相似结构算法在求两区复合Thomson方程边值问题中的改进 The Improvement of Similar Structure Algorithm in Solving Boundary Value Problem of Two Region Composite Thomson Equation

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 171-178

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.24023 Published Online November 2013 (//www.abtbus.com/journal/aam.html)

The Improvement of Similar Structure Algorithm in

Solving Boundary Value Problem of Two Region

Composite Thomson Equation

Congyin Fan, Shunchu Li, Xiaoxu Dong, Lixia Bai

Institute of Applied Mathematics, Xihua University, Chengdu

Email: fcy8843@163. com

Received: Sep. 26 th , 2013; revis ed : Oc t . 23rd, 2013; accepted: Nov. 2nd, 2013

permits unrestricted us e, distribution, a nd reproduction in any med i um, provided the original wor k i s properly cited.

Abstract: In this paper, we study the boundary value problem of two areas composite Thomson equation

based on the similar structure algorithm. Firstly, we ma ke a lot of improvements on the similar structure algo-

rithm. Then we use the algorithm, which is improved, to solve th e boundary value prob lem of two areas com-

plex Thomson equation. Finally, we do simulation experiment by using the MATLAB software in order to

examine the feasibility of the improved algorithm. And we also observe and analyze the change law of the

laboratory result by changing the co efficient of the boundary condition.

Keywords: Two Areas Complex; Similar Structure Algorithm; Thomson Equation; Simulation Experiment

相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的

改进

范聪银，李顺初，董晓旭，白丽霞

西华大学应用数学研究所，成都

Email: fcy8843@163. com

收稿日期： 2013 年9月26日；修回日期： 2013 年10月23日；录用日期： 2013 年11月2日

摘要：相似结构算法的基础上，本文针对两区复合Thomson方程边值问题的求解进行研究。先对相

似结构算法进行改进；然后再利用改进后的算法来求两区复合 Thomson 微分方程边值问题的解；最后

为检验改进后算法的可行性，本文利用 MATLAB 软件来编写程序做仿真实验，并且通过改变边界条

件的系数来观察和分析实验结果的变化。

关键词：两区复合；相似结构算法；Thomson方程；仿真实验

1. 引言

本世纪初，微分方程边值问题解的相似结构理论开始形成 [1]。在此之后，迟颖在2010年提出了含有参变量

的 Bessel 方程边值问题解的相似结构[2]。2012年许东旭等欧拉超几何微分方程的一类边值问题解的相似结构[3]。

2012 年肖绪霞等证明了欧拉超几何方程边值问题的解具有相似结构[4]。2012~2013年，黄荣军、王芙蓉分别提

出了求解第一种 Weber方程和Airy方程边值问题的相似构造法[5,6]。2013年石俊华证明了二阶非其次微分方程

Open Access 171

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

组边值问题的解也具有相似结构 [7]。

在以上的基础上，二阶微分方程边值问题的解的相似结构算法被提出 [8] 。通过实例的验证二阶微分方程边

值问题解的算法能够面向计算，具有可靠的理论分析，具有良好的复杂程度，且由算法所求出的出的解具有稳

定性。

在文献 [8] 研究的基础上，本文提出了较为复杂的边值问题，即两区复合型Thomson方程边值问题









222

11 11

222

22 22

i0,

xc xc

yxy xvyaxc

yxy xvycxb

EyEF yD

My Ny











  



 



  



 



 

 



 



 

 





 







(1)

其中为已知实常数，且

vv DEFMNabc 、、、、、、、、、

0, 0,0 D





 22

0,0 MN a，。当

,i 1 cb 





ac 表示左区；





cb 表示右区。

2. 回顾形如 (2)的算法设计过程 [8]

 





ypxyqxy

EyEF yD

Gy Hy



  





 

  

 

 







; (2)

第一步：利用目标方程的两个线性无关的解









xyx 作引解函数。

第二步：由引解函数及右边界条件





Gy Hy 





的系数生成核函数 ,GH





 并计算。



a 

第三步：由左边界条件的系数进行组装而获得边值问题 (1)的解。



1 xa

EyEFyD





 



 ,,DEF

3. 算法改进

对比边值问题 (1)和(2)，对形如边值问(2)的算法进行改进后可得如下求解边值问题(1)解的算法步骤(详细数

学推导过程见附录 A) ：

第一步：由复合型 Thomson 方程组边值问题左、右区定解方程的两个线性无关解





x 、





1, 2 j



分别作两个引解函数。其他引解函数通过对







, ,,i 1,2

jj xj





 关于

、



求偏导得到。

第二步：由右区引解函数齐次右边界条件



2 ,,,0,

st xst







1 和





22 0

MyNy 





 的系数

、 N造出复合

型 Thomson 方程组边值问题(1)的右区相似核函数

构





 由左区引解函数；





,, xs





0,1

1 ,

st t，交界面条

cxc





 、12

cxc









 的系数



、



和右区相似核函数





 造出复合型Thomson方程组边值问题(1)

的左区相似核函数





 。

第三步：对复合型Thomson方程组边值问题(1)，利用非齐次左边界条件





1 xa

EyEF yD













的系数、

、

和左区相似核函数





 进行组装，得到边值问题(1)的左区间解；再利用非齐次左边界条件的系数、

、

，左区引解函数，交界面条件的系数



1 ,st





,,0, xst





、



和右区相似核函数



 进行组装，得到

边值问题 (1) 的右区间解。

根据上述步骤可得如下算法流程图，如图 1 所示：

其中



i, i

jvj v

yx Ixyx Kx 





1, 2 j1表示左区，2表示右区。

Open Access 172

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

边值问题

左定解方程





222

11 11

yxy ixvy

 

 

左引解函数





















11221

0.01 111

, xyxyyxy















 

1,0

0,1 0,0

1,1 0,0

0,0

121

















左基本解组









, yxyx

右基本解组









, yxyx

左边界条件



1 xa

yEFyD





  



衔接性条件

xc xc











右边界条件





MyNy 







右定解方程





222

22 22

yxy ixvy

 

 

左相似核函数

  

   

0,1 0,0

1,1 1,0

cxc xc

axc

cac ac

 





 



右区解式 ( 相似结构式)

  

yD x

E Fa

 



 

右相似核函数







 



0,0 0,1

1,0 1,1

MxbNxb

cxb

McbNcb



 









右引解函数









21221

0.0222 2

, xyxy yxy

















 



1,0

0,1 0,0

1,10,0

0,0

222

















左区解式 ( 相似结构式)

 



 

0,1

2 11

1,1 1,0

1 ,,

yD x

Fa cacac

E Fa



 



 

 

 

Figure 1. Algorithm flo w chart

图 1.算法流程图

4. 仿真实验

分别令边值问题 (1) 中的参数2,5,6,10,1,2, 1,4, 10,3MNEFacb D





  。那么根据算法流

程图利用 MATLAB[9,10] 可得边值问题(1)解的函数图象，如图2所示：

Figure 2. Curve of solution to boundary value problem (1)

图 2.边值问题(1)解的曲线

Open Access 173

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

现通过改变参数 D 、E、F来观察函数图象的变化，如图3~5所示。

Figure 3. The influence of parameter D on curve

图 3.参数D对曲线的影响

Figure 4. The influence of parameter E on curve

图 4.参数E对曲线的影响

Figure 5. The influence of parameter F on curve

图 5.参数F对曲线的影响

5. 结论

1) 改进后的算法只包括了加、减、乘、除运算和逻辑运算，而这些运算计算机能直接处理运行，所以该算

法能面向计算。

2) 观察图 2~5可以，无论参数如何改变，边值问题(1)的解最终都趋近与0。由此说明该算法具有很好的稳

定性。

Open Access 174

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

3) 从图 3~5中很容易观察到参数D、E、F是如何影响边值问题(1)的解。这对于两区复合型Thomson方程

边值问题在实际工程中的应用提供了实用的价值。

4) 本文所提出来的算法流程能为编写计算机程序语言提供清晰的流程。

参考文献 (References)

[1] 李顺初(2010)微分方程解的相似结构的初探与展望.

西华大学学报

(

自然科学版

), 2 , 223-238.

[2] 迟颖,李顺初,严娟(2010)含参数λ的Bessel方程边值问题的相似结构.

大连交通大学学报

, 5 , 109-111.

[3] 许东旭,李顺初,许丽(2012)欧拉超几何微分方程的一类边值问题解的相似结构.

西华大学学报

(

自然科学版

), 2, 91-93.

[4] 肖绪霞,李顺初(2012)欧拉超几何方程边值问题的解的相似结构.

内蒙古师范大学学报

(

自然科学汉文版

), 6, 597-603.

[5] 黄荣军,李顺初,许东旭(2012)求解第一种Weber方程边值问题的相似构造法.

绵阳师范学院学报

, 11, 1-15.

[6] 王芙蓉,李顺初,许东旭(2013) Airy方程的一类边值问题的解的相似构造法.

湖北师范学院学报

(

自然科学版

), 1, 79-85.

[7] Shi, J.-H., Li, S.-C., Wang, X.-L. and Gui, D.-D. (2013) A new method for solving boundary value problem of composite Hermit Equations.

Advanced Materials Research ,753-755, 2851-2854.

[8] 范聪银,李顺初,董晓旭,白丽霞(2013)基于相似结构的算法设计.

应用数学进展

, 3 , 107-113.

[9] 龚纯,王正林(2008) MATLAB语言常用算法程序集.电子工业出版社,北京.

[10] 胡良剑,孙晓君(2006) MATLAB数学实验.高等教育出版社,北京.

[11] 刘式适,刘式达(2002)特殊函数.气象出版社,北京.

Open Access 175

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

附录 A

A.1. 预备知识

引理 1：Thomson方程







222

jj jj

xyxyxv yj

 

 

1,2 可经过变量替换i



 ，化为[11]：





222

dd 01,2

yy vy j





 



(A2)

证明：对 Thomson 方程的自变量

作替换 i



 ，因

dd dd

i, i

ddd

yy y







 

则 Thomson方程可化为



222

dd 01,2

yy vy j





 

(A2) 式是自变量为



的变型 Bessel 方程。

引理 2：Thomson方程







222

jj jj

xyxyxv yj

 

  1,2的通解可以写为：











jjv jv

yAI xBKxj  



1,2 (A3)

其中， ,

B 是任意实常数，分别称为

 

IK 、

v 阶的第一类、第二类变型的Bessel函数。

证明：因为变型的 Bessel 方程(A2)的通解可以表示为：













1, 2

jjv jv

yAIBK j



 

则由引理 1 知，令i



 ，得到Thomson方程的通解为：











jjv jv

yAI xBKxj  1,2

若记：



 

















, ,,iii 1ii1,2

jjj jjj

mnm nmn

xKxIIxK j

 







 (A4)

引理 3 ：设







i,i

xK x 是Thomson方程





222

jj jj

xyxyxv y

  0



  的两个线性无关解



，作

引解函数：

1, 2 j









0,0 ,

,,,i

j xxj



 





1,2 (A5)

则有



 



1,0,,1,

,,,i,,ii,,i

jjjjj j

j v

xx xxj

 













1,2



(A6)



  



0,1,,, 1

,,,i,,ii,,i

jjjjjj

j v

xx xxj

 

 













1,2



(A7)



  

 



1,1 ,,1,

,1 1,1

,,,i,,i

i ,,i i,,i1,2

jjjjj j

jjj j

xx x

v xxj

 

 

 



 













,,i x



(A8)

Open Access 176

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

其中表示左区，表示右区

1 j



axc 2j





cxb



 。

A.2. 主要定理及其证明

定理 1：若边值问题(1)有唯一解，则左区间解为：

   

yD xaxc

E Fa





 

(A9)

右区间解为：

 





  

0,1

2 2

1 21,1 1,0

1 ,,

yD xcxb

Fa cac ac

E Fa



 



 

 

(A10)

其中



 称为右区相似核函数，且为：











 



0,0 0,1

2 22

1,0 1,1

MxbNxb



cxb

McbNcb





 

 (A11)



 称为左区相似核函数，且为：



















20,10,0

1 11

21,1 1,0

cxc xc



cxb

cac ac

 



 

 (A12)

证明：由引理 2 知，边值问题(1)中左、右区定解方程的通解为













jjv jv

yxAIxBKxj  



1,2 (A13)

故有











 

d ii

ii iiii

jjj j

jjvjv

jvvj vv

yxAIx BKx

IxI xBKxKx





 





 











(A14)

把 (A13)、 (A14)式分别代入由边值问题(1)的左边界条件





1 xa

EyEFyD











 ，交界点

c 处的两个衔

接条件 12

cxc





 、12

cxc







 ，齐次右边界条件





22 0

MyNy 





 得：



 



 

111

i1i ii

vvv

AEI aEF I aIa

BEKaEFKa Ka







 













 









D 

(A15)















11 22

ii ii

vv vv

AIcBKcA IcBKc





  (A16)

 



111 1

222 2

1111

212 1

ii iiii

vvv v

AI cIcBK cKc

AIcIcBKcK c







 





 0











 



 





(A17)

 

 

222

iiii

vvv

AMIbNI bIb

BMKb NKbKb





















 











(A18)

Open Access 177

范聪银等  相似结构算法在求两区复合 Thomson 方程边值问题中的改进

Open Access 178

利用 (A5)~(A8) 式，得到关于待定系数 112 2

,,,

BAB 的线性方程组(A15)~(A18)的系数行列式如下：

 







 





122122

0,0 1,01,10,1 0,00,1

122 12 2

1,0 1,01,11,1 0,00,1

,,, ,,

1,,,,,

EacMcbNcbacMcb N

EFacMcbN cbacMcbNcb

 



 





 











(A19)

。

利用 Cramer法则，得

由边值问题(1)的解的唯一性知： 0



 





1 11

22 1

11,01,1 1

0,0 0,1

,, i

iii

vvv

D KcMKc Kc

cb N cb

cb cb







M N

























 

 



(A20)

 



 



1 11

22 1

11,01,1

0,0 0,1

ii ,

c v

BIcM IcI bN cb

cb Ncb









1 v







 









 

 









(A21)

  



222

iiii

vvv

0,1

MK bNK bKbcc









 





 



(A22)

 



222

iiii

vvv

BMIbNIbIb c















 



0,1

c (A23)

将 (A20)~(A23)式代入(A13)式中，并利用右、左区相似核函数定义式(A11)、(A12)式，即

(1) 的左、右区间解分别为(A9)、(A10)。

可得到边值问题