复合材料结构由于其良好的组织性能和力学性能，在各个工程领域得到了广泛的应用 [1] - [3] 。然而，在实际工作环境中，复合材料结构往往会产生不必要的振动 [4] 。因此，对复合材料结构进行振动抑制研究具有重要的工程意义和实用价值。

在层合结构中，梁结构具有显著的市场需求和研究价值 [5] [6] 。因此，层合梁在土木工程 [7] ，航空航天 [8] ，船舶制造 [9] 等领域中得到了广泛的应用，其振动特性也引起了学者们的关注 [10] 。Jin等人 [11] 基于Reddy高阶理论，通过Fourier-Ritz方法提出了一种统一的公式，并分析了层合梁的振动和阻尼。Kahya等人 [12] 提出了一种基于一阶剪切变形理论的五节点、十自由度有限元模型，分析功能梯度梁的自由振动和屈曲。对于缓慢旋转的可伸展梁，Kloda等人 [13] 基于欧拉伯努利梁理论，忽略了剪切变形，分析了梁的非线性纵向–弯曲–扭曲振动。Qu等人 [14] 采用改进的变分原理与多段分割技术相结合，根据高阶剪切变形理论推导了任意铺层、任意边界条件下复合材料层合梁动力公式。为了求出梁自由振动的近似解，Canales等人 [15] 利用任意边界条件提出了各向同性层合梁自由振动的近似解，所得结果与有限元解的结果之间得到了很好的一致性。Kim等人 [16] 研究了裂纹复合材料层合梁模型强迫振动的半解析方法，并采用Jacobi-Ritz法求解了该模型的动力方程。为了研究横向拉伸的影响，Yurtsever等人 [17] 提出了一种新的有限元公式，对层压复合梁应用了不同类型的边界条件和材料变化，以进行弯曲和自由振动分析。这些对于梁振动特性的研究为工程实际应用提供了一定的理论支撑，使梁的振动控制也引起了广泛关注。

振动控制技术包括：主动振动控制 [18] ，被动振动控制 [19] [20] 以及半主动振动控制 [21] 。与主动和半主动隔振器相比，被动隔振技术可以在没有外部能量和稳定控制算法的情况下运行 [22] ，具有结构简单、安装方便、可靠性高等优点 [23] 。传统的被动振动控制装置主要是线性振动控制装置。与传统的线性振动装置相比，非线性减振器具有阻尼频带宽、可靠性好等优点 [24] 。因此，利用非线性能量汇来控制系统受到越来越多的关注和深入的研究 [25] 。Shahraeeni等人 [26] 使用线性阻尼元件对刚度非线性的准零刚度隔振器进行研究，讨论了阻尼非线性对其动力学和性能的影响。Zhang等人 [27] 提出了一种由干涉器增强的新型非线性能量汇，有效地抑制振动耗能和幅度频率响应。Zang等人 [28] 提出使用广义透射率来评价非线性吸能器的性能。Wang等人 [29] 对恢复力提出了各种修改，增强了非线性能量汇(NESs)对输入能级变化的鲁棒性。

为了解决非线性减振装置的大质量问题，一些研究者在实验中提出了杠杆结构和转子结构。Wang等人 [30] 通过设计杠杆型非线性能量汇与超磁伸缩材料相结合的方法，提出了一种航天器振动控制装置。为了减小传统非线性能量阱所需的惯性质量的大小和重量，Cao等人 [31] 提出了一种通过转子系统进行减振的惯性非线性能量阱。Li等人 [32] 采用超材料的压缩扭转耦合效应来构建内耗放大机制，将其与NES结合形成非线性能量吸收器。为了降低质量，增强减振效果，Xu等人 [33] 提出了一种新颖的非线性能量阱主动变刚度装置。值得注意的是，在这些实验研究中，减振目标结构的质量都较大。然而，针对轻量化减振结构的试验研究很少，由于复合材料结构的质量较低，也需要轻量化的振动控制装置。为此，本文设计了一种新型的轻质非线性吸能器，并进行了理论与试验相结合的验证研究。该工作可以促进和拓宽轻质非线性吸能器的工程应用，为复合材料结构的振动控制提供重要的研究方向。

附加轻质非线性吸能器(LWNEA)的复合材料层合梁横向振动力学模型如 图1 所示，其中w为梁的横向振动位移。复合材料层合梁的长度、宽度和高度分别为l、b和h，梁受到均匀分布的力 $F=F_0\times \text{cos}\left(\omega t\right)$，其中F₀和ω分别为外激励的幅值和频率。梁中端连接了一个轻型非线性吸能器。k_N为轻质非线性吸能器的立法非线性刚度，c_N为轻质非线性吸能器的阻尼，m_N为轻质非线性吸能器的质量。

复合材料层合梁的轴向应变 $u_x\left(x,z\right)$与横向应变 $u_z\left(x,z\right)$的关系如下 [34] ：

$\begin{array}{l}{u}_x\left(x,z\right)=-z\frac{\partial w_0}{\partial x}\\ u_z\left(x,z\right)=w_0\end{array}$ (1)

复合材料层合梁的位移–应变关系如下，其中w₀为梁的中性面位移。

${\epsilon }_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)}^2=-z\frac{{\partial }^2{w}_0}{\partial x^2}$ (2)

第k层复合材料主方向的应力应变关系由下式给出 [35] ：

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ {\sigma }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{12}& 0\\ Q_{12}& Q_{22}& 0\\ 0& 0& Q_{66}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\end{array}\right]$ (3)

其中 $Q_{ij}\left(i,j=1,2,6\right)$为材料在主轴方向的系数，它们与弹性模量的关系为 [36] ：

$Q_{11}^{}=\frac{E_1^{}}{1-{\mu }_{12}^{}{\mu }_{21}^{}},Q_{12}^{}=\frac{{\mu }_{12}^{}{E}_2^{}}{1-{\mu }_{12}^{}{\mu }_{21}^{}},Q_{22}^{}=\frac{E_2^{}}{1-{\mu }_{12}^{}{\mu }_{21}^{}},Q_{66}^{}=G_{12}^{}$ (4)

应力–应变关系与层数有关。将材料第k层主方向应力–应变分量转换为复合材料层合梁坐标系：

${\left[\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ {\sigma }_3\end{array}\right]}^{\left(k\right)}={\left[\begin{array}{ccc}\overline{Q_{11}}& \overline{Q_{12}}& \overline{Q_{16}}\\ \overline{Q_{12}}& \overline{Q_{22}}& \overline{Q_{26}}\\ \overline{Q_{61}}& \overline{Q_{62}}& \overline{Q_{66}}\end{array}\right]}^{\left(k\right)}{\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\end{array}\right]}^{\left(k\right)}$ (5)

Q_ij和 $\overline{Q_{{}_{ij}}}$的关系可以用矩阵形式表示为：

$\left[\begin{array}{ccc}\overline{Q_{11}}& \overline{Q_{12}}& \overline{Q_{16}}\\ \overline{Q_{12}}& \overline{Q_{22}}& \overline{Q_{26}}\\ \overline{Q_{61}}& \overline{Q_{62}}& \overline{Q_{66}}\end{array}\right]=\left[I\right]\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{12}& Q_{16}\\ Q_{12}& Q_{22}& Q_{26}\\ Q_{61}& Q_{62}& Q_{66}\end{array}\right]{\left[I\right]}^{\text{T}}$ (6)

[I]是单层材料的主方向与复合材料层合梁的坐标之间的变换矩阵，可以得到如下矩阵 [37] ：

$\left[I\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\cos }^2\left(\theta \right)& {\sin }^2\left(\theta \right)& -2\cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)\\ {\sin }^2\left(\theta \right)& {\cos }^2\left(\theta \right)& 2\cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)\\ \cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)& -\cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)& {\cos }^2\left(\theta \right)-{\sin }^2\left(\theta \right)\end{array}\right]$ (7)

θ表示复合材料层合梁中每层主方向与x轴方向之间的夹角。本文选择分层方法为[0/90/0/90]_s，层数为40。

复合材料层合梁的势能U计算公式如下：

$\begin{array}{c}U=b{\displaystyle {\int }_0^l{\displaystyle {\int }_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{\sigma }_1^{\left(k\right)}}}{\epsilon }_{xx}\text{d}x\text{d}z\\ ={\displaystyle {\int }_0^l\left(-\frac{\partial N_x}{\partial x}+\frac{{\partial }^2{M}_x}{\partial x^2}\right)\text{d}x}\end{array}$ (8)

式中N_x和M_x可以用A₁₁，B₁₁和D₁₁表示。

$\left[\begin{array}{c}{N}_x\\ M_x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& -B_{11}\\ -B_{11}& D_{11}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}\end{array}\right]$ (9)

上式中的A₁₁，B₁₁和D₁₁表示为 [38] ：

$\left(A_{11},B_{11},D_{11}\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{z_k}^{z_{k+1}}\left(1,z,z^2\right){\bar{Q}}_{11}^{\left(k\right)}\text{d}z}}$ (10)

接下来，应用广义哈密顿原理，可以得到系统动能T的变分形式表达式为：

$\begin{array}{l}T=b{\displaystyle {\int }_0^l{\displaystyle {\int }_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left[I_0\left(\stackrel{\dot{}}{u}+\stackrel{\dot{}}{w}\right)+I_2\frac{\partial \stackrel{\dot{}}{w}}{\partial x}\right]\text{d}x\text{d}z}}\\ I_0={\displaystyle {\int }_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\rho \text{d}z}\\ I_2={\displaystyle {\int }_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{z}^2\rho \text{d}z}\end{array}$ (11)

外激励虚功δW_f的变分形式为：

$\delta W_f=\left[F-c\frac{\partial w}{\partial t}\right]\delta w$ (12)

LWNEA虚功的变分形式可以写成 [39] ：

$\delta W_e=-\left[k_N{\left(w_d-u_n\right)}^3+c_N\left(\frac{\partial w_d}{\partial t}-\frac{\partial u_n}{\partial t}\right)\right]\tilde{\delta }\left(x-d\right)$ (13)

式子 $\tilde{\delta }$为狄拉克函数，d为LWNEA附加的位置。

连续系统的动力学方程可以由能量原理导出。为了使研究不仅仅局限于保守系统，所使用的能量原理为广义哈密顿原理 [38] 。

梁的势能为U，梁的动能为T，LWNEA的虚功为δW_e，外力的虚功为δW_f，则系统在任何时候都必须满足实际运动 [40] ：

$\delta {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left(T-U\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\delta W_e+\delta W_f\right)\text{d}t}=0$ (14)

控制LWNEA复合材料层合梁振动的微分方程可推导为：

$\begin{array}{l}{D}_{11}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+I_0\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-I_2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{c}{lb}\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{F_0}{lb}\cos \omega t\\ +\left[k_N{\left(w_d-u_n\right)}^3+c_N\left(\frac{\partial w_d}{\partial t}-\frac{\partial u_n}{\partial t}\right)\right]\frac{\tilde{\delta }\left(x-d\right)}{lb}=0\end{array}$ (15)

根据牛顿第二定律推导出LWNEA的动力学方程如下 [41] ：

$m_N\frac{{\partial }^2{u}_n}{\partial t^2}+k_N{\left(u_n-w_d\right)}^3+c_N\left(\frac{\partial u_n}{\partial t}-\frac{\partial w_d}{\partial t}\right)=0$ (16)

下面介绍无量纲 [42] ：

$\begin{array}{l}\bar{x}=\frac{x}{l},\bar{w}=\frac{w}{h},\alpha =\frac{l}{h},{\bar{I}}_0=\frac{h^3{D}_{11}}{l^2{b}^2{F}_0},{\bar{I}}_2=\frac{h^3{D}_{11}{I}_2}{l^2{b}^2{F}_0{I}_0},{\bar{D}}_{11}=\frac{bh{D}_{11}}{l^3{F}_0},\\ \bar{c}=\frac{c{h}^2}{lb{F}_0}\sqrt{\frac{D_{11}}{lb{I}_0}},\bar{\omega }=\frac{lb\omega }{h}\sqrt{\frac{lb{I}_0}{D_{11}}},\bar{t}=\frac{th}{lb}\sqrt{\frac{D_{11}}{lb{I}_0},}{\bar{m}}_N=\frac{m_N{h}^3{D}_{11}}{F_0{I}_0{l}^3{b}^3},\\ {\bar{k}}_N=\frac{k_N{h}^3}{F_0},{\bar{c}}_{{}_N}=\frac{c_N{h}^2}{l^{2}b{F}_0}\sqrt{\frac{D_{11}l}{b{I}_0}},{\bar{w}}_d=\frac{w_d}{h},{\bar{u}}_n=\frac{u_n}{h}\end{array}$ (17)

微分方程被转换成无量纲形式：

$\begin{array}{l}{\bar{D}}_{11}\frac{{\partial }^4\bar{w}}{\partial {\bar{x}}^4}+{\bar{I}}_0\frac{{\partial }^2\bar{w}}{\partial {\bar{t}}^2}-{\bar{I}}_2\frac{{\partial }^4\bar{w}}{{\alpha }^2\partial {\bar{x}}^2\partial {\bar{t}}^2}+\bar{c}\frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{t}}-\cos \bar{\omega }\bar{t}\\ -\left[{\bar{k}}_N{\left({\bar{w}}_d-{\bar{u}}_n\right)}^3+{\bar{c}}_N\left(\frac{\partial {\bar{w}}_d}{\partial \bar{t}}-\frac{\partial {\bar{u}}_n}{\partial \bar{t}}\right)\right]\delta \left(\bar{x}-d_n\right)=0\end{array}$ (18)

${\bar{m}}_N\frac{{\partial }^2{u}_n}{\partial {\bar{t}}^2}+{\bar{k}}_N{\left({\bar{u}}_n-{\bar{w}}_d\right)}^3+{\bar{c}}_N\left(\frac{\partial {\bar{u}}_n}{\partial \bar{t}}-\frac{\partial {\bar{w}}_d}{\partial \bar{t}}\right)=0$ (19)

在 图1 中，复合材料层合梁两端固定。因此，复合材料层合固支梁的边界条件为：

$\varphi \left(x_0\right)=0,{\varphi }^{\prime }\left(x_0\right)=0\left(x=0,l\right)$ (20)

复合材料层合梁选用的材料为T700，系统的物理几何参数见 表1 和 表2 。

Table 1. Correlation coefficient of composite laminated beam system [43]

表1. 复合材料层合梁相关系数 [43]

用减振百分比评估轻质非线性吸能器的减振效果。无LWNEA和有LWNEA的复合材料层合梁的主共振最大值分别记为A₀和A₁。LWNEA的减振百分比为：

$R=\frac{A_0-A_1}{A_0}\times 100\%$ (35)

图4 为不同均匀激励幅值F₀时LWNEA对梁中点位置的减振效果。与小激励幅值F₀ = 0.84 N/m相比，中激励幅值F₀ = 1.26 N/m和大激励幅值F₀ = 2.11 N/m的减振百分比分别提高了7.83%和24.65%。研究发现，激励幅值的变化对第一主共振的减振效果有影响。随着激励幅值的增大，一阶主共振响应的非线性硬化特征逐渐明显，减振率逐渐增大。

为了探讨附加位置对LWNEA减振效果的影响。LWNEA连接在梁上的不同加载位置(0.25l、0.5l)，加速度激励设为2.11 N/m，在梁中点进行理论分析。分析结果如 图5 所示，结果表明，安装在梁上0.5l位置的LWNEA具有较好的减振效果。

通过上述理论分析，可以证明轻质非线性吸能器对复合材料层合梁具有显著的减振效果，对梁的固有频率影响较小。下面将通过试验验证理论分析的有效性。

根据复合材料结构的轻量化特点，提出了一种新型的轻质非线性吸能器(Light-Weight Nonlinear Energy Absorber, LWNEA)。从理论上分析了LWNEA对复合材料层合梁的减振效果。设计并制造了复合材料层合梁和LWNEA的实体模型，搭建了振动试验平台，测试了LWNEA对复合材料层合梁的减振效果。主要结论如下：

(1) LWNEA对复合材料层合梁有明显的减振效果。试验结果表明减振率可达80%，且对系统的固有频率影响很小。

(2) 在较大的激励下，LWNEA的减振效果较高。

(3) 验证了LWNEA的加载位置对其减振效果的影响，建议安装在梁的中点处。

因此，本研究提出的LWNEA是一种高性能、低成本、可实现的轻质非线性减振器，有望成为轻量化复合材料结构的减振设备。