奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)是一种处理非线性时间序列数据的方法。近年来常应用于信号处理领域，通过对所要研究的故障信号进行分解、重构等操作得到多个更加准确的IMF分量。奇异谱分析的具体步骤如下。

第一步，需要选择合适的窗口长度L将原始时间序列进行滞后排列得到轨迹矩阵：

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_{N-L+1}\\ x_2& x_3& \cdots & x_{N-L+2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_L& x_{L+1}& \cdots & x_N\end{array}\right]$ (1)

通常情况下取 $L<N/2$。令 $K=N-L+1$，则轨迹矩阵X为 $L\times K$的矩阵为：

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_k\\ x_2& x_3& \cdots & x_{k+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_L& x_{L+1}& \cdots & x_N\end{array}\right]$ (2)

第二步，对轨迹矩阵进行奇异值分解，具体来说就是将X分解为以下形式：

$X=U\Sigma V^{\text{T}}$ (3)

其中U称为左矩阵；Σ仅在主对角线上有值，就是奇异值，其他元素均为零；V称为右矩阵。此外U、V均为单位正交阵，满足 $U{U}^{\text{T}}=I$， $V{V}^{\text{T}}=I$。

由于直接分解轨迹矩阵较为复杂，因此首先需要计算轨迹矩阵的协方差矩阵：

$S=X{X}^{\text{T}}$ (4)

接下来对S进行特征值分解得到特征值 ${\lambda }_1>{\lambda }_2>\cdots >{\lambda }_L\ge 0$和对应的特征向量 $U_1,U_2,\cdots ,U_L$。此时 $U=\left[U_1,U_2,\cdots ,U_L\right]$， $\sqrt{{\lambda }_1}>\sqrt{{\lambda }_2}>\cdots >\sqrt{{\lambda }_L}\ge 0$为原序列的奇异谱。并且有：

$X={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{L}{\sum }}\sqrt{{\lambda }_m}}{U}_m{V}_m^{\text{T}},V_m=X^{\text{T}}{U}_m/\sqrt{{\lambda }_m},m=1,2,\cdots ,L$ (5)

这里 ${\lambda }_i$对应的特征向量 $U_i$反映了时间序列的演变型，称为时间经验正交函数(T-EOF)。

将具有相似信号特征的子序列进行叠加，生成表示趋势、周期、半周期和噪声等信号的特定序列，从而完成对原始序列的分解。其重构原理可以通过以下公式表示：

$x_i^k=\{\begin{array}{l}\frac{1}{i}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i-j}^k{U}_{k,j}},1\le i\le L-1\hfill \\ \frac{1}{L}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{L}{\sum }}{a}_{i-j}^k{U}_{k,j}},L\le i\le N-L+1\hfill \\ \frac{1}{N-i+1}{\displaystyle \underset{j=i-N+L}{\overset{L}{\sum }}{a}_{i-j}^k{E}_{k,j}},N-L+2\le i\le N\hfill \end{array}$ (6)

分组重构的关键在于区分同类信号，在提取特定序列时依据各分量的皮尔逊系数进行划分，并根据贡献度进行重构，贡献度低的子序列认为是噪声，在重构的时候去除这部分子序列。

利用SSA方法对滚动轴承的故障信号进行重构，以提高信噪比，从而更有效地提取其趋势特性和故障特征。

相关关系指的是两个或多个变量之间的取值存在一定的规律或联系，其目的是揭示数据中的潜在关系网。通过SSA对故障信号进行分解得到若干IMF分量，计算各分量与原始信号的皮尔逊相关系数，计算公式如下：

$\gamma =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}}\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}}}$ (7)

其中： $x_i$为原始信号； $y_i$为各个IMF分量； $\bar{x},\bar{y}$分别为数据平均值；n为数据总长度。根据计算的皮尔逊系数，对信号进行重构。

气泡熵(BE)是一种几乎不需要进行参数选择的方法，其具体步骤如下 [18] 。

1) 对时间序列 $s=s_1,s_2,\cdots ,s_N$进行相空间重构，得到m维重构矩阵S，即：

$S=\left\{S\left(1\right),S\left(2\right),\cdots ,S\left(N-m+1\right)\right\}$ (8)

$S\left(i\right)=\left\{s\left(i\right),s\left(i+1\right),\cdots ,s\left(m\right)\right\}$ (9)

2) 对每个重构分量的元素，从左到右依次按照下面方法进行：左边元素小于右边元素位置不变，反之则交换位置。

3) 画一个关于n (n为交换次数) ( $n\in \left[0,m\left(m-1\right)/2\right]$)的直方图，归一化计算得到概率p，求出2阶瑞丽熵，其公式如下：

$p=\frac{n}{N-m+1}$ (10)

$H_2^m\left(X\right)=\log {\displaystyle \underset{0}{\overset{m\left(m-1\right)/2}{\sum }}{p}^2}$ (11)

4) 将嵌入维数m增加1，重复以上3个步骤，得到 $H_2^{m+1}$，计算得到BE，其公式如下：

$b=\left(H_2^{m+1}-H_2^m\right)/\log \left(m+1/m-1\right)$ (12)

多尺度熵是一种在数据分析中广泛应用的工具，特别是用来衡量时间序列的复杂性。它通过在不同时间尺度上计算熵值，刻画出数据在各个尺度上的复杂性特征，从而揭示出隐藏在数据中的信息。时间尺度的变化有助于我们捕捉数据在不同细节层次上的模式，从而更加全面地理解时间序列的特性。复合多尺度熵在此基础上进一步拓展，通过对粗粒序列的处理，能够更精确地刻画出时间序列的多重复杂性。

通过对粗粒序列的分析，复合多尺度熵可以揭示系统内部不同子系统之间的耦合关系，帮助分析这些子系统在不同时间尺度上的互动模式。这种分析方法不仅可以评估系统的复杂性，还能有效地揭示其同步性，为故障预测和健康监测提供了重要依据。

图1 展示了对于红噪声信号在不同尺度下MBE和CMBE值的分布情况。

由图片可以看出，与MBE方法相比，CMBE值变化幅度更小，总体更为平稳，CMBE定量提取特征的稳定性更好。

美洲狮优化算法(Puma Optimizer, PO)是一种全新的元启发式算法，其设计灵感来源于美洲狮的生存智慧与行为模式 [19] 。其算法主要包含无经验阶段、有经验阶段、勘探阶段和开发阶段4部分。

1) 无经验阶段是在算法的前三次迭代中，同时执行探索操作和开发操作，直到在相变阶段完成初始化。在第三次迭代结束后，则只选择勘探和开发阶段的其中一个。主要计算公式如下：

$Scor{e}_{Explore}=P{F}_1\times f_{1Explor}+P{F}_2\times f_{2Explor}$ (13)

$Scor{e}_{Exploit}=P{F}_1\times f_{1Exploit}+P{F}_2\times f_{2Exploit}$ (14)

在计算 $Scor{e}_{Explore}$和 $Scor{e}_{Exploit}$的值后，比较大小，如果 $Scor{e}_{Exploit}$大于等于 $Scor{e}_{Explore}$，则进入开发阶段，否则进入探索步骤。

2) 有经验阶段，美洲狮算法积累了足够的经验来判断是否需要改变阶段。在此阶段，算法只需选择一个阶段来进行优化操作。

$F_t^{exploit}={\alpha }_t^{exploit}\times f_{1_t^{exploit}}+{\alpha }_t^{exploit}\times f_{2_t^{exploit}}+{\delta }_t^{exploit}\left(lc\times f_{3_t^{exploit}}\right)$ (15)

$F_t^{explore}={\alpha }_t^{explore}\times f_{1_t^{expoit}}+{\alpha }_t^{explore}\times f_{2_t^{expoit}}+{\delta }_t^{explore}\left(lc\times f_{3_t^{expoit}}\right)$ (16)

上式用于计算每个开采和勘探阶段的最终成本，勘探和开采阶段的参数 $\alpha$和 $\delta$分别根据每个阶段的结果获得。如果勘探阶段函数的成本大于开采函数，则开采函数的参数 $\alpha$的值将以0.01的值线性惩罚，另一方面，开采阶段的参数 $\alpha$值将具有接近1的最大值。但是，如果开采阶段函数的成本高于勘探函数，则上述过程将相反。

3) 勘探阶段，整个种群按升序排序，首先放置高质量的解决方案。在每次迭代中，被新方案替换的维度数量都会增加，如果新的解决方案具有比当前解决方案更好的成本，则它将取代当前解决方案。

4) 在开发阶段，PO算法通过两种不同的算子来优化解，这两种算子分别模拟了美洲狮的两种典型行为：伏击狩猎和快速冲刺。这些行为为算法提供了多样化的改进机制。

$X_{new}=\{\begin{array}{l}\text{if}ran{d}_4\ge 0.5,X_{new}=\frac{\frac{mean\left(So{l}_{total}\right)}{Npop}{X}_1^{\text{T}}-{\left(-1\right)}^{\beta }\times X_i}{1+\alpha \times ran{d}_5}\\ \text{otherwise},\text{if}ran{d}_6\ge L,X_{New}=Pum{a}_{male}+2ran{d}_7\exp \left(rand{n}_1\right)X_2^{\gamma }-X_i\\ \text{otherwise},X_{new}=2ran{d}_8\times \frac{F_{1}RX\left(i\right)+F_2\left(1-R\right)Pum{a}_{male}}{2ran{d}_9-1+rand{n}_2}-Pum{a}_{male}\end{array}$ (17)

等式(17)显示了PO中使用的两种策略。考虑到在美洲狮中，为了在第一种模式下狩猎，在开发阶段，为了奔跑和伏击策略，使用了等式(17)中的情况1。如果随机生成的rand5值(在0到1之间均匀分布)大于0.5，则采用快速奔跑策略；否则，选择伏击策略。

为了验证PO算法的性能，将PO算法分别与WOA、PSO、DE、GA进行对比，使用几种标准测试函数进行测试，设置迭代次数设为1000，种群数量设为30，得到不同测试函数的收敛曲线如 图2 所示。可以看到PO相较于其他算法收敛速度更快，并且有更高的优化精度。算法的执行流程如 图3 所示。

ELM (极限学习机)是一种前馈神经网络模型，通过随机初始化输入权值和阈值，进而计算得到相应的输出权值。ELM的输出表达式为：

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}{\beta }_{j}g\left({\omega }_j{x}_q+h_j\right)}=Y_m$ (18)

式中， $g\left(x\right)$为隐藏层的激活函数， $w_j={\left(w_{1j},w_{2j},\cdots ,w_{qj}\right)}^{\text{T}}$为第j个输入层的权值向量； ${\beta }_j={\left({\beta }_{j1},{\beta }_{j2},\cdots ,{\beta }_{jl}\right)}^{\text{T}}$为第j个隐藏层的权值向量； $h_j$为第j个隐藏层节点阈值。

本文实验数据集选用美国凯斯西储大学轴承数据中心实验室 [20] 采集的滚动轴承信号用来进行算法的搭建以及模型验证。

通过SSA方法对内圈故障、滚动体故障、外圈故障三种故障信号以及正常信号进行奇异值分解得到多个IMF分量， 图5 为内圈故障信号的分解得到的八个分解信号图。

计算每个IMF分量与原始信号的皮尔逊相关系数，内圈故障、滚动体故障、外圈故障的皮尔逊相关系数如 表1 所示。

对每种故障分量的相关系数值进行排序，可以观察到每组排名前六分量的皮尔逊系数值明显高于后两个分量，因此选取排名前六的IMF分量作为有效分量。计算每组有效分量的MBE和CMBE，其熵值分布图如 图6 所示，并将复合多尺度气泡熵作为特征向量。与MBE相比，生成多个粗粒序列再计算多个序列多尺度熵的CMBE更能体现出故障信号间的差异，从而更好地区分不同的故障类型。

探讨了PO-ELM模型在诊断效果中的应用，重点比较了PO、WOA、PSO和DE四种优化算法在ELM模型的权值和阈值优化中的表现。实验表明，PO算法在适应度曲线的收敛速度和最小值方面表现最优，明显优于其他三种算法(WOA、PSO和DE)。这一结果验证了PO-ELM模型在提升诊断效果方面的显著优势，指出了PO算法在优化过程中相对于其他寻优算法的优势。各优化算法的适应度曲线如 图7 所示。

首先，通过SSA对内圈故障、滚动体故障、外圈故障三种故障信号以及正常信号进行重构，再计算重构信号的气泡熵、MBE和CMBE作为特征向量，对于每种特征向量，每种信号分别选择90组作为训练集，30组作为测试集，样本的具体分布情况如 表2 所示。

将带有标签的以气泡熵、MBE和CMBE作为特征向量的训练集导入PO-ELM模型进行训练，并通过测试集验证结果，四种故障类型下的平均准确率分别为95%、98.33%和99.17%，PO-ELM模型的诊断结果分别如 图8 的(a)~(c)所示。因此，CMBE作为特征向量的特征提取效果要优于MBE和BE。

为了进一步验证PO-ELM模型特征提取的性能，将常见的故障诊断优化模型与之进行对比，选取WOA-ELM、PSO-ELM和DE-ELM模型三种优化模型。将带有标签的CMBE特征数据集分别导入PSO-ELM、WOA-ELM和DE-ELM模型进行故障诊断，四种故障类型下的平均准确率分别为94.17%、95.83%和94.17%。三种模型的诊断结果如 图9 所示。

为保证模型的预测准确率，将以上六种方法多次实验求平均值，并对测试结果的准确率进行汇总，如 表3 所示。由图可知，CMBE相较于MBE和BE有更好的特征提取性能，对于后续导入模型进行训练和诊断，其在故障识别的准确率方面有明显的提高。此外，将CMBE作为特征向量导入ELM时，使用PO算法优化ELM的识别准确度相较于PSO、WOA和DE算法更高。结果显示，采用SSA-CMBE方法进行特征提取，并利用PO算法优化ELM的权值和阈值，所构建的综合故障诊断模型在识别滚动轴承

故障时展现出更高的精度和有效性。