~(2.3)。在该例子中， $Ω_{S}$ 被包裹在 $Ω_{D}$ 中，并且 $Γ = \partial Ω_{S}$ 是 $Ω$ 中的一个闭环。 $u_{S}$ 在 $\partial Ω$ 上的值完全由耦合界面条件(2.3)决定，但如同理论分析一样，我们仍能得到良好的收敛性，如表3 所示。

7. 结论

本文给出了平面区域中Stokes-Darcy耦合问题的具有二阶收敛精度的统一近似格式。

相比于在两个区域上使用不同有限元空间的数值格式，虽然在两个区域上的网格剖分可以不相同，网格剖分的选择更加灵活。但两个不同有限元空间的函数在耦合界面 $Γ$ 上的迹常常无法兼容，需要添加拉格朗日乘子，以弱形式来满足耦合界面条件 $v_{h}^{D} \cdot n_{D} + v_{h}^{S} \cdot n_{S} = 0$ 。而本文提出的统一有限元格式，由于在两个区域上的有限元空间是相同的，所以当我们对整个区域 $Ω$ 进行统一剖分后，只需耦合界面 $Γ$ 上的基函数进行适当的合并，可以自然地满足耦合界面条件 $v_{h}^{D} \cdot n_{D} + v_{h}^{S} \cdot n_{S} = 0$ 。

NOTES

^*通讯作者。

References 1

Beavers, G.S. and Joseph, D.D. (1967) Boundary Conditions at a Naturally Permeable Wall. Journal of Fluid Mechanics, 30, 197-207. >https://doi.org/10.1017/s0022112067001375

Saffman, P.G. (1971) On the Boundary Condition at the Surface of a Porous Medium. Studies in Applied Mathematics, 50, 93-101. >https://doi.org/10.1002/sapm197150293

Cao, P. and Chen, J. (2022) An Extended Finite Element Method for Coupled Darcy-Stokes Problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 123, 4586-4615. >https://doi.org/10.1002/nme.7047

Gatica, G., Oyarzúa, R. and Sayas, F. (2011) Analysis of Fully-Mixed Finite Element Methods for the Stokes-Darcy Coupled Problem. Mathematics of Computation, 80, 1911-1948. >https://doi.org/10.1090/s0025-5718-2011-02466-x

Gatica, G.N., Meddahi, S. and Oyarzua, R. (2008) A Conforming Mixed Finite-Element Method for the Coupling of Fluid Flow with Porous Media Flow. IMA Journal of Numerical Analysis, 29, 86-108. >https://doi.org/10.1093/imanum/drm049

Lederer, P.L., Linke, A., Merdon, C. and Schöberl, J. (2017) Divergence-Free Reconstruction Operators for Pressure-Robust Stokes Discretizations with Continuous Pressure Finite Elements. SIAM Journal on Numerical Analysis, 55, 1291-1314. >https://doi.org/10.1137/16m1089964

Linke, A. and Merdon, C. (2016) Pressure-Robustness and Discrete Helmholtz Projectors in Mixed Finite Element Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 311, 304-326. >https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.08.018

Lv, D. and Rui, H. (2024) A Pressure-Robust Mixed Finite Element Method for the Coupled Stokes-Darcy Problem. Journal of Computational and Applied Mathematics, 436, Article ID: 115444. >https://doi.org/10.1016/j.cam.2023.115444

Nicaise, S., Ahounou, B. and Houedanou, W. (2015) Residual-Based a Posteriori Error Estimates for a Nonconforming Finite Element Discretization of the Stokes-Darcy Coupled Problem: Isotropic Discretization. Afrika Matematika, 27, 701-729. >https://doi.org/10.1007/s13370-015-0370-3

Rui, H. and Zhang, R. (2009) A Unified Stabilized Mixed Finite Element Method for Coupling Stokes and Darcy Flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, 2692-2699. >https://doi.org/10.1016/j.cma.2009.03.011

Karper, T., Mardal, K. and Winther, R. (2008) Unified Finite Element Discretizations of Coupled Darcy-Stokes Flow. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 25, 311-326. >https://doi.org/10.1002/num.20349

Armentano, M.G. and Stockdale, M.L. (2019) A Unified Mixed Finite Element Approximations of the Stokes-Darcy Coupled Problem. Computers&Mathematics with Applications, 77, 2568-2584. >https://doi.org/10.1016/j.camwa.2018.12.032

Brezzi, F., Fortin, M. and Marini, L.D. (1993) Mixed Finite Element Methods with Continuous Stresses. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 3, 275-287. >https://doi.org/10.1142/s0218202593000151

Brenner, S.C. (2008) The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer.

Adams, R.A. and Fournier, J.J. (2003) Sobolev Spaces. Elsevier.

Girault, V. and Raviart, P.A. (2012) Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms (Vol. 5). Springer Science&Business Media.