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Advances in Applied Mathematics

2324-7991 2324-8009

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10.12677/aam.2025.141038

aam-106480

Articles

数学与物理

一类链环的Writhe多项式及性质
The Writhe Polynomials and Properties of a Class of Links

刘芷夷

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

08 01 2025

14 01 386 396 27 12 ：2024 18 12 ：2024 18 1 ：2025

2024

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Writhe多项式在虚拟纽结理论中占据一定地位。Writhe多项式与虚拟纽结的虚拟交叉点数下界存在一定联系，并可以找到与利用奇writhe多项式和Henrich的多项式中任何一个判断出来的forbidden数下界相比一样强或更强的下界。本文针对给出的一类虚拟纽结，计算出其writhe多项式并利用writhe多项式和二阶writhe多项式研究其虚拟交叉点数的下界和forbidden数的下界，同时还讨论了writhe多项式和二阶writhe多项式对该类虚拟纽结和其突变体的影响。
The writhe polynomial occupies a certain position in virtual knot theory. The writhe polynomial has some relationship with the virtual crossing number lower bound of the virtual knot, and can find a lower bound as strong or stronger than the forbidden number lower bound judged using either of the odd writhe polynomial and Henrich’s polynomial. In this paper, writhe polynomials are calculated for a class of virtual knots, the writhe polynomial and the second-order writhe polynomial are used to study a lower bound of virtual crossing number and a lower bound of the forbidden number for a class of virtual knots, and the effects of the writhe polynomial and the second-order writhe polynomial on the virtual knots and their mutants are also discussed.

高斯图，Writhe多项式，突变体
Gauss Diagrams
Writhe Polynomial Mutant

1. 引言

Kauffman [1] 于1996年引入虚结理论，以图解和几何方式研究高斯编码。2013年Cheng and Cao [2] 给出了writhe多项式 $W_{K} (t)$ 的定义并证明 $W_{K} (t)$ 是一个虚结不变量。Crans，Ganzell and Blake Mellor [3] 根据交叉点数找到了forbidden数的上界，根据Cheng的奇writhe多项式 [4] 找到了下界。Sakurai [5] 利用Henrich [6] 的多项式发现了另一个(通常更强的)下界。由于奇writhe多项式和Henrich的多项式都是由writhe多项式 $W_{K} (t)$ 导出的，因此可以使用writhe多项式找到与利用它们中的任何一个得到的下界相比一样强(或更强)的下界。2016年Blake Mellor [7] 给出了writhe多项式 $W_{K} (t)$ 与虚拟纽结的虚拟交叉点数的关系，定义了二阶writhe多项式 $V_{K} (t)$ ，同时又在找出虚拟纽结forbidden数的下界以及一些情况下利用 $V_{K} (t)$ 区分虚拟纽结及其突变体方面给出了相关结论与方法。

本文的组织结构为：在第2节中，我们回顾了虚拟纽结和高斯图的相关定义，以及writhe多项式的定义。此外，在这一节中还回顾了writhe多项式与虚拟纽结的虚拟交叉点数的下界和forbidden数的下界的关系，在第3节中，对于给出的一类虚拟纽结利用writhe多项式和二阶writhe多项式研究其虚拟交叉点数的下界和forbidden数的下界并给出结果，在第4节中，讨论了writhe多项式和二阶writhe多项式对该类虚拟纽结和其突变体的影响。在第5节中，对本文的主要研究结果进行总结。

2. 预备知识 2.1. 虚拟纽结图等价<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-7"> [7] </xref>

虚拟纽结图中包含经典交叉点(正/负交叉点)和虚拟交叉点，如图1 所示。如果两个虚拟纽结图可由图2 所示的一系列Reidemeister moves联系起来，则它们是等价的。

Figure 1 Figure 1. The crossings of three types in the virtual knot diagram--图1. 虚拟纽结图中三种类型的交叉点-- 2.2. 广义Reidemeister Moves <xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-8"> [8] </xref>

虚拟Reidemeister moves是由经典Reidemeister moves推广而来的。广义Reidemeister moves包括经典Reidemeister moves和虚拟Reidemeister moves，变换方式如图2 所示。

Figure 2 Figure 2. Generalized Reidemeister moves--图2. 广义Reidemeister moves-- 2.3. 高斯图及相关指标<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-7"> [7] </xref>

高斯图G由有向圆 $S^{1}$ 和m个( $m \geq 0$ )有符号的有向弦组成，这些弦连接 $S^{1}$ 上的2m个点，这2m个点对应高斯代码中的2m个三元组，弦的方向是由上交叉点指向下交叉点，并用弦对应的交叉点的符号标记该弦。

设 $c = \vec{P Q}$ 是G中符号为 $ε (c)$ ，方向从P指向Q的弦，分别用 $ε (P)$ 和 $ε (Q)$ 表示端点P，Q的符号，使得 $ε (P) = - ε (c)$ ， $ε (Q) = ε (c)$ 。现令 $α$ 为 $S^{1}$ 上从P指向Q的弧， $β$ 为 $S^{1}$ 上从Q到P的弧( $α, β$ 均遵循 $S^{1}$ 的方向)，如图3 所示。

Figure 3 Figure 3. Gauss diagram--图3. 高斯图--

c的右上指标：弧 $α$ 上所有上交叉点的符号的和，记作 $R O (c)$ ；

c的右下指标：弧 $α$ 上所有下交叉点的符号的和，记作 $R U (c)$ ；

c的左上指标：弧 $β$ 上所有上交叉点的符号的和，记作 $L O (c)$ ；

c的左下指标：弧 $β$ 上所有下交叉点的符号的和，记作 $L U (c)$ ；

c的指标，记作 $I n d (c)$ ： $I n d (c) = R O (c) + R U (c) = - L O (c) - L U (c)$ 。

2.4. 拧数<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-7"> [7] </xref>

给定一个纽结图D，图D中所有交叉点的符号之和称为D的拧数，记作 $W r (D)$ 。

2.5. n-拧数<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-9"> [9] </xref>

给定一个纽结图D，图D中所有 $I n d = n$ 的交叉点的符号的和称为n-拧数，记作 $ω_{n} (D)$ ，即

$ω_{n} (D) = \sum_{I n d (c) = n} ε (c)$ 。

2.6. Writhe多项式<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-7"> [7] </xref>

对于具有图D的任意虚拟纽结K，定义 $ω_{n} (K) = ω_{n} (D)$ $(n \neq 0)$ ， $ω_{0} (K) = ω_{0} (D) - W r (D)$ ，则K的

writhe多项式 $W_{K} (t)$ 定义为 $W_{K} (t) = \sum_{n \in Z} ω_{n} (K) t^{n}$ 。

2.7. 虚拟交叉点数<xref ref-type="bibr" rid="hans.106480-8"> [8] </xref>

给定一个虚拟纽结图D，设 $v c (D)$ 为D的虚拟交叉点数，则对于虚拟纽结K，K的虚拟交叉点数定义为表示K的所有图D中 $v c (D)$ 的最小值，记作 $v c (K)$ 。

3. 一类虚拟纽结的虚拟交叉点数的下界和Forbidden数的下界

定理3.1 [7] 若K是虚拟纽结，则 $W_{K} (t)$ 的宽度 $\leq 2 v c (K)$ ，其中 $W_{K} (t)$ 的宽度是 $W_{K} (t)$ 中t的最大幂次和最小幂次之差。

如果通过 $W_{K} (t) = (t - 1) {W^{'}}_{K} (t)$ 来定义 ${W^{'}}_{K} (t)$ ，则有以下定理：

定理3.2 [7] 设K是虚拟纽结，并且有 ${W^{'}}_{K} (t) = \sum b_{i} t^{i}$ ，则K的forbidden数以 $\frac{1}{2} \sum | b_{i} |$ 为下界。

在上述两个定理的基础上，本节研究了关于给定的一类虚拟纽结K的虚拟交叉点数的下界以及forbidden数的下界情况。

定理3.3 给定虚拟纽结K如图4 所示，关于 $v c (K)$ 的下界和K的forbidden数的下界情况：

Figure 4 Figure 4. Knot diagram and Gauss diagram for virtual knot K--图4. 虚拟纽结K的纽结图和高斯图--

证明首先，我们需要求出K的writhe多项式 $W_{K} (t)$ 。根据图4 中K的纽结图可画出对应高斯图，通过高斯图可得到K中各交叉点的指标值和符号，结果如表1 所示。

Table 1 <xref></xref>Table 1. The index value and sign of each crossing in the virtual knot KTable 1. The index value and sign of each crossing in the virtual knot K 表1. 虚拟纽结K中各交叉点的指标值和符号

$c_{i}$	$I n d (c_{i})$	$ε (c_{i})$
$1 \leq i \leq k$	1	+1
$i = k + 1$	$k - 2$	−1
$i = k + 2$	1	+1
$i = k + 3$	2	−1
$i = k + 4$	−1	+1

将表中数据代入 $W_{K} (t) = \sum_{n \in Z} ω_{n} (K) t^{n}$ ，计算出

$W_{K} (t) = k t - t^{k - 2} + t - t^{2} + t^{- 1} - k = - t^{k - 2} - t^{2} + (k + 1) t + t^{- 1} - k$ 。

接下来根据定理3.1和定理3.2，分别讨论 $v c (K)$ 的下界和K的forbidden数的下界情况。

先讨论 $v c (K)$ 的下界：

(1) 当 $- 1 \leq k - 2 \leq 2$ 时，即 $1 \leq k \leq 4$ ， $W_{K} (t)$ 的宽度等于3，则有 $v c (K) \geq \frac{3}{2}$ ；

(2) 当 $k - 2 > 2$ 时，即 $k > 4$ ， $W_{K} (t)$ 的宽度等于 $(k - 2) - (- 1)$ ，即 $k - 1$ ，则有 $v c (K) \geq \frac{k - 1}{2}$ 。

通过上述过程，整理得出如下结论：

(i) 对于 $1 \leq k \leq 4$ ， $v c (K) \geq \frac{3}{2}$ ；

(ii) 对于 $k > 4$ ， $v c (K) \geq \frac{k - 1}{2}$ 。

接下来讨论K的forbidden数的下界：

(1) 当 $k - 2 = - 1$ 时，即 $k = 1$ ，此时 $W_{K} (t) = - t^{2} + 2 t - 1 = (t - 1) (1 - t)$ ，则 ${W^{'}}_{K} (t) = 1 - t$ ；

(2) 当 $k - 2 = 0$ 时，即 $k = 2$ ，此时 $W_{K} (t) = - t^{2} + 3 t + t^{- 1} - 3 = (t - 1) (- t^{- 1} - t + 2)$ ，则 ${W^{'}}_{K} (t) = - t^{- 1} - t + 2$ ；

(3) 当 $k - 2 = 1$ 时，即 $k = 3$ ，此时 $W_{K} (t) = - t^{2} + 3 t + t^{- 1} - 3 = (t - 1) (- t^{- 1} - t + 2)$ ， ${W^{'}}_{K} (t)$ 结果与上一情况相同；

(4) 当 $k - 2 = 2$ 时，即 $k = 4$ ，此时 $W_{K} (t) = - 2 t^{2} + 5 t + t^{- 1} - 4 = (t - 1) (- t^{- 1} - 2 t + 3)$ ，则 ${W^{'}}_{K} (t) = - t^{- 1} - 2 t + 3$ ；

(5) 当 $k > 4$ 时，此时

$W_{K} (t) = - t^{k - 2} - t^{2} + (k + 1) t + t^{- 1} - k = (t - 1) (- \sum_{i = 2}^{k - 3} t^{i} - 2 t - t^{- 1} + (k - 1))$ ，

则 ${W^{'}}_{K} (t) = - \sum_{i = 2}^{k - 3} t^{i} - 2 t - t^{- 1} + (k - 1)$ 。

通过上述讨论，结合定理3.2可整理得出以下结论：

(i) 对于 $k = 1, 2$ ，K的forbidden数的下界为k；

(ii) 对于 $k \geq 3$ ，K的forbidden数的下界为 $k - 1$ 。 □

$V_{K} (t)$ 也有关于forbidden数的信息，有时 $W_{K} (t)$ 平凡，可用 $V_{K} (t)$ 判断。下面简单介绍 $V_{K} (t)$ 。先给出弦对的交替构型，即当我们绕边界圆一周时，它们的端点将出现上交叉点和下交叉点交替的情况。如图5 所示，两条弦会有两种交替构型。同理，对于三条弦则有五种交替构型。

Figure 5 Figure 5. Alternating configurations of pairs of chords--图5. 弦对的交替构型--

给定虚拟纽结图D，设 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 为结构A和B中弦对的集合(如图5 所示)。定义 [7]

$\begin{array}{l} V_{D} (t) = \frac{W r (D) (W r (D) + 1)}{2} + {\sum_{c} ε (c) t}^{I n d (c)} [L O (c) - (\frac{1 + ε (c)}{2})] \\ + \sum_{{c_{i}, c_{j}} \in S_{1}} ε (c_{i}) ε (c_{j}) t^{I n d (c_{i}) + I n d (c_{j})} - \sum_{{c_{i}, c_{j}} \in S_{2}} ε (c_{i}) ε (c_{j}) t^{I n d (c_{i}) + I n d (c_{j})} . \end{array}$

命题3.1 [7] 假设K是一个forbidden数为1的虚拟纽结，那么 $V_{K} (t)$ 最多可以写成4项，其中最多两项涉及到t的偶次幂，最多两项涉及到t的奇次幂。

例3.1 [7] 设虚拟纽结 $K_{1}$ 如图6 所示，图7 为对应高斯图，计算得 $W_{K_{1}} (t) = 0$ ， $W_{K_{1}} (t)$ 平凡，而此时 $V_{K_{1}} (t)$ 是非平凡的， $V_{K_{1}} (t) = t^{2} - 2 t - 2 t^{- 1} + t^{- 2} + 2$ ，由命题3.1可得， $K_{1}$ 的forbidden数≥2。而根据 $K_{1}$ 对应的高斯图可知，只需两次forbidden变换就可实现解结操作，因此该虚拟纽结 $K_{1}$ 的forbidden数为2。

4. 正旋转突变和正反射突变

Folwaczny和Kauffman [10] 表明writhe多项式可以区分某些正旋转突变对，但不能区分正反射突变对，而二阶writhe多项式有时可以区分正反射突变对。下面我们分析writhe多项式和二阶writhe多项式对上面已给出的一类虚拟纽结K和其突变体的影响。

Figure 6 Figure 6. Virtual knot K1--图6. 虚拟纽结K1-- Figure 7 Figure 7. Gauss diagram for virtual knot K1--图7. 虚拟纽结K1对应的高斯图--

先回顾一下纽结的Conway突变，Conway突变是从纽结图中切断一个缠绕L，通过水平翻转，垂直翻转或180度旋转来转换缠绕，并将其粘合回去的过程，这三种类型的突变如图8 所示。

Figure 8 Figure 8. Conway mutations on a tangle L within a knot diagram--图8. 在纽结图中缠绕L上的Conway突变--

定义4.1. [10] 如果缠绕的方向在重新粘合后匹配，则称为正突变；如果缠绕的方向在重新粘合后需要逆转，则称为负突变。

在纽结图上完成的所有正突变都可以通过图9 中的两种突变来实现，我们称它们为正反射和正旋转。

Figure 9 Figure 9. Positive reflection and positive rotation--图9. 正反射和正旋转--

定理4.1 对于虚拟纽结K，writhe多项式可区分K和K的正旋转突变体MK；而writhe多项式不可区分K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ ，但二阶writhe多项式可区分K和 $M K^{'}$ 。

证明首先分析writhe多项式对K和K的正旋转突变体MK的影响，图10 和图11 分别为虚拟纽结K和MK的纽结图和高斯图。

根据图10 和图11 中的高斯图可分别计算出K和MK中交叉点的一些指标，结果在表2 和表3 中给出。

Figure 10 Figure 10. Knot diagram and Gauss diagram for virtual knot K--图10. 虚拟纽结K的纽结图和高斯图-- Figure 11 Figure 11. Knot diagram and Gauss diagram for positive rotation mutant MK--图11. 正旋转突变体MK的纽结图和高斯图--

Table 2 <xref></xref>Table 2. Some indicators of crossings in KTable 2. Some indicators of crossings in K 表2. K中交叉点的一些指标

$c_{i}$	$L O$	$I n d$	$L U$	$ε (c_{i})$
$1 \leq i \leq k$	$- i$	1	$i - 1$	+1
$i = k + 1$	$1 - k$	$k - 2$	1	−1
$i = k + 2$	0	1	−1	+1
$i = k + 3$	−2	2	0	−1
$i = k + 4$	$1 - k$	−1	$k$	+1

Table 3 <xref></xref>Table 3. Some indicators of crossings in MKTable 3. Some indicators of crossings in MK 表3. MK中交叉点的一些指标

$c_{i}$	$L O$	$I n d$	$L U$	$ε (c_{i})$
$1 \leq i \leq k$	$2 - i$	−1	$i - 1$	+1
$i = k + 1$	−2	$2 - k$	$k$	−1
$i = k + 2$	$1 - k$	−1	$k$	+1
$i = k + 3$	$1 - k$	−2	$k + 1$	−1
$i = k + 4$	0	1	−1	+1

由表2 和表3 可知 $I n d_{M K} (c_{i}) = - I n d_{K} (c_{i})$ ， $ε_{M K} (c_{i}) = ε_{K} (c_{i})$ ，其中 $i = 1, 2, \dots, k + 4$ 。

可计算出

$W_{K} (t) = k t - t^{k - 2} + t - t^{2} + t^{- 1} - k = - t^{k - 2} - t^{2} + (k + 1) t + t^{- 1} - k$ ，

$W_{M K} (t) = k t^{- 1} - t^{2 - k} + t - t^{- 2} + t^{- 1} - k = - t^{2 - k} - t^{- 2} + (k + 1) t^{- 1} + t - k$ ，

则有 $W_{M K} (t) = W_{K} (t^{- 1})$ 。

由此可知，writhe多项式可区分K和它的正旋转突变体MK。

下面分析writhe多项式对K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ 的影响。图10 和图12 分别为虚拟纽结K和 $M K^{'}$ 的纽结图和高斯图。

Figure 12 Figure 12. Knot diagram and Gauss diagram for positive reflection mutant M K ′--图12. 正反射突变体 M K ′ 的纽结图和高斯图--

同样，根据图12 中的高斯图可计算出 $M K^{'}$ 中交叉点的一些指标，结果如表4 所示。

根据表2 和表4 中的数据，有

$I n d_{M K^{'}} (c_{i}) = I n d_{K} (c_{i})$ ， $ε_{M K^{'}} (c_{i}) = ε_{K} (c_{i})$ ，

其中 $i = 1, 2, \dots, k + 4$ 。因此 $W_{M K^{'}} (t) = W_{K} (t) = - t^{k - 2} - t^{2} + (k + 1) t + t^{- 1} - k$ ，即writhe多项式不可区分K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ 。

于是我们选择接着分析二阶writhe多项式对K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ 的影响。

Table 4 <xref></xref>Table 4. Some indicators of crossings in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mi> M </mi> <msup> <mi> K </mi> <mo> ′ </mo> </msup> </mrow> </math>Table 4. Some indicators of crossings in M K ′ 表4. M K ′ 中交叉点的一些指标

$c_{i}$	$L O$	$I n d$	$L U$	$ε (c_{i})$
$1 \leq i \leq k$	$1 - i$	1	$i - 2$	+1
$i = k + 1$	$- k$	$k - 2$	2	−1
$i = k + 2$	$- k$	1	$k - 1$	+1
$i = k + 3$	$- 1 - k$	2	$k - 1$	−1
$i = k + 4$	1	−1	0	+1

根据图5 给出的弦对的交替构型，分别观察图10 和图12 中K和 $M K^{'}$ 的高斯图可知，K和 $M K^{'}$ 中可

交替的弦对为 ${k + 3, k + 4}$ ， ${k + 1, k + 2}$ ， $\cup_{i = 1}^{k} {i, k + 4}$ ，其中在K中 ${k + 3, k + 4}$ 和 $\cup_{i = 1}^{k} {i, k + 4}$ 是构型A， ${k + 1, k + 2}$ 是构型B；而在 $M K^{'}$ 中 ${k + 1, k + 2}$ 是构型A， ${k + 3, k + 4}$ 和 $\cup_{i = 1}^{k} {i, k + 4}$ 是构型B。

那么通过计算可得

$\begin{array}{l} V_{K} (t) = \frac{k (k + 1)}{2} + \sum_{i = 1}^{k} t (- i - 1) - t^{k - 2} [(1 - k) - 0] + t (0 - 1) - t^{2} (- 2 - 0) \\ + t^{- 1} [(1 - k) - 1] + (- 1) t + k t^{0} - (- 1) t^{k - 1} \\ = \frac{k (k + 1)}{2} - \frac{(3 + k) k t}{2} - (1 - k) t^{k - 2} - t + 2 t^{2} - k t^{- 1} - t + k + t^{k - 1} \\ = \frac{k^{2} + 3 k}{2} - \frac{k^{2} + 3 k + 4}{2} t - (1 - k) t^{k - 2} + 2 t^{2} - k t^{- 1} + t^{k - 1}, \end{array}$

$\begin{array}{l} V_{M K^{'}} (t) = \frac{k (k + 1)}{2} + \sum_{i = 1}^{k} t [(1 - i) - 1] - t^{k - 2} (- k - 0) + t (- k - 1) - t^{2} (- 1 - k - 0) \\ + t^{- 1} (1 - 1) + (- 1) t^{k - 1} - (- 1) t - k t^{0} \\ = \frac{k (k + 1)}{2} - \frac{(1 + k) k t}{2} + k t^{k - 2} - (k + 1) t + (k + 1) t^{2} - t^{k - 1} + t - k \\ = \frac{k^{2} - k}{2} - \frac{k^{2} + 3 k}{2} t + k t^{k - 2} + (k + 1) t^{2} - t^{k - 1} . \end{array}$

接下来计算

$V_{K} (t) - V_{M K^{'}} (t) = 2 k - 2 t - t^{k - 2} + (1 - k) t^{2} - k t^{- 1} + 2 t^{k - 1}$ 。

因此可以得到 $V_{K} (t) - V_{M K^{'}} (t)$ 不是 $W_{K} (t)$ 的倍数。因为K和 $M K^{'}$ 的writhe多项式没有 $t^{k - 1}$ 项，所以 $V_{K} (t)$ 和 $V_{M K^{'}} (t)$ 关于模 $W_{K} (t)$ 不同余，即二阶writhe多项式可将K和 $M K^{'}$ 区分开来。 □

5. 结语

本文主要针对给出的一类虚拟纽结K，利用writhe多项式和二阶writhe多项式研究其虚拟交叉点数的下界和forbidden数的下界情况。接着讨论了 $W_{K} (t)$ 和 $V_{K} (t)$ 对虚拟纽结K和它突变体的影响，其结果为writhe多项式可区分K和K的正旋转突变体MK，而writhe多项式不可区分K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ ，但二阶writhe多项式可区分K和K的正反射突变体 $M K^{'}$ 。

References 1

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