下面定理指出细分格式(3.1)的连续性。

定理1. 细分格式(3.1)最高可达 $C^2$连续。

证明：由引理2.2知细分格式S若 $C^n$连续，需存在 $S_{n+1}$并有正整数L使得 ${\Vert {\left(\frac{1}{m}{S}_{n+1}\right)}^L\Vert }_{\infty }<1$，同时

${\Vert {\left(\frac{1}{m}{S}_{n+1}\right)}^L\Vert }_{\infty }=\max \left\{{\displaystyle {\sum }_{j\in Z}\left|a_{i+m^{L}j}^{\left[n+1,L\right]}\right|},j=0,1,\cdots ,m^L-1\right\}$,

$a^{\left[n+1,L\right]}\left(z\right)={\displaystyle {\sum }_{i,j}{a}_{i+m^{L}j}^{\left[n+1,L\right]}{z}^{i+m^{L}j}}=\frac{1}{m^L}{\displaystyle {\prod }_{j=0}^{L-1}{a}^{\left(n+1\right)}\left(z^{m^j}\right)}$.

经过计算得到该细分格式的生成函数为

$\begin{array}{c}a\left(z\right)=\frac{z^{-14}}{18000}\left(1+z\right){\left(1+z+z^2+z^3+z^4\right)}^4(103z^4-709z^5+1284z^6-709z^7+103z^8\\ +144z^3\mu -704z^4\mu +1520z^5\mu -1920z^6\mu +1520z^7\mu -704z^8\mu +144z^9\mu \\ +144\omega +576z\omega -4896z^2\omega +4896z^3\omega +18064z^4\omega -57568z^5\omega +77568z^6\omega \\ -57568z^7\omega +18064z^8\omega +4896z^9\omega -4896z^{10}\omega +576z^{11}\omega +144z^{12}\omega ).\end{array}$

再由引理2.1有：

$\begin{array}{c}{a}^{\left(1\right)}\left(z\right)=\frac{1}{3600}\left(1+z\right){\left(1+z+z^2+z^3+z^4\right)}^3(103z^4-709z^5+1284z^6-709z^7+103z^8\\ +144z^3\mu -704z^4\mu +1520z^5\mu -1920z^6\mu +1520z^7\mu -704z^8\mu +144z^9\mu \\ +144\omega +576z\omega -4896z^2\omega +4896z^3\omega +18064z^4\omega -57568z^5\omega +77568z^6\omega \\ -57568z^7\omega +18064z^8\omega +4896z^9\omega -4896z^{10}\omega +576z^{11}\omega +144z^{12}\omega )\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}^{\left(2\right)}\left(z\right)=\frac{1}{720}\left(1+z\right){\left(1+z+z^2+z^3+z^4\right)}^2(103z^4-709z^5+1284z^6-709z^7+103z^8\\ +144z^3\mu -704z^4\mu +1520z^5\mu -1920z^6\mu +1520z^7\mu -704z^8\mu +144z^9\mu \\ +144\omega +576z\omega -4896z^2\omega +4896z^3\omega +18064z^4\omega -57568z^5\omega +77568z^6\omega \\ -57568z^7\omega +18064z^8\omega +4896z^9\omega -4896z^{10}\omega +576z^{11}\omega +144z^{12}\omega )\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}^{\left(3\right)}\left(z\right)=\frac{1}{144}\left(1+z\right)\left(1+z+z^2+z^3+z^4\right)(103z^4-709z^5+1284z^6-709z^7+103z^8\\ +144z^3\mu -704z^4\mu +1520z^5\mu -1920z^6\mu +1520z^7\mu -704z^8\mu +144z^9\mu \\ +144\omega +576z\omega -4896z^2\omega +4896z^3\omega +18064z^4\omega -57568z^5\omega +77568z^6\omega \\ -57568z^7\omega +18064z^8\omega +4896z^9\omega -4896z^{10}\omega +576z^{11}\omega +144z^{12}\omega )\end{array}$

则可以计算得到

$\begin{array}{c}{\Vert \frac{1}{5}{S}_1\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{16\left|\omega \right|+3\left|16\omega +11\right|+\left|32\omega +233\right|}{1000},\frac{1}{18000}(3\left|128\mu -6784\omega +83\right|+\left|-128\mu +6400\omega +103\right|\\ +3\left|-128\mu +7552\omega +1291\right|+\left|-128\mu +9856\omega +625\right|+1152\left|\omega \right|),\frac{1}{1000}(2\left|12\mu -708\omega +107\right|\\ +\left|8\mu -616\omega +17\right|+8\left|\mu -50\omega \right|+3\left|-8\mu +424\omega +1\right|+72\left|\omega \right|),\frac{1}{1000}(2\left|12\mu -708\omega +107\right|\\ +\left|8\mu -616\omega +17\right|+8\left|\mu -50\omega \right|+3\left|-8\mu +424\omega +1\right|+72\left|\omega \right|),\frac{1}{18000}(3\left|128\mu -6784\omega +83\right|\\ \stackrel{}{}+\left|-128\mu +6400\omega +103\right|+3\left|-128\mu +7552\omega +1291\right|+\left|-128\mu +9856\omega +625\right|+1152\left|\omega \right|)\}.\end{array}$

求解不等式 ${\Vert \frac{1}{5}{S}_1\Vert }_{\infty }<1$可得

$-\frac{383}{216}<\omega \le -\frac{193}{144},\frac{-2483+6400\omega }{128}<\mu <\frac{193+744\omega }{12};$

$-\frac{193}{144}<\omega \le -\frac{259}{288},\frac{-2483+6400\omega }{128}<\mu <\frac{193+944\omega }{16};$

$-\frac{259}{288}<\omega \le 0,\frac{-853+3632\omega }{64}<\mu <\frac{193+944\omega }{16};$

$0<\omega \le \frac{227}{324},\frac{-853+3776\omega }{64}<\mu <\frac{193+908\omega }{16};$

$\frac{227}{324}<\omega \le \frac{201}{128},\frac{-853+3776\omega }{64}<\mu <\frac{403+1200\omega }{24};$

$\frac{201}{128}<\omega <\frac{371}{192},\frac{-2309+7936\omega }{128}<\mu <\frac{403+1200\omega }{24}.$

因此参数满足以上任意种情况时细分格式(3.1) $C^0$连续。

同理，计算可得

$\begin{array}{c}{\Vert \frac{1}{5}{S}_2\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{1}{450}\left(2\left|-8\mu +418\omega +25\right|+\left|-16\mu +1052\omega +41\right|+\left|-32\mu +1744\omega +181\right|+144\left|\omega \right|\right),\\ \frac{1}{450}(2\left|-8\mu +418\omega +25\right|+\left|-16\mu +1052\omega +41\right|+\left|-32\mu +1744\omega +181\right|+144\left|\omega \right|),\\ \frac{1}{3600}\left(2\left|272\mu -14824\omega +149\right|+\left|-272\mu +13600\omega +103\right|+\left|-272\mu +18496\omega +319\right|+2448\left|\omega \right|\right),\\ \frac{1}{25}\left(2\left|\mu -41\omega \right|+\left|-2\mu +82\omega +5\right|\right),\frac{1}{3600}(2\left|272\mu -14824\omega +149\right|+\left|-272\mu +13600\omega +103\right|\\ \stackrel{}{}+\left|-272\mu +18496\omega +319\right|+2448\left|\omega \right|)\}.\end{array}$

令不等式 ${\Vert \frac{1}{5}{S}_2\Vert }_{\infty }<1$，当参数满足以下任意种情况时细分格式(3.1) $C^1$连续：

$-\frac{3119}{7344}<\omega \le -\frac{23}{68},\left(-5+41\omega \right)<\mu <\frac{1759+18496\omega }{272};$

$-\frac{23}{68}<\omega \le -\frac{71}{432},\left(-5+41\omega \right)<\mu <\frac{931+16048\omega }{272};$

$-\frac{71}{432}<\omega \le 0,\frac{-89+1744\omega }{32}<\mu <\frac{931+16048\omega }{272};$

$0<\omega \le \frac{1}{6},\frac{-89+1888\omega }{32}<\mu <\frac{931+14824\omega }{272};$

$\frac{1}{6}<\omega \le \frac{241}{544},\frac{-89+1888\omega }{32}<\mu <\frac{1543+11152\omega }{272};$

$\frac{241}{544}<\omega <\frac{47}{102},\frac{-1841+18496\omega }{272}<\mu <\frac{1543+11152\omega }{272}.$

为分析其是否 $C^2$连续，计算得

$\begin{array}{c}{\Vert \frac{1}{5}{S}_3\Vert }_{\infty }=\max \{\frac{1}{720}\left(\left|-400\mu +20144\omega +503\right|+\left|-400\mu +23456\omega +647\right|+3600\left|\omega \right|\right),\\ \frac{1}{5}\left(\left|1-12\omega \right|+12\left|\omega \right|\right),\frac{1}{720}\left(\left|-400\mu +20144\omega +503\right|+\left|-400\mu +23456\omega +647\right|+3600\left|\omega \right|\right),\\ \frac{1}{720}\left(\left|272\mu -16048\omega +41\right|+144\left|\mu -24\omega \right|+\left|-416\mu +19504\omega +103\right|\right),\\ \frac{1}{720}\left(\left|272\mu -16048\omega +41\right|+144\left|\mu -24\omega \right|+\left|-416\mu +19504\omega +103\right|\right)\}.\end{array}$

求解不等式 ${\Vert \frac{1}{5}{S}_3\Vert }_{\infty }<1$可得当参数满足以下情况中的一种时，细分格式 $C^2$连续：

$-\frac{11}{112}<\omega <-\frac{203}{2080},\left(-2+24\omega \right)<\mu <\frac{23+944\omega }{16};$

$-\frac{203}{2080}\le \omega \le -\frac{23}{560},\frac{43+4000\omega }{80}<\mu <\frac{23+944\omega }{16};$

$-\frac{23}{560}<\omega \le 0,\frac{43+4000\omega }{80}<\mu <\frac{391+19504\omega }{416};$

$0<\omega \le \frac{93}{2800},\frac{43+4720\omega }{80}<\mu <\frac{391+19504\omega }{416};$ (3.2)

定理2：五重七点细分格式(3.1)的多项式可以再生3次多项式。

证明：根据引理2.3，对该细分生成多项式 $a\left(z\right)$求一阶导数，并带入 $z=1$可得 $\tau =\frac{a^{\prime }\left(1\right)}{5}=\frac{1}{2}$。经计算可得： $a\left(1\right)=5$， $\frac{1}{5}{a}^{\prime }\left(1\right)=\tau$， $\frac{1}{5}{a}^{″}\left(1\right)=-\frac{1}{4}=\tau \left(\tau -1\right)$， $\frac{1}{5}{a}^{‴}\left(1\right)=\frac{3}{8}=\tau \left(\tau -1\right)\left(\tau -2\right)$， $\frac{1}{5}{a}^{\left(4\right)}\left(1\right)=-\frac{15}{16}=\frac{-5999+1600\mu -65600\omega }{30}$。由此推出五重七点细分格式的多项式对任意参数均可以再生3次。

只考虑参数 $\mu$对曲线的影响，根据(3.2)取参数 $\omega =0.03$，计算得到当 $-\frac{151117}{8000}<\mu <\frac{12561}{2000}$时，生成曲线有 $C^0$连续性； $-\frac{32489}{4000}<\mu <-\frac{80213}{34000}$时，生成曲线有 $C^1$连续性； $-\frac{544}{125}<\mu <-\frac{8689}{2000}$时，生成曲线有 $C^2$连续连续性。 图1 左侧自上而下给出了 $\omega =0.03$时， $\mu$的取值不同细分曲线连续性受到的影响。同理当 $\mu =\frac{3}{5}$， $\frac{917}{4720}<\omega <\frac{4457}{18880}$时，生成曲线有 $C^0$连续性； $\frac{3839}{80240}<\omega <\frac{541}{9440}$时，生成曲线有 $C^1$连续性； $\frac{707}{97520}<\omega <\frac{1}{944}$时，生成曲线有 $C^2$连续性。 图1 右侧自上而下给出了当参数 $\mu =\frac{3}{5}$时， $\omega$的取值不同细

分曲线连续性受到的影响。从 图1 可以看出：当 $\omega$固定时， $\mu$越小极限曲线越来越接近初始控制网格，有扩张趋势；当 $\mu$固定时， $\omega$越小曲线越光滑。其中初始控制网格均为蓝色，极限曲线均为红色。

图1. 不同参数下的细分实例

图2 为 $\omega =\frac{3}{1000},\mu =\frac{4}{5}$时，控制网格生成的极限曲线与其局部区域。第一行对蓝色控制网格加细1次，第二行加细6次，第三行加细8次。初始控制网格均为蓝色，极限曲线均为红色。

图2. 不同加细次数对控制多边形的影响(1次、6次、8次)

图3. 对控制多边形加细1次、6次、8次(自上而下)

图3 为 $\omega =\frac{3}{1000},\mu =\frac{17}{20}$时，控制网格生成的极限曲线与其局部区域。第一行为加细1次，第五行为

加细6次，第六行为加细8次。初始控制网格均为蓝色，极限曲线均为红色。 $\omega$相同，参数 $\mu$的不同影响着对细分曲线的灵活控制程度。 图2 ， 图3 介绍了不同的迭代次数对曲线的影响，迭代次数越高，光滑度越好。