一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性 Lagrangian Stability of a Class of Second-Order Periodic Systems

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Pure Mathematics 理论数学 , 2013, 3, 394-398

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.36060 Published Online November 2013 (//www.abtbus.com/journal/pm.html)

Lagrangian Stability of a Class of Second-Order

Periodic Systems

Shunjun Jiang

College of Sciences, Nanjing University of Technology, Nanjing

Email: jiangshunjun@njut.edu.cn

Received: Oct. 9 th , 2013; revised: Oct. 18th, 2013; accepted: Oct. 24th, 2013

mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: By the iteration of KAM, the following second-order differential equation:

 

,,, 0 xfxxtaxbx xext





 

 is studied. Under some assumptions on the parities of





xxt



and , by a small twist theorem of reversible mapping, the existence of quasi-periodic solutions and

boundedness of all the solutions are obtained.



, ext



Keywords: Reversible System; KAM Theorem; Boundedness of Solutions

一类二阶周期系统的 Lagrangian 稳定性

江舜君

南京工业大学理学院，南京

Email: jiangshunjun@njut.edu.cn

收稿日期： 2013 年10月9日；修回日期： 2013 年10月18日；录用日期： 2013 年10月24日

摘要：用 KAM 迭代方法研究了下列二阶微分方程：

 

,,,0 xfxxtaxbx xext





 



  。当





xxt

 与





, ext的导数满足一定条件时，利用关于可逆映射的小扭转定理得到拟周期解的存在性与

所有解的有界性。

关键词：可逆系统；KAM定理；解的有界性

1. 引言

在文献 [1]中，作者研究下面的二阶方程：













, xfxtxnx xpxt



 

 ,0

(1)

其中





有界，并且

 









,,1,,, fxtfxtpxt pxt 1。

假设









以及满足恰当的假设，使方程 (1)具有可逆结构。通过将原方程化为一个可积系统

的小扰动，运用 KAM 定理，[1]证明了方程的所有解的有界性。



受到文献 [2-5]的启发，本文讨论下面的二阶方程

 

,,,0 xfxxtaxbx xext





 



(2)

Open Access

394

江舜君 一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性

其中



fxyt





 

 ，





ext





 

 ，(3)





 ，，可以看出非线性扰动项是无界的，这也是本文与[5]不同的地方。0,0, ,6xksm 

2. 主要结论

定理 1.假设，关于 t都是周期

，

满足 (3)且有

, eCf C

6 2π

















,,,,, ,,,

,,,,,,, .



xytFxytext ext

xytF xytextext

 

 (4)

那么所有 (2)的解都是有界的。

3. 定理 1的证明

3.1. 作用角变量与坐标变换

通过坐标变换，方程 (2)可变换成下面的系统，



yfaxbxextx





 





   





(5)

由条件 (4)，我们很容易看出， (5)关于对合









:, , Gxyxy具有可逆结构。

令





为方程的解，显然满足初始条件 0xaxbx



 









01,01 xx





 并且令





 为其导数。下面做

变换：







xrc

yrs









 





在变换下 , 系统(5)变为：



,, rx

















 

111

222

,,,, ,,

1,, 1,,,,

rftrNtrPtr

ft rNt rPt r



 

  



  







(6)

其中













1 ,,Nt rarcs









 ，













1 ,,Pt rafses

























11 1

2 ,,Nt rarc





 

 ，













2 ,,Pt rarfces



















容易验证



,, ,,



tr ftr



  ，









,, ,,

trftr



 



，因此，系统 (6)关于对合







:, , Gr r





。

是可逆的。

为了估计



,,,,,



trftr



，我们需要下面的引理。

引理 1令

 





















,,,,,,,, f trftrcrseretrcrs



 



，如果







和满足(3)，那么

有



,, et r





 

,, ,,

ks ks

ft ret r

rcrr

rtrt cr













 (7)

对 , 6Rks



  成立。

Open Access 395

江舜君 一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性

证明 . 由直接计算，引理1可以直接验证，因此我们省去细节。

为了下面讨论方便起见，我们引入函数空间







的概念。

定义 1. 令。我们称



, nnn N





fM 

，如果对 12

0,0 jn sn



 ，存在，使得

0 0r0c











,,, , ,

jjs

rt o

rDDftrcrr rtSS





  。

由函数空间的定义，易得



M 

















5,5 5,5

,,, ,, ftrMrftr Mr











(8)

因此对于足够大的，我们有 r21fr



 。当，系统(6)等价于下面的系统：1r

 



d ,, 1,,

d 1,,

r ft rft r

t ftr







 





 





(9)

容易验证



,, ,,



tr ftr



  ，







,, ,,

trftr



 



。因此系统 (9) 关于对合是可逆

的。我们将系统 (9) 写成下面的形式：

 

:. , Grtrt

 



 



111 11

222 22

d ,, ,,,,,, ,,

d 1,,,, 1,,,,,,

r ftrhtr NtrPtrhtr

trhtrNtr Ptrhtr

 



 



  





  





(10)

其中



,, 1

ht r



  ，



,, 1

ht r



 并且有















1122

,,,,,,,,, ht rhtrhtrhtr



  



，

因此 (10) 关于对合







,, Grtr t也是可逆的。由直接计算，易得

















21 22

5,5 5,5

,,, ,, htr Mrhtr Mr













(11)

现在系统 (10)有如下形式



d ,, ,,

d 1,, ,,

Nt rgt r

t Nt rgt r

 







 





  





(12)

其中







111

,,,,,,

tr Ptrhtr







，











222

,,,, ,,

tr Ptrhtr



 



。由 (11)，易得















21122

5,5

,,max,, ,,max, gt rMrrgtrrr

 











(13)

下面，我们将对系统 (12)进一步做变换。

引理 2. 存在变换



, , tt rSr





 ，使得系统(12)变为





d ,,

d 1,, ,,

gt r

t Nt rgt r

 







 





  







 (14)

其中



1 5,5

,, gt rMr











，







2 5,5

,, gt rMr











。并且系统 (14) 关于对合





, Gt t,



 是可逆的。

证明 . 令

Open Access

396

江舜君 一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性

 

,,,d 1

SrNtrar



 















那么有



,,2 πp

Sr Sr



 ，







, Sr Sr,



 。容易验证











5,5

, SrM r







 。因此







, rt,





 关于



, rSr





 微分同胚。那么，存在函数





, LL





 使得





, rL





 ，其中







,2 π,

LLr





 ，



,, LL









, Lr且。



5,5







通过上面的变换， (12) 变成(14)其中























1122 22

,,,, , ,,,,,,,,

tgtLgtNtNtLgt

 

  L



 ，

由 (13)以及直接计算，我们有















211 22

5,5 5,5

,,max,, ,,max, gtrM rrgtrM rr

 











 。

既然



, LL











，系统 (14)关于对合









:, , Gtt



 是可逆的。引理2证明完毕。

下面我们将对方程 (14)中第二个式子进行变换，主要是把





2 ,,Nt r



中的平均项分离出来。

Lemma 3. 存在变换



, , tS





 





使得系统 (14)变为







d ,,

d 1,

t NH

 









 





  





(15)

其中

















， 2π11

1 ad

2 πc









 



，









,, ,,, HH



 

满足













21122

5,5 5,5

Hmax,, max, MrrHMrr

 









(16)

并且系统 (15)关于对合



:, , G









是可逆的。

证明 . 定理证明类似引理2。

3.2. Poincare 映射与不变环面

令









 。当



 时，

















，故 0





  。

定义变换











 ，那么系统(15)有如下形式



d ,,,

d 1,,

 











 





  







(17)

其中













1122

,,,,,,,,,,,,,

gHgH



  







引理 4扰动项1

， 2

满足下面估计：

, ,

ks ks

gc gc





 







 

 







(18)

其中 0 max,1 0



 













。

Open Access 397

江舜君 一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性

Open Access

398

证明 . 当时，估计(18)易由(16)得出。引理 4 得证。

1 ks

由引理 2、3以及(18)，我有















1122

,,,,,,, ,,,,,, gggg





   。

系统 (17) 关于对合



:, , G











是可逆的。令为 (17) 的 Poincare 映射，则关于P P







:, , G









也

是可逆的并且有以下形式：







2 π 2π,,





 

 



 









 (19)

其中，









1, 2



 。



,, ,,, gg





 



 满足

ks ks

ggc





 









  (20)

至此，我们验证了映射 (19 )满足 [6] 中针对可逆映射的扭转定理的所有条件。这意味着当



足够小，存在

Poincare 映射的不变环面，保证了系统(5)解的有界性，因此(2)的所有解都是有界的。这样定理1的证明完毕。

4. 致谢

本文由国家自然基金青年基金资助，基金号 11301263 。

参考文献 (References)

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[6] Liu, B. and Song, J. (2004) Invariant curves of reversible mappings with small twist.Acta Mathematics Sinic,English Series,20, 15-24.