概率约束优化方法在众多实际领域取得了广泛应用，其影响力遍及计算机科学、通信网络、网络优化、能源管理等多个行业。例如，在航空和铁路调度中，概率约束优化可以帮助制定调度计划，考虑到天气变化、设备故障等不确定性因素。为了应对约束条件中的不确定因素，一种合理的策略是确保所有约束在给定的高概率水平上得到满足。接下来，我们考虑如下的概率约束优化问题 [1] ：

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\min }g\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{. Pr}\left\{c_1\left(x,\xi \right)\le 0,c_2\left(x,\xi \right)\le 0,\cdots ,c_m\left(x,\xi \right)\le 0\right\}\ge 1-\alpha \end{array}$ (JCCP)

设x是l维的决策随机向量， $x\in R^l$， $\xi$是支撑 $\Xi \subset R^k$的k维随机向量， $\alpha \in \left(0,1\right)$。其中， $g:R^l\to R$和 $c_i:R^l\times \Xi \to R,i=1,2,\cdots ，m$是实值函数并且对于 $\forall \xi \in \Xi$，函数 $g:R^l\to R$和 $c_i:R^l\times \Xi \to R,i=1,2,\cdots ，m$关于x都是凸连续可微的，设集合 $\Phi$表示问题(JCCP)的可行集。

设 $c\left(x,\xi \right)=\max \left\{c_1\left(x,\xi \right),c_2\left(x,\xi \right),\cdots ,c_m\left(x,\xi \right)\right\}$， $P\left(x\right)=1-\mathrm{Pr}\left\{c_1\left(x,\xi \right)\le 0,c_2\left(x,\xi \right)\le 0,\cdots ,c_m\left(x,\xi \right)\le 0\right\}=\mathrm{Pr}\left\{c\left(x,\xi \right)>0\right\}$。从而，问题(JCCP)就可以改写为如下形式：

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\min }g\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}p\left(x\right)\le \alpha \end{array}$ (P)

为了方便记法，将问题(P)改写为：

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\min }g\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}.\text{E}\left[1_{\left(0,+\infty \right)}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right]\le \alpha \end{array}$ (1.1)

其中， $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}1\hfill & z\in \left(0,+\infty \right)\hfill \\ 0\hfill & z\notin \left(0,+\infty \right)\hfill \end{array}$。

我们可以看到在处理问题(JCCP)时，求取特征函数的光滑近似函数至关重要。由于特征函数本身具有非光滑性质，因此，寻找特征函数的光滑近似函数成为研究该问题的重点。本文基于双曲正切函数，构建特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$的光滑近似函数。与sigmoid函数进行比较，sigmoid函数因其连续性和单调性在光滑近似中得到了广泛应用。通过分析，我们发现双曲正切近似函数在以下方面表现出了优势：

1) 收敛速度：与sigmoid函数相比，双曲正切函数在迭代初期就能更快地接近真实特征函数，从而加快了整体优化过程的收敛速度。

2) 灵活性：双曲正切函数的参数调整更为灵活，使得其在适应不同类型的概率约束优化问题时具有更高的适应性。

定义1 [2] 令 $\phi :R^2\to R^{+}$是一个非负的实值函数， $\phi \left(z,t\right)$满足以下两个条件：

1) 函数 $\phi \left(z,t\right)$是一光滑函数，其中 $t>0$是一个参数；

2) $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$。

则称函数 $\phi \left(z,t\right)$是 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$的一个光滑近似函数。

本文主要构建有如下性质的特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$， $z\in R$的光滑近似函数。

命题1 [3] 当 $t>0$时，假设函数 $\phi \left(z,t\right)$有如下性质：

对于任意 $z\in R$， $\phi \left(z,t\right)\in \left(0,1\right)$，且 $\phi \left(0,t\right)=\frac{1}{2}$。

$\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right),z\in R\backslash \left\{0\right\}$

当 $z>0$时， $\phi \left(z,t\right)$关于t单调递减；当 $z<0$时， $\phi \left(z,t\right)$关于t单调递增；

$\phi \left(z,t\right)$关于z是单调递增的。

$\phi \left(z,t\right)$关于z是无穷阶连续可微的。

下面讨论满足上述性质的特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$， $z\in R$的光滑近似函数，及其构造方法。

例1 考虑函数

$\phi \left(z,t\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}$

由 图1 、 图2 可知，当 $t\to 0$时， $\phi \left(z,t\right)$是特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$， $z\in R$的一个光滑近似函数。

构造满足上述性质的函数：

设函数 $y=\frac{{\text{e}}^z-{\text{e}}^{-z}}{{\text{e}}^z+{\text{e}}^{-z}}$， $z\in R$，这是我们常见的双曲正切函数，由双曲正切函数的性质和 图3 可知 $-1<\frac{{\text{e}}^z-{\text{e}}^{-z}}{{\text{e}}^z+{\text{e}}^{-z}}<1$。引入t， $t>0$，有 $-1<\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}<1$。对式子整体加1，可得， $0<\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}+1<2$。对式子整体乘以 $\frac{1}{2}$，得 $0<\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}<1$。设函数 $\phi \left(z,t\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}$。

验证函数 $\phi \left(z,t\right)$是否满足上述性质：

第1条：由上述构造方法可知，对于任意 $z\in R$， $\phi \left(z,t\right)\in \left(0,1\right)$；且当 $z=0$可得 $\phi \left(0,t\right)=\frac{1}{2}$。

第2条：判断当 $z\in R\backslash \left\{0\right\}$时，是否有 $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$成立。

当 $z>0$时， $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}\stackrel{u={\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{=}\underset{u\to +\infty }{\lim }\frac{u-\frac{1}{u}}{2\left(u+\frac{1}{u}\right)}+\frac{1}{2}=1$。

当 $z<0$时， $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}\stackrel{u={\text{e}}^{\frac{z}{t}}}{=}\underset{u\to 0}{\lim }\frac{u-\frac{1}{u}}{2\left(u+\frac{1}{u}\right)}+\frac{1}{2}=0$。

第3条：判断当 $z>0$时， $\phi \left(z,t\right)$是否关于t单调递减；当 $z<0$时， $\phi \left(z,t\right)$是否关于t单调递增。

$\phi \left(z,t\right)=\frac{{\text{e}}^{\frac{z}{t}}-{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}}{2\left({\text{e}}^{\frac{z}{t}}+{\text{e}}^{-\frac{z}{t}}\right)}+\frac{1}{2}$.

首先，我们将计算 $\phi \left(z,t\right)$关于t的偏导数。计算得到 $\phi \left(z,t\right)$关于t的导数为：

$\frac{\partial \phi }{\partial t}=-\frac{2z{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}}{t^2\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)}$.

接下来，我们需要分析这个导数的符号。当 $z>0$时，由于 $t>0$，我们可以得到分子 $2z{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}$总是正的，分母 $t^2\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)$也总是正的，因此，导数 $\frac{\partial \phi }{\partial t}=-\frac{2z{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}}{t^2\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)}$总是负的，即当 $z>0$时， $\phi \left(z,t\right)$是否关于t单调递减。同理可得，当 $z<0$时， $\phi \left(z,t\right)$是否关于t单调递增。

第4条：判断 $\phi \left(z,t\right)$关于z是否是单调递增的。

首先，我们需要计算函数 $\phi \left(z,t\right)$关于z的导数，计算得到函数 $\phi \left(z,t\right)$关于z的导数为： $\frac{\text{d}\phi }{\text{d}z}=\frac{2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}}{t\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)}$。

接下来，我们需要分析这个导数的符号。由于 $t>0$，我们可以看到分母 $t\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)$总是正的，分子 $2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}$也总是正的。因此，导数 $\frac{\text{d}\phi }{\text{d}z}=\frac{2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}}{t\left({\text{e}}^{\frac{4z}{t}}+2{\text{e}}^{\frac{2z}{t}}+1\right)}$总是正的，即 $\phi \left(z,t\right)$关于z是单调递增的。

第5条：判断 $\phi \left(z,t\right)$关于z是否是无穷阶连续可微的。

要判断 $\phi \left(z,t\right)$是否关于z是无穷阶连续可微的，我们需要考虑其组成部分：指数函数 ${\text{e}}^{\frac{z}{t}}$和 ${\text{e}}^{-\frac{z}{t}}$。由于指数函数 ${\text{e}}^x$对于所有实数x都是无穷阶连续可微的，且 $\phi \left(z,t\right)$是由指数函数的组合构成的(通过加法、减法、乘法和除法)，因此 $\phi \left(z,t\right)$也是无穷阶连续可微的。

综上， $\phi \left(z,t\right)$是特征函数 $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$， $z\in R$的一个光滑近似函数。

设 $\bar{p}\left(x,t\right):=E\left[\phi \left(z,t\right)\right]=E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]$，并且有 $\bar{p}\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\bar{p}\left(x,t\right)$。从而我们可以建立问题(P)的近似问题 [1] ：

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\min }g\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}.\bar{p}\left(x\right)\le \alpha \end{array}$ ( $\bar{\text{P}}$)

接下来，为了证明问题(P)与问题( $\bar{\text{P}}$)等价，给出以下假设：

假设1 集合X是 ${ℝ}^l$的紧致凸子集，并且随机变量 $\xi$的支撑集 $\Xi \in R^n$是 $R^k$闭子集。对于任意的 $\xi \in R^n$，函数 $g\left(x\right)$和 $c_i\left(x,\xi \right)$， $i=1,\cdots ,m$，关于 $\forall x\in D$都是凸连续可微的，其中D是集合X一个有界的开集。

假设2 对于 $\forall x\in R^l$，函数 $c\left(x,\cdot \right)$都是可测的，并且 $c\left(x,\cdot \right)$对于几乎所有的 $\xi \in \Xi$都是连续的。

假设3 对于任意 $\bar{x}\in X$，集合 $\left\{\xi \in \Xi :c\left(\bar{x},\xi \right)=0\right\}$的P测度为零，即 $c\left(\bar{x},\xi \right)\ne 0$几乎必然成立。

定理1 [4] ：若假设1~3成立。那么，对于任何 $x\in X$和 $t>0$，有 $\underset{t\to 0}{\lim }\bar{p}\left(x,\mu \right)=p\left(x\right)$成立，即问题(P)与问题( $\bar{\text{P}}$)等价。

证明：令 $z=c\left(x,\xi \right)$，由例1和Lebsgue收敛定理可知，

$\begin{array}{c}\bar{p}\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\bar{p}\left(x,t\right)=\underset{t\to 0}{\lim }E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]=\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Xi }\phi }\left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}P\left(\xi \right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\Xi }\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}P\left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_{\Xi }{I}_{\left(0,+\infty \right)}}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\text{d}P\left(\xi \right)=E\left[I_{\left(0,+\infty \right)}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right]=P\left(x\right)\end{array}$

从而，问题(P)与问题( $\bar{\text{P}}$)等价。