众所周知，蜂窝结构在航空航天、轨道交通、机械工业、生物医学工程等领域具有广泛的应用前景。蜂窝结构的力学性能主要取决于其几何构型参数，如蜂窝单胞的形状、大小和分布。不同构型的蜂窝在机械性能上表现出显著的差异，特殊构型的蜂窝可以产生超材料特性 [1] ，比如负泊松比、负刚度等。因此众多研究者着重研究蜂窝结构的构型对蜂窝结构力学性能、抗冲击性能和吸能能力的影响 [2] - [4] 。张等人 [5] [6] 研究了集中缺陷和肋板对材料面内力学性能的影响，得出随着肋板角度增大，多胞元薄壁结构的动态承载特性和比能量吸收能力明显提高，冲击载荷效率也相应增加。Qu等人 [7] 提出了将箭头蜂窝和重入蜂窝相结合的滚轴箭头翼蜂窝，并将其应用于填充船舶壁板起到抗冲击和防护作用。Wang等人 [8] 对星形蜂窝和内凹六角形蜂窝结构进行了面内落锤冲击试验。Lv等人 [9] 提出了带切口的弯曲网格–蜂窝夹层结构，建立了有限元模型。Liu等人 [10] 提出了一种新的零泊松比蜂窝结构，蜂窝结构的等效模量有更大的调制范围。闫等人 [11] 试验研究了正、负、零泊松比蜂窝夹层结构的振动特性。

上述几种胞元为直壁的蜂窝，易出现尖角，尖角部分在面内压缩时易出现应力集中的现象。为解决这一问题，人们提出了曲壁胞元的蜂窝结构。孟等人 [12] 在圆形蜂窝结构的基础上，通过引入树叶形增强结构，构建了增强圆形蜂窝。周等人 [13] 对碳纤维增强聚合物基复合材料的圆形胞元蜂窝芯层面外剪切模量做了分析，得出面外剪切模量与圆管半径成反比，与圆管厚度和材料的剪切模量成正比。Sun等人 [14] 研究了多层规则排列的圆形蜂窝的面内耐撞性，经有限元与理论对比表明，单位体积最优吸能与动态平台应力和动态致密应变有关。Wu等人 [15] 建立了基于圆形细胞和折叠板的新的交叉圆形蜂窝，并通过改变胞元的几何尺寸来控制材料的密度梯度排列，有效提高了圆形蜂窝的能量吸收能力。Zhu等人 [16] 设计了新型椭圆形环形折返辅助蜂窝，提高了蜂窝的刚度和吸能能力。Guo等人 [17] 通过用椭圆形胞元壁代替交叉反手性蜂窝的直壁胞元，提出了一种新的椭圆形反手性蜂窝，该蜂窝显示出显著的负泊松比特性。冯等人 [18] 设计了新型节圆正弦蜂窝并研究了其面内压缩特性。吴等人 [19] 将泡沫填充吸能盒中，降低了峰值力，提高了比吸能，提高了吸能盒的吸能能力。

蜂窝胞元对蜂窝结构的力学性能有显著的影响，改进胞元孔的形状能够改善、提高蜂窝结构的力学性能。Wang等人 [20] [21] 通过在固体基材中引入正交排列的花生形孔，设计了一种新型的应力水平更低的蜂窝结构。Zhang等人 [22] 设计了一种新型增塑型管状结构，采用花生形孔图案，与正交椭圆孔结构相比，具有显著的减振性能，应力水平也显著降低。Yu等人 [23] 构建了机器学习模型对蜂窝结构进行优化设计，优化的曲梁蜂窝结构的能量吸收增加了57%。Harkati等人 [24] 提出的曲壁蜂窝构型具有较高的面内剪切顺应性、量身定制的各向异性。Liu等人 [25] 对曲壁负刚度蜂窝结构进行优化设计，得到了最优的结构几何参数。

手性蜂窝是胞元以“手性”为特征的具有超材料特性的蜂窝结构，引起了研究者广泛关注。Wu等人 [26] 综述了近年来手性超材料蜂窝的设计及应用。Jin等人 [27] 在三手性蜂窝中观察到低阶和高阶屈曲模式，得到了几种典型弹性支撑梁屈曲模态的刚度表达式。Mizzi等人 [28] 设计了四种基于二维欧几里得多边形镶嵌的新型手性超材料结构。Chen等人 [29] 提出了一种新型的四手性蜂窝结构，分析了蜂窝结构的压缩性能和变形特性。以上研究表明，手性蜂窝具有负泊松比特性以及通过手性胞元旋转变形从而吸收更多的能量。

本文以这几类曲壁蜂窝构型为研究对象，通过对方形图片挖去不同面积将它们关联起来，研究了这几类蜂窝的能量吸收机制。推导了四手性蜂窝的等效弹性参数公式，并与有限元模型的计算结果进行比较，以验证其正确性。对比了3D打印模型试验和有限元模型的压缩变形模式和力–位移曲线。对比研究了三种蜂窝结构分别具有相同孔隙率和蜂窝壁最小处相同时的力–位移曲线和泊松比。

本节将计算四手性蜂窝的等效力学参数。将四手性蜂窝结构的一端固定，在另一端均匀地施加力F，如 图6(a) 所示。

$P=F\cos \frac{{\theta }_y}{2}$ (1)

胞元弧上任意一点处的力在y轴上的投影为：

$F_y\left(\phi \right)=\sin \left(\frac{{\theta }_y}{2}-\phi \right)\cos \frac{{\theta }_y}{2}P$ (2)

胞元弧在y轴上任意点处的弯矩可得为：

$M_y\left(\phi \right)=P{r}_y\left(1-\cos \phi \right)\cos \frac{{\theta }_y}{2}=\frac{1}{2}PL\left(1-\cos \phi \right)\cot \frac{{\theta }_y}{2}$ (3)

胞元弧在x轴上任意点处的弯矩可计算为：

$M_x\left(\phi \right)=P{r}_x\sin \phi \sin \frac{{\theta }_x}{2}=\frac{PL\sin \phi }{2}$ (4)

图6. 四手性蜂窝及其胞元的受力图

在弯矩和轴力作用下，总变形能U为：

$\begin{array}{c}U={\displaystyle \sum U_F}+{\displaystyle \sum U_M}={{\displaystyle \int }}_0^{\frac{{\theta }_y}{2}}\frac{M_y{}^2\left(\phi \right)}{2E_S{I}_M}\text{d}\phi ++{{\displaystyle \int }}_0^{\frac{{\theta }_x}{2}}\frac{M_x{}^2\left(\phi \right)}{2E_S{I}_M}\text{d}\phi \\ =\frac{F^2{L}^2{\cos }^2\frac{{\theta }_y}{2}}{32E_S{I}_M}\left[\frac{\left(3{\theta }_y-4\sin \frac{{\theta }_y}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_y}{2}}+\frac{I_M}{2A{L}^2}\left(\sin \frac{{\theta }_y}{2}-{\theta }_y\right)+\frac{\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_x}{2}}\right]\end{array}$ (5)

上式中， $E_S$为材料的弹性模量， $I_M$为截面的转动惯量，以矩形截面为例， $I_M=\frac{b{h}^3}{12}$，A为截面面积( $A=bh$)。根据Dummy-load法，可以得出x轴方向的位移：

${\delta }_x=\frac{{{\displaystyle \int }}_0^{\frac{{\theta }_y}{2}}\frac{M_x\left(\phi \right)\overline{M_x}\left(\phi \right)}{2E_S{I}_M}d\phi -\frac{F{L}^2}{32E_S{I}_M}\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}{\sin \frac{{\theta }_x}{2}}$ (6)

应用Castigliano第二定理，y轴方向的位移为：

${\delta }_y=\frac{F{L}^2{\cos }^2\frac{{\theta }_y}{2}}{16E_S{I}_M}\left[\frac{\left(3{\theta }_y-4\sin \frac{{\theta }_y}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_y}{2}}+\frac{I_M}{2A{L}^2}\left(\sin \frac{{\theta }_y}{2}-{\theta }_y\right)+\frac{\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_x}{2}}\right]$ (7)

两个方向应变分别为：

${\epsilon }_x=\frac{{\delta }_x}{L},{\epsilon }_y=\frac{{\delta }_y}{L}$ (8)

计算得出泊松比为如下表达式 [31] ：

$v_{xy}=-\frac{{\epsilon }_x}{{\epsilon }_y}=\frac{4\sin \frac{{\theta }_x}{2}-3{\theta }_x}{2{\cos }^2\frac{{\theta }_y}{2}\sin \frac{{\theta }_y}{2}\left[\frac{\left(3{\theta }_y-4\sin \frac{{\theta }_y}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_y}{2}}+\frac{I_M}{2A{L}^2}\left(\sin \frac{{\theta }_y}{2}-{\theta }_y\right)+\frac{\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_x}{2}}\right]}$ (9)

单元胞在y方向的应力可表示为：

${\sigma }_y=\frac{F_y}{A}=\frac{{{\displaystyle \int }}_0^{\frac{{\theta }_y}{2}}\sin \left(\frac{{\theta }_y}{2}-\phi \right)\cos \frac{{\theta }_y}{2}P\text{d}\phi }{bh}$ (10)

求出四手性蜂窝在y方向上的应力与应变之比，得到其杨氏模量为：

$E=\frac{{\sigma }_y}{{\epsilon }_y}=\frac{16E_S{I}_M\sin \frac{{\theta }_y}{2}}{L\cos \frac{{\theta }_y}{2}\left[\frac{\left(3{\theta }_y-4\sin \frac{{\theta }_y}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_y}{2}}+\frac{I_M}{2A{L}^2}\left(\sin \frac{{\theta }_y}{2}-{\theta }_y\right)+\frac{\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}{{\sin }^2\frac{{\theta }_x}{2}}\right]}$ (11)

胞元在y方向加载时，最大剪切应力发生在结构的中心点，剪应力和剪应变分别为：

${\tau }_{xy}=\frac{3F}{2A},{\gamma }_{xy}=\frac{{\delta }_x}{h}$ (12)

可得到x方向的剪切模量为如下形式：

$G=\frac{{\tau }_{xy}}{{\gamma }_{xy}}=\frac{3\sin \left(\frac{{\theta }_y}{2}-\phi \right)\cos \frac{{\theta }_y}{2}\sin \frac{{\theta }_x}{2}}{2b{{\displaystyle \int }}_0^{\frac{{\theta }_y}{2}}\frac{M_x\left(\phi \right)\overline{M_x}\left(\phi \right)}{2E_S{I}_M}\text{d}\phi -\frac{F{L}^2}{32E_S{I}_M}\left(3{\theta }_x-4\sin \frac{{\theta }_x}{2}\right)}$ (13)

公式(9)、(11)和(13)分别是四手性蜂窝胞元的泊松比、杨氏模量和剪切模量。下一节将通过有限元模型计算，并与上面公式的计算结果进行对比，验证理论公式的正确性，3D打印模型试验与有限元模型的计算进行比较以验证模型的有效性。

本节将比较椭圆形孔、花生形孔及四手性蜂窝结构分别在蜂窝壁厚最小处相同时以及在相同孔隙率下的力学性能。

本文研究了四种曲壁蜂窝结构的内在关联及其力学特性，推导出了四手性蜂窝结构的等效弹性参数公式，并用3D打印模型试验、有限元模型数值计算及理论计算进行对比，验证了理论公式和有限元模型的有效性。主要有以下结论：

1) 通过对平面图形的不同挖孔实现四类蜂窝结构的相互转换，得到了它们的关联机制。表明花生形孔蜂窝和四手性蜂窝胞元在受力时更容易旋转，从而更好地缓解应力集中问题，四手性蜂窝有更大的可调负泊松比。

2) 推导了四手性蜂窝的等效力学参数公式，理论计算结果与有限元模型的计算结果以及文献进行对比，结果一致，从而证明理论公式的正确性和有限元模型的有效性。

3) 蜂窝壁最薄处相同时三种蜂窝的峰值力、平台应力较为接近，四手性蜂窝的较低，但四手性蜂窝的力–位移曲线平台更长，即在平台期吸收的能量更多。在孔隙率相同的情况下，四手性蜂窝的力–位移曲线要高于花生形孔蜂窝。因此四手性蜂窝结构具有更好的力学特性。

国家自然科学基金(12272057)和河北省自然科学基金(A2023202041)资助。