恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 The Estimation and Properties of Reliability for Complex System under Constant-Stress Accelerated Life Tests

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Statistical and Application 统计学与应用 , 2012, 1, 11-15

http://dx.doi.org/10.12677/sa.2012.12003 Published Online December 2012 (http://www.abtbus.com/journal/sa.html)

The Estimation and Pr operties of Reliability for Complex

System under Constant-Stress Accelerated Life Tests

Junli Yang * , Guozhi Zhang

Department of Applied Science, Harbin University of Science and Technology, Harbin

Email: * yangjunli1986@sina.com

Received: Oct. 26 th , 2012; revised: Nov. 5th, 2012; accepted: Nov. 19th, 2012

Abstract: This paper studies estimation of the complex system described by minimal paths under the con-

stant-stress accelerated life tests. Assuming that the product life time from each subsystemin the exponential

distribution are type II censoring date under the constant-stress accelerated life tests. Under this condition,

this paper gives the estimation an d its asymptotic distribution of reliability of a complex system.

Keywords: Constant-Stress Accelerated Life Test; Exponential Distribution; Minimal Paths; Reliability;

Asymptotic Distribution

恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质

杨俊丽 *，张国志

哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨

Email: * yangjunli1986@sina.com

收稿日期： 2012 年10月26日；修回日期： 2012 年11月5日；录用日期：2012年11月19日

摘要：本文研究了恒加试验下，基于最小路径描述的复杂系统可靠度的估计问题。假设每个子系统

的寿命分布为指数分布，且在恒加试验下，得到的每个子系统的寿命样本为定数截尾样本，在此条件

下，本文给出了复杂系统的可靠度的估计及其渐近分布。

关键词：恒加试验；指数分布；最小路径；可靠度；渐近分布

1. 引言

恒定应力加速寿命试验 (简称恒加试验 )是一种常

用的评价高可靠性长寿命产品的各种可靠性特征的

寿命试验方法。通过在加速试验条件下获得的样本来

推断正常条件下产品的可靠性指标。这是非常有意义

的课题。关于恒加试验的统计推断问题已经有很多成

果， 1982年，A. P. Basu、N. Ebrahim i[1]将Shaked和Sing-

purwalla 的非参数统计方法延伸到两个方面，首先解

决了删失数据的问题，其次把这种方法应用在竞争失

效加速寿命试验中； 1990年，N. Balakrishnan[2]用极大

似然方法讨论了指数分布加速寿命试验逐步 II型截尾

样本下的刻度参数的估计问题； 1996年，张志华、罗

旭 [3] 给出了指数分布恒加试验下广义线性模型的极大

似然估计； 2000年，B. Dimitri等[4]给出了加速寿命试

验对数线性模型下数据分析的改进方法； 2002年，王

乃生、王玲玲 [5] 研究了指数分布恒加试验中试验数据

缺失时的统计分析方法，给出了加速模型参数的极大

似然估计与线性估计，证明了极大似然估计的存在性

和唯一性； 2008年， A. J. Watkins、A. M. John[6]研究

了威布尔分布恒加试验 II 型截尾样本下，当参数与应

力满足对数线性模型时参数的极大似然估计问题；

2009 年， S. Voiculescu等[7]对于指数分布加速寿命

* 通讯作者。

恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质

试验下，加速模型为阿伦尼斯模型的参数给出了极大

似然估计及贝叶斯估计，并用 Monte Carlo模拟表明

此方法优于以前的结论；同年 H. Alaa 、A. Hamid[8]研

究了 Burr II分布加速寿命试验逐步 II 型删失数据下的

双参数极大似然估计问题。以上结论都是针对元件进

行研究的结果，对于系统的研究较少，特别是对于基

于最小路径、最小割集描述的复杂系统还没有相应的

研究成果。对于系统可靠性，一般都是在正常试验条

件下，基于完全或不完全数据下的研究。 2008年，张

国志等 [9] 对于基于最小路径、最小割集矩阵描述的复

杂系统给出了系统可靠度的解析表达式及算法实现；

2010 年，张国志、张伟[10]研究了基于最小路径描述的

多源点多汇点网络系统可靠性问题； 2012年，张学玲

[11] 等研究了子系统寿命数据为区间型数据，各子系统

是相互独立的基于最小路径描述的复杂系统的可靠

度估计及性质。但在加速寿命试验条件下，对复杂系

统可靠性的研究目前并不多见。

本文所研究的问题是在假设恒加试验下复杂系

统的最小路径矩阵已知的条件下，给出了当每个元件

寿命服从不同参数的指数分布时，定数截尾样本下系

统的可靠度的估计及其渐近分布。

2. 研究问题

复杂系统的描述见文献 [9]：

设系统 S 是由m个独立子系统构成，

子系统寿命变量分别记为

,,,

SS S 

m 12

X 



,,,

，系统的寿命

变量记为 X 。记阶矩阵

mk 







0 i

,,,

ii ik

VV V 

,1,2,,

i m 

n i

1,2,,

i m 

下

12 1,2,,; 1,2,,

ij ijijri

tt timjk

 为系统

S 的最小路径矩阵。

系统的第 i 个元件寿命服从指数分布，恒加试验

的实施如文献 [12] 描述如下：

1) 确定正常应力水平V和个加速应力水平

，这些应力水平满足：

012 i

VVVV 

2) 从该批产品中随机选出个样品，并分为

组，其样本容量分别为



121 2

,,,

iiik iiik

nnn nnnn ,

将第 j 组样品安排在应力水平V下进行加速寿命试验。

3) 在个加速应力水平下分别进行定数截尾加

速寿命试验。设在应力水平ij

V ij

n 样品中有 ij

r 个失

效，其失效数据满足：

个



  

,,,

ii ik

VV V 



恒加试验的统计推断是在下面两个假定下进行

的：

A1 ：在正常应力水平V和加速应力水平

下产品寿命均服从指数分布。其分布函

数为：

1 0; 1,2,,; 0,1,2,

ij i

teti mjk





  



为产品在应力水平 V下的平均寿命。当

ij 0j

式中



时，









0 ij i

tFt 0

，为第 i 个元件在正常应力水平V

下的分布函数。

A2 ：产品的平均寿命ij



与

之

所施加的加速应力水平

V 间有如下加速模型，即：





ln 1,2,,; 0,1,2,

iji iiji

abV imjk



  





0 j

式中 a 为待估参数；是V的已知函数，当

0 ij



。



时，

3. 恒加试验下复杂系统可靠度的估计

及渐近分布

指数分布定数截尾样本下平均寿命的极大似然

估计有很多好的统计性质，如渐近正态性，为了研究

系统估计的性质，本文首先以下面引理形式给出。

引理 1 设产品的寿命服从指数分布，分布函数为





1 t







，式中



为产品的平均寿命。取 n个产

品进行寿命试验，设是截尾数为 d 的定数截

,, ,

tt t 



ndt







尾样本，总试验时间为T，且Tt。在

此条件下平均寿命



的极大似然估计为 ˆ T



 ，则有：







ˆ 0,





 

证明：因为



2 2

T d





 [13] ，且22









 ，

2 4

Var d









 。则 2T22



可以表示成





12 2

,,, d

 ，其中







0,1 ,1,2,,2

i Ni d



 相互独立，且。



由中心极限定理得：



2 2

Var











 















近

，，即

恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质



0, 1

L N

2 2

T d





。



1 ,

iijiji

则



10,1

 









 。

又因为 ˆT



 ，所以



ˆ 10,1





 





，即：







 



定理证明完毕。

3.1. 第i个元件可靠度的估计及性质

假如恒加试验如上文中 (1 ) ，(2)，(3)所述，并且

满足两个基本假定，此时文献 [12] 得到应力水平V下



的极大似然估计：

ˆ , 1,2,,

ij ij

T im



 ; 1,2,,

jk 





ijij ijr

nr ij

式中为应力水平下的总试

验时间。



ij ijp







由引理 1有



ij ij ij



L ij





 ，由独立

性有



ii i







L N



,,,

i ik

 



，其中，

, 。记

，设



ˆ ˆ

,,,

i ik

 

 ii





iij

ˆˆ





min i

jk 

 2

lim

ij ij

r i



 ，



22 2

, , ii

iik ik

222

diag ,

i ii





 

 



ˆ ij

。

利用估计



就可以写出加速模型



ln,1,2, ,

iji iij

abVi



 ; 1,2,i

mj k 



i iij

a bV











。

令，可以得到

的最小二乘估计如下：



,ln

Qab











ab ˆ

ˆ ,

i xx

iiii

b l

aybx















其中

1 i

k ˆ

jijij

yyy







 ;

xx V









111

iii

kkk

yijij ijij

jjj

lxy xy













x xijij

lx x













这样可以得到如下的加速模型：



ln abV



 

当 0

iii



时，就可以得到正常应力水平下对数平

均寿命 0

ln i



的估计 0

ln i



 ，记 00





 。由加速模型

及估 ˆ

ˆ ,

得计： 0

i ix











，则 0

ln i



 为





ˆ ˆˆˆ

,,,

iii ik



 的函数，可得：







ln 0,

i i N

i i





 

其中



0 iji i

xxxx

0 1

iij

j ixx











 





 。

为了研究系统可靠度的估计及性质，首先需要获

可靠度的估计及性质。

第 i 个元件可靠度的估计为：



得元件



0 i









 (1)

0 i

由式 (1) 及ln



 的渐近正态性可得第i个元件可

靠度估计的渐近正态性，以下面引理



形式给出。





 



 引理20

0 i

i e

Re e



 是0

ln i





的函数，则

元件的可靠度估计



Rt 具有渐近正态性，即：





 

0 2

ˆ ,

ii i







0, i

t RtNe









 



证明：令 0

ln i

1, 2, ,



 



 ，00

ln i









，

则



ˆ i

t t

Rt ee





 

 。

令





 其



 ，对求导得：



e t







所以





i t

rg geZ











 

 ，其中Z为

正态变量标准。

恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质

则对于给定的 t ，有：





0 2

2 1

1, 2,,

ij ii

j ixx

xxx

Ne kl









 



 















3.2. 系统可靠度的估计及性质

为了得到系统的可靠度的估计，将文献 [9]的定理

引理 3[9]独立子系统S的寿命分布函数为

2 1

t k x

t 







ii i

rRtR

以下面引理形式给出。

设 i



t ，记

 

1 Rt Ft，1, 2,im。系统S的最

小路径矩阵为

 ，寿命分布函数为



1, A

t ，可靠度

函数







11,1,,1

T ，

为：

1, 1,

记 C



,, ,

ccc 这里

1 T









 为



1 k

m j









阶矩阵









 



, , T

R t

 。

由式 (1) 及引理3自然可得到系统可靠度

然估计为

ˆˆ



 



ˆˆ

, , T

R t ,

，则有

 

1, j

k C

Rt Rt 

 

j 

其中



1, , RtRtRt



的极大似

 

 

1, 1,

ˆ j

Rt RtRt  

 

(2)

k C

j 



其中

 

ˆ ˆ

1, , RtRtRt







0 i

Rt e







 ,1,2,im,

0 i

ixy





 。

由式 (2) 及引理2可以计算出系统可度估计的渐

近分布，本文以下面定理的形式给出。

定理 1 系统由相互独立的子系i

S ，

1, imk

ˆ i



靠

设复杂统

2,, m组成，系统的最小路径矩阵是



，系统

可靠度估计

 

 

1, 1,

ˆˆ

k C

t RtRt



 

 





具有渐近正态性，即：

 



1, 1,0,

rRtRtNt





 





1 i

im 



其中：记 minrr



，设 2

m ii

r a

 

令

1, 1,1,

,,,

AA A

u RRR

 



 

 





10 0

2 2

110 0

10 0

diag, , m

aea e



















 

则

22 tt





2 T

tuu







 是



Rt 的函数。

证明：由引理 2 知，对于给定的t，有：

 



2 2

ˆ ,

ii i

rRtRte











 





由独立性有：







1, 2, ,im

 

ˆ 0,

rRt RtN





 



其中：

 





 



ˆ ˆ

,,,

RtRtRtRt





因为

ˆˆ





1, ARt为





Rt 的函数，有一阶全微分，那么

有：

 



1, 1,

rRtRtNt

tuu







 







定理证明完毕。

4. 结论

数都是以元件为研究对象，而对系

但却很重要。通常构成系统的元件往往

靠性，在加速寿命试验下，获得元件的结

尾样

中给予指导和帮助的老师



以前的结论多

统的研究很少

也具有高可

本数据也是常用的办法之一。本文通过在恒加试

验下获得的元件寿命截尾样本，给出了复杂系统可靠

度的估计及性质。这为恒加试验下系统可靠性统计分

析，如可靠度置信区间， MTTF估计及性质等的研究

提供了一个有效的工具。

5. 致谢

本人对书写论文过程

恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质

衷心的感谢，同时感谢提供参考文献的

位作者。

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