BiHom-双代数上的Radford's余积 Radford's Biproduct onBiHom-Bialgebras

设为首页加入收藏期刊导航网站地图

期刊菜单

文章导航

AdvancesinAppliedMathematics A^êÆ?Ð,2021,10(8),2834-2846

PublishedOnlineAugust2021inHans.//www.abtbus.com/journal/aam

https://doi.org/10.12677/aam.2021.108295

BiHom -V“êþRadford

{ È

 ZZZ§§§½½½[[[ÂÂÂ

∗

§§§ 444

ú ô“‰ŒÆêÆ†OŽÅ‰ÆÆ ,ú ô7u

Â vFÏµ2021c723F¶¹^FÏµ2021c815F¶uÙFÏµ2021c824F

Á ‡

• ïÄBiHom-V“êþRadford

s VÈ§ÏL$^a'gŽ•{§‰ÑBiHom -{

{ “ê±9BiHom-Smash{ È½Â§¿BiHom-SmashÈÚBiHom-Smash{ È/

¤ BiHom-V“ê¿ ©7‡^‡"

' …c

BiHom -V“ê§BiHom -Smash {È§BiHom -{{“ê§BiHom -Hopf “ê

Radford

s Biproducton

BiHom -Bialgebras

JialinPang,JiafengLv

∗

,LingLiu

CollegeofMathematicsandComputerScience,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang

Received:Jul.23

,2021;accepted:Aug.15

,2021;published:Aug.24

,2021

∗ ÏÕŠö"

s {È[J].A^êÆ?Ð,2021,10(8):2834-2846.

DOI:10.12677/aam.2021.108295

 Z

Abstract

Itwasaimedtostudythe Radford

s biproductoverBiHom-bialgebras.Byapplying

thethoughtofanalogy,thenotionof BiHom-comodulecoalgebraand BiHom- Smash

coproductover BiHom-bialgebraswasdeﬁned.Further,anecessaryandsuﬃcien-

tconditionforthe BiHom- Smashproductand BiHom- Smashcoproducttoforma

BiHom -bialgebrawasobtained.

Keywords

BiHom -Bialgebra,BiHom -Smash Coproduct,BiHom -ComoduleCoalgebra,

BiHom -Hopf Algebra

 2021byauthor(s)andHansPublishersInc.

This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 0

3 C/þfznØÄ:þ§©z[1,2]éSmash{È?10ÚïÄ,Ù½ÂXe:H

´ ˜‡V“ê ,B´ †H-{{“ê ,KSmash{ÈB×H´ 3B⊗Hþ½Â“ê ,é?¿

 b∈B,h∈H,§ {¦{´

( b×h) = ( b

⊗ b

2( −1)

) ⊗( b

2(0)

⊗ h

) .

' uSmash{ÈkÃõ/ªí2 ,©z[3–6]©O‰ÑHom-Smash{ÈÚ ÜþHom-

Smash {ÈVg9˜-‡(Ø.Š•Hom -“êÚÜþHom -“êí2,Graziani

 [7]JÑBiHom-(Ü“ê,BiHom-{(Ü{“êÚBiHom-V“ê Vg,¿ eZ ~

f ,ÓžïÄBiHom-V“êþSmashÈeZ5Ÿ.‘X éBiHom-(\&Ä,Nõ

ƒ 'Vgí2,'X®²½ÂBiHom-Lie‡“ê!BiHom-Novikov“êÚÃ•

BiHom -V“ê[8,9].

 ©/ÏBiHom-V“ê,½ÂBiHom-V“êþSmash{È,¿ ?ØÙ5Ÿ,‰Ñ

BiHom -Smash ÈÚBiHom -Smash {È/¤BiHom -V“ê¿©7‡^‡.

DOI:10.12677/aam.2021.1082952835 A^êÆ?Ð

 Z

2. ý•£

Ä k£˜ÄVg.©¥¤k•þ˜m!ÜþÈ9ÓNÑ3½•kþ?1.

é u{“êC,¦^Sweedler.PÒ5L«{¦:é ?¿ c∈C,∆(B) =c

⊗ c

½ Â1[7]A´˜‡‚5˜m,α

: A→A,β

: A→A´‚5N. XJ•3‚5N

µ :A ⊗A →A,a ⊗b 7→ab ,¦é?¿a,b,c ∈A ,÷v

◦ β

= β

◦ α

,α

( ab) = α

( a) α

( b) ,

( ab) = β

( a) β

( b) ,α

( a)( bc) = ( ab) β

( c) ,

@ o¡(A,µ,α

,β

) •BiHom- (Ü“ê. XJ„•3ƒ1

∈ A,¦é?¿a∈ A,÷v

) = 1

,β

) = 1

a 1

= α

( a) ,1

a =β

( a) ,

@ o¡(A,µ,α

,β

) •küBiHom- (Ü“ê. {P•( A,α

,β

½ Â2[7]C´˜‡‚5˜m,ψ

: C→C,ω

: C→C´‚5N. XJ•3‚5N

∆ : C→C⊗C, ÷v

◦ ω

= ω

◦ ψ

, (ψ

⊗ ψ

) ◦∆ = ∆ ◦ψ

( ω

⊗ ω

) ◦∆ = ∆ ◦ω

, (∆⊗ψ

) ◦∆ = ( ω

⊗ ∆)◦ ∆,

@ o¡(C,∆,ψ

,ω

) •BiHom- {(Ü{“ê. XJ„•3‚5Nε: C→k, ÷v

ε ◦ψ

= ε,ε◦ω

= ε,

( id

⊗ ε)◦ ∆ =ω

, (ε ⊗id

) ◦∆ = ψ

@ o¡(C,∆,ψ

,ω

) •k{üBiHom- {(Ü{“ê. {P•( C,ψ

,ω

½ Â3[7](H,µ,α

,β

) ´BiHom- (Ü“ê,( H,∆ ,ψ

,ω

) ´BiHom- {(Ü{“ê.

X Jéu? ¿h,g∈H,÷v

∆( hg) = ( h

) ⊗( h

) ,

◦ ψ

= ψ

◦ α

,α

◦ ω

= ω

◦ α

◦ ψ

= ψ

◦ β

,β

◦ ω

= ω

◦ β

( α

⊗ α

) ◦∆ = ∆ ◦α

, (β

⊗ β

) ◦∆ = ∆ ◦β

( hg) = ψ

( h) ψ

( g) ,ω

( hg) = ω

( h) ω

( g) ,

@ o¡(H,µ,∆,α

,β

,ψ

,ω

) •BiHom- V“ê. XJ•3ƒ1

∈ AÚ‚5Nε

: C→

DOI:10.12677/aam.2021.1082952836 A^êÆ?Ð

 Z

k ,÷v

∆(1

) = 1

⊗ 1

,ε

) = 1 ,

) = 1

,ω

) = 1

◦ α

= ε

,ε

◦ β

= ε

( hg) = ε

( h) ε

( g) ,

@ o¡(H,µ,∆,α

,β

,ψ

,ω

) •küÚ{üBiHom- V“ê. {P•( H,α

,β

,ω

X J„•3‚5NS

( é4): H→H, ¦é?¿h∈H, ÷v

( h

) α

( h

) = ε

( h)1

= β

( h

) α

( h

) ,

@ o¡(H,α

,β

,ψ

,ω

) •BiHom- Hopf“ê.

½ Â4[7](H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê, ( A,α

,β

) ´BiHom- (Ü“ê, α

,β

,ψ

,ω

´ V .XJ(A,α

,β

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

)- ( Š^½Â•H⊗A→A, h⊗a7→( h·a)),

¦ é?¿a,b∈A,h,g∈H,÷v

( hg) ·β

( a) = α

( h) ·( g·a) ,

( h·a) = α

( h) ·α

( a) ,

( h·a) = β

( h) ·β

( a) ,

· a=β

( a) ,h·1

= ε

( h)1

h ·(ab ) = (α

− 1

( h

) ·a)( β

− 1

( h

) ·b) ,

@ o¡(A,α

,β

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

)- BiHom- “ê.

½ Â5[7](H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê,( A,α

,β

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

BiHom -“ê,α

,β

,ψ

,ω

,α

,β

´ V .XJrBiHom-(Ü“ê A⊗H½Â•A]H,…

é ?¿ a,b∈A,h,g∈H,÷v

( a]h)( b]g) = ( a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b))) ]( ψ

− 1

( h

) g) ,

@ o¡(A]H,α

⊗ α

,β

⊗ β

) •( A,α

,β

) Ú( H,α

,β

,ψ

,ω

) BiHom- SmashÈ.

3. BiHom- R adford

s VÈ

Ì ‡0BiHom-Smash{È½Â,¿…‰ÑBiHom-SmashÈÚBiHom-Smash{

È /¤BiHom-V“ê¿©7‡^‡.

DOI:10.12677/aam.2021.1082952837 A^êÆ?Ð

 Z

½ Â6(H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê,( B,∆

,ψ

,ω

) ´BiHom- {“ê. e

( B,ρ,ψ

,ω

) ´†H- BiHom- {, Ù¥{Š^½Â•ρ: B→H⊗B, b7→b

( −1)

⊗ b

( b

( −1)

) ⊗ψ

( b

(0)

). ¦é?¿b∈B,h∈H, ÷v

( b

( −1)

) ⊗ψ

( b

(0)

) = ( ψ

( b))

( −1)

⊗ (ψ

( b))

(0)

( b

( −1)

) ⊗ω

( b

(0)

) = ( ω

( b))

( −1)

⊗ (ω

( b))

(0)

( b

) ⊗b

⊗ b

= b

⊗ b

⊗ ψ

( b

) ,

( b

1( −1)

) α

( b

2( −1)

) ⊗b

1(0)

⊗ b

2(0)

= α

( b

( −1)

) ⊗b

(0)1

⊗ b

(0)2

( −1)

ε (b

(0)

) = ε( b)1

ε (b

) = ω( b) ,ε( b

) b

= ψ( b) .

@ o(B,∆

,ψ

,ω

) ¡•†( H,α

,β

,ψ

,ω

)- BiHom- {{“ê.

· K1(H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê,( B,∆

,ψ

,ω

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

BiHom -{{“ê,α

,β

,ψ

,ω

,ψ

,ω

´ V .XJé?¿a,b∈B,h,g∈H,÷v

1) Š•k- ˜m, B×H= B⊗H,

2)BiHom- {¦{, =

∆( b×h) = ( b

× α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( h

)) ⊗( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×h

) .,

@ o(B×H,α

× α

,β

× β

) ´BiHom- {(Ü{“ê. ¡Ù•BiHom- Smash{È. {ü•

× ε

y ²dBiHom-{{“êÚBiHom-Smash-{È½Âµ

(∆ ⊗ψ

)∆( b×h)

=(∆ ⊗ψ

)( b

⊗ α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( h

) ⊗ψ

− 1

( b

2(0)

) ⊗h

)

=[ b

⊗ α

− 1

( b

12( −1)

)( β

− 1

( b

2( −1)1

) β

− 2

( h

))]

⊗ [ψ

− 1

( b

12(0)

) ⊗α

− 1

( b

2( −1)2

) β

− 1

( h

) ⊗( b

2(0)

⊗ ψ

( h

))]

= ω

( b

) ⊗α

− 1

( b

21( −1)

)( β

− 1

− 2

( b

22( −1)1

) ω

− 2

( h

))

⊗ ψ

− 1

( b

21(0)

) ⊗α

− 1

− 2

( b

22( −1)2

) β

− 1

( h

) ⊗( ψ

− 1

( b

22(0)

) ⊗h

)

= ω

( b

) ⊗( α

− 2

− 1

( b

21( −1)

) β

− 1

− 2

( b

22( −1)1

) ω

− 1

( h

)

⊗ ψ

− 1

( b

21(0)

) ⊗α

− 1

− 2

( b

22( −1)2

) β

− 1

( h

) ⊗( ψ

− 1

( b

22(0)

) ⊗h

)

= ω

( b

) ⊗( α

− 2

− 1

( b

21( −1)

) β

− 1

− 2

( b

22( −1)

)) ω

− 1

( h

)

⊗ ψ

− 1

( b

21(0)

) ⊗α

− 1

− 2

( b

22(0)( −1)

) β

− 1

( h

) ⊗( ψ

− 2

( b

22(0)(0)

) ⊗h

)

= ω

( b

) ⊗ω

− 1

( b

2( −1)

) ω

− 1

( h

) ⊗ψ

− 1

( b

2(0)1

)

⊗ α

− 1

− 2

( b

2(0)2( −1)

) β

− 1

( h

) ⊗( ψ

− 2

( b

2(0)2(0)

) ⊗h

)

DOI:10.12677/aam.2021.1082952838 A^êÆ?Ð

 Z

=( ω

⊗ ∆)(b

⊗ α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( h

) ⊗ψ

− 1

( b

2(0)

) ⊗h

)

=( ω

⊗ ∆)∆(b× h).

` ²(∆⊗ψ

)∆( b×h) = ( ω

⊗ ∆)∆(b× h).·K1y..

Ú n1(H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê,( B,α

,β

) ´BiHom- “ê, e

( B,α

,β

) ´†H- BiHom- {, K( B,α

,β

) ¡•†H- BiHom- {“ê, Ù¥{Š^•:

ρ (ab ) =a

( −1)

⊗ a

(0)

,ρ (1

) = 1

⊗ 1

Ú n2(H,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê,( B,ψ

,ω

) ´BiHom- {“ê, e

( B,α

,β

) ´†H- BiHom- , K( B,α

,β

) ¡•†H- BiHom- {“ê, Ù¥Š^•:

∆( h·b) = h

· b

⊗ h

· b

,ε

( h·b) = ε

( h) ε

( b) .

½ n1(H,α

,β

,ψ

,ω

),( B,α

,β

,ψ

,ω

) ´BiHom- V“ê, α

,β

,ψ

,α

,β

,ψ

,ω

´ V .KBiHom-SmashÈ(B]H,α

]α

,β

]β

) ÚBiHom- Smash{È

( B×H,α

× α

,β

× β

) /¤BiHom- V“ê, …=é?¿a∈A,h∈H, e^‡d:

(I)( B

]

H,α

× α

,β

× β

) ´BiHom- V“ê.

(II) ±e^‡¤á,

) ε

´ “ê Ó…∆

) = 1

⊗ 1

)( B,α

,β

,ψ

,ω

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

) BiHom- {“ê,

)( B,α

,β

,ψ

,ω

) ´†( H,α

,β

,ψ

,ω

) BiHom- {“ê,

)∆

( ab) = a

( a

2( −1)

· β

− 1

( b

)) ⊗β( a

2(0)

) b

, (4)

) h

· b

( −1)

⊗ h

· b

(0)

= α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

( −1)

)

( −1)

( h

) ⊗(( ω

− 1

( h

) ·b)

( −1)

y ²Äk,·‚ky²(I)⇒(II).

Ï •∆

B ×H

Ú ε

B ×H

Ñ ´“êÓ,é ?¿ a,b∈B.h,k∈H.·‚k

ε ((a ×h )(b ×k ))=ε (a (β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b)) ×( ψ

− 1

( h

) k))

= ε

( a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b))) ε

( h

) ε

( k)

= ε

( a( β

− 1

( h) ·β

− 1

( b))) ε

( k)

ε (a ×h )ε (b ×k )=ε

( a) ε

( h) ε

( b) ε

( k) .

- h=k= 1

. Œ±ε

( ab) = ε

( a) ε

( b). -a= 1

,k = 1

, Œ±

( β

− 1

( h) ·β

− 1

( b))) ε

) = ε

( h·b) = ε

( h) ε

( h) .

DOI:10.12677/aam.2021.1082952839 A^êÆ?Ð

 Z

Ï •

∆(1

× 1

)=(1

B 1

⊗ α

− 1

B 2(−1)

) β

− 1

)) ⊗( ψ

− 1

B 2(0)

) ⊗1

)

=(1

B 1

× ψ

− 1

B 2(−1)

)) ⊗( ψ

− 1

B 2(0)

) ×1

)

=(1

× 1

) ⊗(1

× 1

) .

† mü>ÓžŠ ^Id⊗ε

⊗ Id⊗ ε

, Œ±∆(1

) = 1

⊗ 1

† mü>ÓžŠ ^ε

⊗ Id⊗ Id⊗ ε

, Œ±

B 1

) ψ

− 1

B 2(−1)

) ⊗ψ

− 1

B 2(0)

) ε

) = 1

B (−1)

⊗ 1

B (0)

= ρ(1

) = 1

⊗ 1

- h=k= 1

. Ï•∆(( a×1

)( b×1

)) = ∆( a×1

)∆( b×1

), ¤±·‚Œ±OŽ.

∆(( a×1

)( b×1

))

=∆( a( β

− 1

) ·β

− 1

( b)) ×ψ

− 1

) ·1

) = ∆( ab×1

)

=(( ab)

× α

− 1

(( ab)

2( −1)

) ·β

− 1

)) ⊗( ψ

− 1

(( ab)

2(0)

) ×1

)

=(( ab)

× ψ

− 1

(( ab)

2( −1)

)) ⊗( ψ

− 1

(( ab)

2(0)

) ×1

) .

∆( a×1

)∆( b×1

)

=[( a

× α

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

)) ⊗( ψ

− 1

( a

2(0)

) ×1

)]

[( b

× α

− 1

( b

2( −1)

) ·β

− 1

)) ⊗( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)]

=[( a

× ψ

− 1

( a

2( −1)

))( b

× ψ

− 1

( b

2( −1)

))] ⊗[( ψ

− 1

( a

2(0)

)

× 1

)( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)]

=( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

)) ×ψ

− 2

( a

2( −1)2

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

))

⊗ (ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

) ·β

− 1

( ψ

− 1

( b

2(0)

)) ×ψ

− 1

) ·1

))

=( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

)) ×ψ

− 2

( a

2( −1)2

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

))

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

)( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)) .

Ï d,

(( ab)

× ψ

− 1

(( ab)

2( −1)

)) ⊗( ψ

− 1

(( ab)

2(0)

) ×1

)

=( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

))

× ψ

− 2

( a

2( −1)2

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

)) ⊗( ψ

− 1

( a

2(0)

)( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)) .

DOI:10.12677/aam.2021.1082952840 A^êÆ?Ð

 Z

ü >ÓžŠ^ε

⊗ Id⊗ Id⊗ ε

(( ab)

) ψ

− 1

(( ab)

2( −1)

) ⊗ψ

− 1

(( ab)

2(0)

) ε

) = ( ab)

( −1)

⊗ (ab)

(0)

( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

)))( ψ

− 2

( a

2( −1)2

) ψ

− 1

( b

2( −1)

))

⊗ (ψ

− 1

( a

2(0)

) ψ

− 1

( b

2(0)

)) ε

)

= ε

( a

) ε

( a

2( −1)1

) ε

( b

) ψ

− 2

( a

2( −1)2

) ψ

− 1

( b

2( −1)

)

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

) ψ

− 1

( b

2( −1)

− 1

( b

2(0)

)

= ε

( a

) ψ

− 1

( a

2( −1)

) b

( −1)

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

) b

(0)

= a

( −1)

⊗ a

(0)

Œ ±ρ(ab) = (ab)

( −1)

⊗ (ab)

(0)

= a

( −1)

⊗ a

(0)

ü >2gÓžŠ^Id⊗ε

⊗ Id⊗ ε

( ab)

( ψ

− 1

(( ab)

2( −1)

)) ⊗ψ

− 1

(( ab)

2(0)

) ε

)

=( ab)

⊗ (ab)

= ∆( ab) .

( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

))) ε

( ψ

− 1

( a

2( −1)2

)

− 1

( b

2( −1)

)) ⊗ψ

− 1

( a

2(0)

) ψ

− 1

( b

2(0)

) ε

)

=( a

( β

− 1

( a

2( −1)1

) ·β

− 1

( b

))) ε

( a

2( −1)2

) ε

( b

2( −1)

)

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

) ψ

− 1

( b

2(0)

)

=( a

( β

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

( b

))) ⊗ψ

− 1

( a

2(0)

) b

Œ ±∆(ab) = (ab)

⊗ (ab)

= ( a

( β

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

( b

))) ⊗ψ

− 1

( a

2(0)

) b

, =c4) ¤á.

- a= 1

,k = 1

. Ï•∆((1

× h)(b× 1

)) = ∆(1

× h)∆(b× 1

), ¤±·‚Œ±OŽ.

∆((1

× h)(b× 1

))

=∆(1

( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b)) ×ψ

− 1

( h

) ·1

)

=∆( ω

− 1

( h

) ·b×α

− 1

( h

))

=( ω

− 1

( h

) ·b)

× α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2( −1)

) ·β

− 1

( h

)

⊗ ψ

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2(0)

) ×α

− 1

( h

) .

DOI:10.12677/aam.2021.1082952841 A^êÆ?Ð

 Z

∆(1

× h)∆(b× 1

)

=[1

B 1

× α

− 1

B 2(−1)

) ·β

− 1

( h

) ⊗ψ

− 1

B 2(0)

) ×h

][ b

× α

− 1

( b

2( −1)

) ·β

− 1

) ⊗ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

]

=[(1

× h

) ⊗(1

× h

)][( b

× ψ

− 1

( b

2( −1)

)) ⊗( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)]

=[(1

× h

)( b

× ψ

− 1

( b

2( −1)

))] ⊗[(1

× h

)( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×1

)]

=[1

( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

)) ×ψ

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

)]

( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

2(0)

)) ×ψ

− 1

( h

) ·1

]

=[ ω

− 1

( h

) ·b

× ψ

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

)][ ω

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2(0)

)

× α

− 1

( h

)] .

Œ ±:

( ω

− 1

( h

) ·b)

× α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2( −1)

) ·β

− 1

( h

)

⊗ ψ

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2(0)

) ×α

− 1

( h

)

=[ ω

− 1

( h

) ·b

× ψ

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2( −1)

)][ ω

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2(0)

)

× α

− 1

( h

)]

ü >ÓžŠ^Id⊗ε

⊗ Id⊗ ε

( ω

− 1

( h

) ·b)

( α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2( −1)

)) ε

( β

− 1

( h

))

⊗ ψ

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2(0)

) ε

( α

− 1

( h

))

=( ω

− 1

( h

) ·b)

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2( −1)

)) ε

( h

)

⊗ ψ

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2(0)

) ε

( h

)

=( ω

− 1

( h

) ·b)

⊗ (ω

− 1

( h

) ·b)

( h

)

=( h·b)

⊗ (h· b)

− 1

( h

) ·b

( ψ

− 1

( h

)) ε

( ψ

− 1

( b

2( −1)

))

⊗ ω

− 1

( h

) ψ

− 1

( b

2(0)

) ε

( α

− 1

( h

))

= ω

− 1

( h

) ·b

( h

) ε

( b

2( −1)

) ⊗ω

− 1

( h

) ψ

− 1

( b

2(0)

) ε

( h

)

= h

· b

⊗ h

· b

Œ ±∆(h·b) = (h·b)

⊗ (h· b)

= h

· b

⊗ h

· b

DOI:10.12677/aam.2021.1082952842 A^êÆ?Ð

 Z

ü >2ÓžŠ^ε

⊗ Id⊗ Id⊗ ε

(( ω

− 1

( h

) ·b)

)( α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2( −1)

)) ε

( β

− 1

( h

))

⊗ ψ

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

2(0)

) ε

( α

− 1

( h

))

= α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

( −1)

) α

− 1

( h

) ⊗( ω

− 1

( h

) ·b)

(0)

( ω

− 1

( h

) ·b

) ψ

− 1

( h

) ψ

− 1

( b

2( −1)

) ⊗ω

− 1

( h

) ·ψ

− 1

( b

2(0)

) ε

( α

− 1

( h

))

= ε

( h

) ε

( b

) ψ

− 1

( h

) ψ

− 1

( b

2( −1)

) ⊗ω

− 1

( h

) ψ

− 1

( b

2(0)

) ε

( h

)

= h

( −1)

⊗ h

(0)

Œ ±h

( −1)

⊗ h

(0)

= α

− 1

(( ω

− 1

( h

) ·b)

( −1)

) α

− 1

( h

) ⊗( ω

− 1

( h

) ·b)

(0)

. =c 5)

¤ á.¤±,c1)−c5)Ñ¤ á.

y 3,·‚5y²(II)⇒(I).éN´yε((a×h)(b×k))=ε(a×h)ε(b×k),ε(1

× 1

ε (1

) ,∆(1

× 1

)=(1

× 1

) ⊗(1

× 1

) .ŠâBiHom- {(Ü{“ê½ÂŒ•, é?¿

h ∈H, ·‚k

( a

( −1)

) ⊗a

(0)( −1)

⊗ a

(0)(0)

= a

( −1)1

⊗ a

( −1)2

⊗ ψ

− 1

( a

(0)

) .(1)

⊗ h

= h

⊗ ω

− 1

( h

121

) ⊗ψ

− 1

( h

122

) ⊗ψ

( h

) .(2)

y 3·‚OŽ

∆(( a×h)( b×k))

=∆( a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b) ×ψ

− 1

( h

) k)

=[ a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b))]

× α

− 1

([ a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b))]

2( −1)

) β

− 1

( ψ

− 1

( h

) k

)

⊗ ψ

− 1

([ a( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b))]

2(0)

) ×ψ

− 1

( h

) k

((1) ,c2)

= a

( β

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

)))

× α

− 1

(( ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

)))

( −1)

) β

− 1

( ψ

− 1

( h

) k

)

⊗ ψ

− 1

(( ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

)))

(0)

) ×ψ

− 1

( h

) k

( c3)

= a

( β

− 1

( a

2( −1)

) ·( β

− 2

− 1

( h

) ·β

− 2

( b

)))

× (α

− 1

− 2

( a

2(0)( −1)

) α

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

( −1)

))( β

− 1

( h

) β

− 1

( k

))

⊗ (ψ

− 2

( a

2(0)(0)

) ψ

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

(0)

) ×ψ

− 1

( h

) k

= a

( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× [(α

− 2

( a

2(0)( −1)

) α

− 2

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

( −1)

)) β

− 1

( h

)] k

⊗ (ψ

− 2

( a

2(0)(0)

) ψ

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

(0)

) ×ψ

− 1

( h

) k

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× [α

− 1

− 2

( a

2(0)( −1)

)( α

− 2

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

( −1)

) β

− 2

− 1

( h

))] k

DOI:10.12677/aam.2021.1082952843 A^êÆ?Ð

 Z

⊗ ψ

− 2

( a

2(0)(0)

) ψ

− 1

(( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

))

(0)

) ×ψ

− 1

( h

) k

(2)

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× [α

− 1

− 2

( a

2(0)( −1)

) α

− 1

( α

− 1

(( β

− 1

− 2

( h

121

) ·β

− 1

( b

))

( −1)

) α

− 1

− 2

− 1

( h

122

))] k

⊗ ψ

− 2

( a

2(0)(0)

) ψ

− 1

(( β

− 1

− 2

( h

121

) ·β

− 1

( b

))

(0)

) ×h

( c5)

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× [α

− 1

− 2

( a

2(0)( −1)

)( α

− 1

( h

121

) α

− 1

( b

2( −1)

))] k

⊗ ψ

− 2

( a

2(0)(0)

) ψ

− 1

( β

− 1

( h

122

) ·β

− 1

( b

2(0)

)) ×h

((1) ,(2))

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× [(α

− 2

( a

2( −1)2

) α

− 1

( h

))( α

− 1

( b

2( −1)

))] k

⊗ ψ

− 2

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

2(0)

)) ×ψ

− 1

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× (α

− 1

− 2

( a

2( −1)2

) ψ

− 1

( h

))( α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( k

))

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

2(0)

)) ×ψ

− 1

∆( a×h)∆( b×h)

=[ a

× (α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 1

( h

)) ⊗ψ

− 1

( a

2(0)

) ×h

][ b

× (α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( k

))

⊗ ψ

− 1

( b

2(0)

) ×k

]

=[( a

× α

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

( h

))( b

× α

− 1

( b

2( −1)

) ·β

− 1

( k

))]

⊗ [(ψ

− 1

( a

2(0)

) ×h

)( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×k

)]

= a

(( β

− 1

( α

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

)

) ·β

− 1

( b

))

× ψ

− 1

(( α

− 1

( a

2( −1)

) ·β

− 1

( h

))

)( α

− 1

( b

2( −1)

) ·β

− 1

( k

))

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( ψ

− 1

( b

2(0)

))) ×ψ

− 1

( h

) ·k

= a

(( α

− 1

( a

2( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)) ·β

− 1

( b

))

× (α

− 1

− 2

( a

2( −1)2

) ψ

− 1

( h

))( α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( k

))

⊗ ψ

− 1

( a

2(0)

)( β

− 1

( h

) ·β

− 1

( b

2(0)

)) ×ψ

− 1

Ï d·‚k∆((a×h)(b×k)) = ∆(a×h)∆(b×h),…(B

]

H,α

× α

,β

× β

)

´ BiHom-V“ê ,y²..

e ½n1¥(B

]

H,α

× α

,β

× β

) ´BiHom- V“ê, K·‚¡ƒ•BiHom- V“ê

 Radford

s -VÈ,½{¡•Radford

s -BiHom -V“ê,e¡·‚?ØŸoœ¹eRadford

s -

BiHom -V“ê(B

]

H,α

× α

,β

× β

) ´BiHom- Hopf“ê.

DOI:10.12677/aam.2021.1082952844 A^êÆ?Ð

 Z

· K2(B

]

H,α

× α

,β

× β

) ´Radford

s -BiHom -V“ê,eH ´BiHom -Hopf -“

ê ,Ùé4©O´ S

: H→H.( S

◦ α

= α

◦ S

◦ β

= β

◦ S

) ,K( B

]

H,α

× α

,β

) ´BiHom- Hopf- “ê, Ùé4S•

S (b ×h ) = (1

× S

( α

− 1

( b

( −1)

) β

− 2

− 1

( h)))( S

( α

− 2

( b

(0)

) ×1

y ²:é?¿b∈B,h∈H,k

( Id∗S)( b×h)

=( b

× α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

( h

)) S

( ψ

− 1

( b

2(0)

) ×h

)

=( b

× α

− 1

( b

2( −1)

) β

− 1

)[(1

× S

( α

− 1

− 2

( b

2(0)( −1)

) β

− 2

− 1

( h

)))

( S

( α

− 2

− 3

( b

2(0)(0)

)) ×1

)]

=[( α

− 1

( b

) ×α

− 2

− 1

( b

2( −1)

) α

− 1

( h

))(1

× S

( α

− 1

− 2

( b

2(0)( −1)

)

− 2

− 1

( h

)))]( S

− 1

− 3

( b

2(0)(0)

) ×1

)

=[ α

− 1

( b

)( β

− 1

(( α

− 2

− 1

( b

2( −1)

) α

− 1

( h

))

) ·β

− 1

)) ×ψ

− 1

(( α

− 2

− 1

( b

2( −1)

)

− 1

( h

))

) S

( α

− 1

− 2

( b

2(0)( −1)

) β

− 2

− 1

( h

))]

( S

− 1

− 3

( b

2(0)(0)

) ×1

)

=[ b

× (α

− 2

− 1

( b

2( −1)

) α

− 1

( h

))( S

( α

− 1

− 2

( b

2(0)( −1)

) β

− 2

− 1

( h

))]

( S

− 1

− 3

( b

2(0)(0)

) ×1

)

=[ b

× (α

− 2

− 1

( b

2( −1)

))(( α

− 1

( h

)( S

− 1

− 2

− 1

( h

))) S

− 2

( b

2(0)( −1)

)]

( S

− 1

− 3

( b

2(0)(0)

) ×1

)

=( b

× (α

− 2

− 1

( b

2( −1)

)) S

− 1

− 2

( b

2(0)( −1)

))( S

− 1

− 3

( b

2(0)(0)

) ×1

) ε

( h)

=( b

× α

− 2

− 1

( b

2( −1)1

) S

− 1

− 2

( b

2( −1)2

))( S

− 1

− 2

( b

2(0)

) ×1

) ε

( h)

=( b

× 1

)( S

− 1

( b

) ×1

) ε

( h)

=( b

− 1

( b

) ×1

) ε

( h)

× 1

( b) ε

( h)

× 1

ε (b ×h ).

` ²S´(B

]

H,α

× α

,β

× β

) é4.

4. (Š

BiHom -“êþ,‰ÑBiHom -Smash {È½Â,BiHom -Smash ÈÚBiHom -Smash

{ È/¤Radford

Yetter-Drinfeld ±9[n¯K.

DOI:10.12677/aam.2021.1082952845 A^êÆ?Ð

 Z

ë •©z

[1]Molnar,R.K.(1977)Semi-DirectProductsofHopfAlgebras. JournalofAlgebra,47,29-51.

https://doi.org/10.1016/0021-8693(77)90208-3

[2]Andruskiewitsch,N.andSchneider,H.J.(2010)OntheClassiﬁcationofFinite-Dimensional

PointedHopfAlgebras. AnnalsofMathematics, 171,375-417.

https://doi.org/10.4007/annals.2010.171.375

[3]Chen,D.H.andLi,J.(2010)ConstructionofHom-ComoduleCoalgebrasandHom-Smash

Coproducts. JournalofJianghanUniversity(NaturalSciences),38,5-9.

[4]LingL.andShen,B.(2014)Radford’sBiproductsandYetter-DrinfeldModulesforMonoidal

Hom-HopfAlgebras. JournalofMathematicalPhysics,55,701-725.

[5]Ma,T., Li,H. andTao, Y.(2014) CobraidedSmashProductHom-HopfAlgebras. Colloquium

Mathematicum ,134,75-92.https://doi.org/10.4064/cm134-1-3

[6]Abdenacer,M.andSilvestrov,S.D.(2008)Hom-AlgebraStructures. JournalofGeneralized

LieTheoryandApplications ,2,51-64.https://doi.org/10.4303/jglta/S070206

[7]Graziani,G.,Makhlouf,A., Menini,C., etal.(2015) BiHom-Associative Algebras,BiHom Lie

AlgebrasandBiHom-Bialgebras. SymmetryIntegrabilityandGeometry:MethodsandAppli-

cations ,11,11-34.

[8]Zhang,J.,Chen,L.Y.andZhang,C.P.(2018)OnSplitRegularBiHom-LieSuperalgebras.

JournalofGeometryandPhysics ,128, 38-47.https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2018.02.005

[9]Liu,L.,Makhlouf,A.,Menini,C., etal.(2020)BiHom-NovikovAlgebrasandInﬁnitesimal

BiHom-Bialgebras. Algebra,560,1146-1172.https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.06.012

DOI:10.12677/aam.2021.1082952846 A^êÆ?Ð