虚拟纽结理论作为经典纽结理论的推广，是将圆嵌入到亏格可能大于零的加厚可定向的曲面上，而经典纽结理论则是亏格为零的情况。虚拟纽结图是一个由经典交叉点和虚拟交叉点共同构成的4价的平面图，如 图1 为经典交叉点和虚拟交叉点。

R变换是虚拟纽结理论中最基本的变换，这三种变换形式具体为 $v{R}_1$变换、 $v{R}_2$变换、 $v{R}_3$变换。虚拟纽结借助经典R变换和虚拟R变换确定两个虚拟纽结图的等价性。Virtual Reidemeister变换的具体变换形式如 图2 所示。

设K是一个有向的虚拟纽结，D为虚拟纽结图。设 $C\left(D\right)$为虚拟纽结图D中所有经典交叉点的集合。任意的经典交叉点 $c\in C\left(D\right)$的符号如 图3 所示，记为 $\mathrm{sgn}\left(c\right)$。

沿虚拟纽结图D方向的两个连续经典交叉点之间的边称为弧，弧上有可能包含许多虚拟交叉点。给定一个整数值，对于D中每个经典交叉点和虚拟交叉点周围的弧按照 图4 所示进行整数标记，称为Cheng着色。

对虚拟纽结图D中每个经典交叉点 $c\in C\left(D\right)$分配权重，称为经典交叉点的指标值，记为 $W_D\left(c\right)$，满足：

$W_D\left(c\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)$ (2.1)

虚拟纽结图D的Affine index多项式定义为：

$P_D\left(t\right)={\displaystyle \underset{c\in C\left(D\right)}{\sum }\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(t^{W_D\left(c\right)}-1\right)}$ (2.2)

通过反转有向虚拟纽结图D的方向得到D的逆，记为 $\bar{D}$；通过转换所有经典交叉点的上下信息得到D的镜像，记为 $D^{*}$。

性质1 D和 $\bar{D}$的Affine index多项式满足： $P_{\bar{D}}\left(t\right)=P_D\left(t^{-1}\right)$。

性质2 D和 $D^{*}$的Affine index多项式满足： $P_{D^{*}}\left(t\right)=-P_D\left(t\right)$。

性质3 若D是经典纽结的投影图，则 $P_D\left(t\right)=0$。

对于任意的正整数 $n\left(n\ge 1\right)$，设 $v{K}_n$为 图5 所示的虚拟纽结，由n个块组成。

定理3.1 虚拟纽结 $v{K}_n$的Affine index多项式的表达式为：

$P_{v{K}_n}\left(t\right)=\left(1-3n\right)t^{-1}+t^{-2}+\left(n-1\right)t^{-3}+2n-1$

证明 将 $v{K}_n$的每一块记为 $C_i\left(0\le i\le n-1\right)$，并且 $C_i^k$表示第i块的第k个经典交叉点。对 $v{K}_n$的经典交叉点按照 图4 所示规则进行整数标记，首先选择某一弧段标记为整数a，按照Cheng着色的规则，将 $v{K}_n$的其余弧段表示出来。首先对 $C_0$的整数标记如 图6 所示。

根据 图6 所示的标记，进一步得到经典交叉点 $C_0^k\left(1\le k\le 5\right)$的指标值 $W_{v{K}_n}\left(C_0^k\right)$如 表1 所示：

其次对 $C_1-C_{n-1}$的每个经典交叉点的整数标记如 图7 所示。

通过 图7 得出经典交叉点 $C_i^k\left(1\le i\le n-1;1\le k\le 6\right)$周围弧段的整数标记如 图8 所示。

进一步得到经典交叉点 $C_i^k\left(1\le i\le n-1;1\le k\le 6\right)$的指标值 $W_{v{K}_n}\left(C_i^k\right)$如 表2 所示：

根据 $v{K}_n$所有经典交叉点的sgn值和 $W_{v{K}_n}\left(C_i^k\right)$值得到其Affine Index多项式 $P_{v{K}_n}\left(t\right)$为：

$\begin{array}{c}{P}_{v{K}_n}\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}\mathrm{sgn}\left(C_0^i\right)\left(t^{W_{Kn}\left(C_0^i\right)}-1\right)}+{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}1\le i\le n-1\\ 1\le j\le 6\end{array}}{\sum }\mathrm{sgn}\left(C_i^j\right)\left(t^{W_{Kn}\left(C_i^j\right)}-1\right)}\\ =-2t^{-1}+t^{-2}+1+{\displaystyle \underset{1\le i\le n-1}{\sum }\left[3\mathrm{sgn}\left(C_i^4\right)\left(t^{W_{Kn}\left(C_i^4\right)}-1\right)+\mathrm{sgn}\left(C_i^5\right)\left(t^{W_{K_n}\left(C_i^5\right)}-1\right)\right]}\\ =-2t^{-1}+t^{-2}+1+\left(n-1\right)\left(-3t^{-1}+t^{-3}+2\right)\\ =\left(1-3n\right)t^{-1}+t^{-2}+\left(n-1\right)t^{-3}+2n-1\end{array}$