互易原理揭示了线性时不变弹性系统中振动与声传递的互易关系，即在系统中某一点A处施加的激励，与该激励在系统另一点B处产生的响应之比，等于在A处施加的激励与其在B处产生的响应之比。因此经典的声学互易关系如式 [18] ：

${\left(\frac{P_2}{Q_1}\right)}_{Q_2=0}={\left(\frac{p_1}{Q_2}\right)}_{Q_1=0}$ (1)

表示位置1处的声源在位置2处产生的声压 $P_2$与其体积速度 $Q_1$之比等于位置2处的声源在位置1处产生的声压 $P_1$与其体积速度 $Q_2$之比。这一互易关系，在不同的应用场合，有不同的表达形式。在水下振动监测等实际应用中，往往使用的是式(2) [19] ：

${\left(\frac{P_2}{F_1}\right)}_{Q_2=0}={\left(\frac{v_1}{Q_2}\right)}_{F_1=0}$ (2)

表示保持周围环境不变，在水下结构物上的某激励力 $F_2$的作用下，在远场某点产生的声压 $P_2$与该激励力比值等于远场某一点声源在结构上该点产生的振速 $v_1$与声源体积速度 $Q_2$的比值。

式(2)中的声压 $p$、激励力 $F$和振速 $v$都可以直接测得，而体积速度 $Q$需要单独计算。已知功率的水下声源可以直接计算其体积速度，如果功率未知，则需要用以下公式来计算体积速度 [20] ：

$Q\left(f\right)=\frac{2r\left(1+jkd\right)}{f{\rho }_0}P\left(r,f\right)$ (3)

式中： $Q(f)$为声源在频率为 $f$时的体积速度， $j$为虚数， $k$为波数， $d$为水下声源发声半径， $p\left(r,f\right)$为与声源距离为r处，频率为 $f$时的自由声场响应声压， ${\rho }_0$为介质密度。当水下声源体积较小且只考虑低频时，式(3)也可以简化为 [21] ：

$Q\left(f\right)=\frac{2r}{f{\rho }_0}P\left(r,f\right)$ (4)

然而，上述公式中的声压值是基于自由场环境中的测量值。混响声场会影响平均声能密度，从而使公式(3)中的 $p\left(r,f\right)$值偏大，这导致计算得到的体积速度高于实际的体积速度。

在扩散声场的条件下，若测量点距离声源的距离为r，则在混响声场中与在自由声场中测得的声压之间有如下关系 [6] ：

$p_h^2=W{\rho }_0{c}_0\left(\frac{1}{4\pi r^2}+\frac{4}{R}\right)=\left(1+\frac{16\pi r^2}{R}\right)p_z^2$ (5)

其中， $W$为声源的平均辐射功率， ${\rho }_0$为空间介质的密度， $c_0$为空间介质内的声速， $R$为房间常数 [22] 。

$R=\frac{S\bar{\alpha }}{1-\bar{\alpha }}$ (6)

房间常数随空间位置变化，描述了在边界尺寸和吸声系数不变的条件下，某一位置处混响声能与直达声能的比例。R越大，混响声能与直达声能的比值越小。

声源的体积速度是通过测量声源附近的声压，并根据公式(3)计算得到的，这也会受到混响声场的影响。根据公式(5)，混响声场会影响平均声能密度，导致公式(3)中的 $p\left(r,f\right)$值偏大，从而使得计算出的体积速度大于实际的体积速度，将公式(5)代入公式(3)即可得到混响条件下的声源体积速度公式(7)。

$Q_h=\frac{2r}{{\rho }_{0}f}{p}_h=\sqrt{1+\frac{16\pi r^2}{R}}{Q}_{\text{z}}$ (7)

需要注意的是，公式(7)适用于全混响环境，如 图1 混响水池所示，然而，在湖泊、海洋等部分混响环境中，房间常数难以获得，且误差较大。导致无法使用该方法对声源体积速度进行修正。因此，下一步的工作将通过仿真进一步深入研究这一问题，探索不同典型混响环境下的具体影响。

图2 展示了一个混响水池模型，该模型尺寸为长30米、宽20米、高15米的长方体。声源位于模型的中央，水听器与声源之间的距离分别为0.5米、1米、2米、3米、4米和5米。模型的六个面作为声学边界，均设置为硬声场边界，其他设置与前述条件相同。

图3 展示了水听器与声源的距离 $\Delta$分别为0.5 m、1 m、2 m、3 m、4 m和5 m时，混响声与直达声的差值 $\Delta l_P$，其中 $P_h$为混响声场中测得的声压， $P_{\text{z}}$为自由场声压。从图中可以看出，在全反射界面环境下，混响因素对声压的影响显著，混响声的影响远远大于2 dB，因此在这种环境下测量声源的体积速度时，必须进行修正。

图4 所示为湖中心环境只存在水底和水面两个反射面，四周离反射面较远，故可近似为无边界反射，其他设置与前述条件相同。

图5 中(a)展示了水听器与声源的距离 $\Delta$分别为0.5 m、1 m、2 m、3 m、4 m和5 m时，混响声与直达声的差值 $\Delta l_P$， 图5(b) 展示了通过公式(4)由声压反演出的声源体积速度。从 图5 可以看出，当水听器距离声源小于1 m时，界面反射对声场的干扰小于2 dB，体积速度计算的误差在0~3 dB之间；当距离增加至2 m时，部分频段的界面反射干扰超过2 dB；当距离达到5 m时，部分频段的干扰可高达20 dB。随着水听器与声源距离的增加，混响声与直达声的差异也逐渐增大。这是因为当水听器靠近声源时，直达声占主导，混响影响较小；而随着距离增大，混响声的影响显著增强，导致体积速度测量误差随之增大。

图6 所示环境包含水面、水底以及侧方的一个弧形码头三个反射面共同作用，其他三个面近似为无反射边界，其他设置与前述条件相同。

图7(a) 展示了水听器与声源的距离 $\Delta$分别为0.5 m、1 m、2 m、3 m、4 m和5 m时，混响声与直达声的差值 $\Delta l_P$， 图7(b) 展示了通过公式(4)由声压反演出的声源体积速度。由图可见，水听器离声源1 m以内时，界面反射对声场的干扰小于2 dB。

在低频情况下，由于波长较长，即使反射面距离测量点距离较远也会产生一定的反射，因此建立该模型用于模拟和估计远反射面对低频声波的影响。 图8 所示模型为宽1000米、高20米的不规则边缘流体域，包含一个远反射面和三个近反射面(水面、水底两个反射面以及一个侧斜面)，其余三个面近似为无反射边界。 图9 为Comsol模拟的含远距离反射面的码头环境云图。

图10(a) 展示了水听器与声源的距离 $\Delta$分别为0.5 m、1 m、2 m、3 m、4 m和5 m时，混响声与直达声的差值 $\Delta l_P$， 图10(b) 展示了通过公式(4)由声压反演出的声源体积速度。由图可见，水听器离声源1 m以内时，界面反射对声场的干扰小于2 dB。